TEMA: “NÚMEROS COMPLEXOS”

LINHA DO TEMPO: Descobriu uma fórmula geral para resolver equações do tipo x³ + px = p. Porém não publicou sua obra. Quebrando um solene juramento de silêncio a Tartaglia, Gerônimo publicou a obra intitulada “Arte Maior”, na qual apresentou a fórmula descoberta por Tartaglia. A primeira dificuldade encontrada por Cardano foi quando ele aplicou essa fórmula a resolução da equação x³ - 15x = 4, onde nela aparece a raiz quadrada de um número negativo, a partir deste momento surgiu um impasse em resolver este tipo de equação.

LINHA DO TEMPO: Prosseguiu com a solução encontrada por Cardano e, usando o que chamou de “idéia louca” considerou um número “imaginário” e desenvolveu regras para trabalhar com este tipo de números. Usou pela primeira vez o símbolo i para representar.

LINHA DO TEMPO: Em 1881 usou o símbolo i, criado por Euler e, após seu uso, esse símbolo se tornou amplamente aceito. Em 1831, fez um estudo, independente de Argand, sobre representação geométrica dos números complexos. Em 1832 Gauss introduziu a expressão números complexos.

1° Regra: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x,y) de números reais x e y: z = (x,y) O par (x,o) é identificado com o número real x: (x,o) = x Esta regra permite-nos afirmar que os números reais são um subconjunto dos números complexos.

Se dissermos que (0,1) = i, chamaremos este par de unidade imaginária: (0,1) = i Sabendo que x e y são números reais e respectivamente representam a parte real e imaginária de (x,y).

2° Regra: Se dois números complexos são iguais se, e somente se, as partes real e imaginária de um são iguais, respectivamente, às do outro. (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ), se x 1 = x 2 e y 1 = y 2 Em particular se 0 = (0,0), tem-se: z = (x,y) = 0, se x = 0 e y = 0. Dois números complexos quais quer z 1 = (x 1, y 1 ) e z 2 = (x 2, y 2 ) tem a soma e o produto, denotados por z 1 + z 2 e z 1 z 2, definidos como os números complexos dados pelas fórmulas:

z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) z 1 z 2 = (x 1, y 1 )(x 2, y 2 ) = (x 1,x 2 – y 1,y 2, x 1,y 2 + x 2,y 1 ) Em particular, temos: (x,0) + (0,y) = (x,y) e (0,y) = (y,0)(0,1) Dessa forma cada número complexo que não é real, pode ser escrito como soma de um número real e número imaginário puro: z = (x,y) = x + y i

Se o produto zz se escreve z², então de acordo com a definição abaixo: z 1 z 2 = (x 1, y 1 )(x 2, y 2 ) = (x 1,x 2 – y 1,y 2, x 1,y 2 + x 2,y 1 ) Tomando z = (0,1), então: z² = (0,1)² = (-1,0), isto é: i² = - 1

 i 0 = 1  i¹ = i  i² = - 1  i³ = i² ∙ i = (-1)∙ i = - i  i 4 = i² ∙ i² = (-1)∙ (-1) = 1

 Denomina-se conjugado de um número complexo z = x + yi ao número complexo z = x - yi

Sejam z 1 = a + bi e z 2 = c + di, então:  Adição: z 1 + z 2 = (a + c) + (b + d)i  Subtração: z 1 - z 2 = (a - c) + (b - d)i

 Multiplicação: z 1 ∙ z 2 = (a + bi) ∙ (c + di) = ac + adi + cbi + bdi² = = ac + adi + cbi - bd Então: z 1 ∙ z 2 = (ac – bd) + (ad + bc)i  Divisão: Sejam dois números complexos, z 1 e z 2, com z 2 ≠ 0. Dividir z 1 por z 2 corresponde a obter o número complexo x + yi, tal que multiplicamos os dois termos da fração pelo conjugado de z 2.

Sabendo que o número complexo tem como forma algébrica a expressão a + bi, tomamos o plano Argand- Gauss: Sendo |z| = α sen θ = b/α, então: b = α ∙ sen θ (I) cos θ = a/α, então: a = α ∙ cos θ (II) Substituindo (I) e (II) em a + bi, obtemos a fórmula trigonométrica do número complexo z. z = α (cos θ + i ∙ sen θ)

 Churchill, R.V. Variáveis Complexas.  Barreto,B.F. Matemática Volume Único.  Arfken, G e Hans. Física Matemática e Metodos Matemáticos para Engenharia e Física.  Eves, H. Introdução à História da Matemática.