Regra de Cramer x + 2y – z =2 2x – y + z = 3 Resolver o sistema pela regra de Cramer 2 -1 2 -1 1 1 1 1 A) D = = -7 2 2 -1 3 -1 1 6 1 1 B) Dx = = -7

S ={ 1 ,2 ,3} x + 2y – z =2 2x – y + z = 3 x + y + z = 6 2 -1 2 -1 1 2 -1 2 -1 1 1 1 1 x + 2y – z =2 2x – y + z = 3 x + y + z = 6 D = = -7 2 -1 3 1 1 6 1 C) Dy = = -14 2 2 6 -1 3 1 1 6 = -21 D) Dz = S ={ 1 ,2 ,3}

Discussão de um Sistema linear S.P.D Dx = Dy = Dz =0 S.P.I S.I

Em relação aos sistemas lineares, assinale o que for correto

O sistema homogêneo nunca é impossível 2x + 3y + 4z = 0 3x – y + z = 0 5x + 2y + 8z = 0 Resolva o sistema 3 4 3 -1 1 5 2 8 a) Portanto S.P.D. b) A única solução do sistema é a trivial (0 ,0 ,0 ) O sistema homogêneo nunca é impossível

Uma antiga história conta que um sertanejo e um velho burro subiam uma ladeira, ambos com uma carga de espigas de milho sobre as costas. Por causa do cansaço e do calor, o velho burro começa a ofegar. Então o sertanejo lhe diz: “Por que está ofegando tanto? Saiba que se eu tirar 8 espigas de seu lombo e colocar sobre as minhas costas, minha carga será o dobro da sua. Por outro lado, ainda que eu tire 8 espigas das minhas costas e coloque sobre as suas, a sua carga ficará igual à minha”. Pergunta-se: Juntando-se as cargas do burro e do sertanejo, qual era o total de espigas .

Saiba que se eu tirar 8 espigas de seu lombo e colocar sobre as minhas costas, minha carga será o dobro da sua. Por outro lado, ainda que eu tire 8 espigas das minhas costas e coloque sobre as suas, a sua carga ficará igual à minha”. Pergunta-se: Juntando-se as cargas do burro e do sertanejo, qual era o total de espigas .

PA E PG

Progressões Aritméticas Termo geral:   Soma de PA :

Progressões Aritméticas Três termos consecutivos em PA : x- r , x , x + r Lados de um triângulo retângulo em PA : 3r, 4r, 5r ( r a razão)

Progressões Geométricas Termo geral: Soma de PG finita: Limite da soma de PG infinita:

Progressões Geométricas Três termos em PG: x/q , x , x.q O limite da soma de PG infinita é usada para PG decrescente

Progressões Geométricas Se uma população cresce a uma taxa anual de 5 %, PG de razão igual a 1,05 . Se uma população decresce a uma taxa anual de 5 %, PG de razão igual a 0,95.

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Raiz de uma equação algébrica Dada a equação algébrica P(x) = 0, de coeficientes reais, o número  é denominado de raiz ou solução da equação se, e somente se, P(x) = 0.  é raiz de P(x) = 0  P() = 0 Exemplo: Se x = 1 é raiz da equação x3 – x2 + x – 1 = 0 então P(1) = 13 – 12 + 1 – 1 = 0

Teorema Fundamental da Álgebra “Toda equação algébrica de grau n (n > 1) possui pelo menos uma raiz complexa” Exemplo: A equação 2x4 – 6x3 + 7x + 5 = 0 possui, conforme o “T.F.A.”, pelo menos uma raiz complexa.

Teorema da decomposição “Toda equação algébrica de grau n (n > 1) pode ser decomposta em fatores do 1º grau.” Se considerar x1, x2, x3 ... xn raízes da equação, então: y = a0(x – x1)(x – x2)(x – x3)...

Logo: P(x) = -4(x3 – 3x2 + 2x) ou Exemplo: As raízes de um polinômio P(x) do 3º grau são 0, 1 e 2. Sabendo-se que , então o poli-nômio P(x) é: P(x) = a0(x – 0)(x – 1)(x – 2) P(x) = a0.x.(x2 – 3x + 2) P(x) = a0(x3 – 3x2 + 2x) Como: Então: a0 = -4 Logo: P(x) = -4(x3 – 3x2 + 2x) ou P(x) = -4x3 + 12x2 – 8x

Multiplicidade de raiz É o número de vezes que uma raiz se repete na equação. Exemplo: Se em x5 + x4 – 11x3 – x2 + 8x – 4 = 0 Então: x = 1 (raiz tripla) ou com grau de multiplicidade 3. x = -2 (raiz dupla) ou com grau de multiplicidade 2.

Raízes nulas Na equação a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an = 0 Se an = 0, então “0” será raiz. O zero se repetirá como raiz conforme seja a menor potência de x. Exemplos: x4 – 7x3 + x2 – 3x = 0 0 é raiz uma vez é raiz duas vezes b) x4 – 7x3 + x2 = 0

Raízes racionais Atenção: Números racionais = inteiros + frações. Na equação: a0x4 + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an = 0 p  divisores do termo independente (an). q  divisores do coeficiente do termo de maior grau a0. Faz-se: Fazendo-se  tem-se as prováveis raízes da equação.

X X Exemplo: 2x3 – x2 – 8x + 4 = 0 p = {+1, +2, +4} q = {+1, +2} Prováveis  = Por tentativa temos: X X 2x2 +3x – 2 = 0 que aplicando a “Fórmula de Bháskara” temos: x’ = -2 e x” = ½. Então:

Raízes complexas Toda equação que admite uma raiz x1 = a + bi, admitirá também como raiz e sua conjugada, x2 = a – bi.

Relações de Girardi Quando aplicar: Quando o teste solicitar soma e produto de raízes. Quando relacionar raízes com coeficientes. Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0

Exemplo: Ache a soma e o produto das raízes da equação. 2x3 – 6x2 + 3x + 20 = 0 soma = 3 Produto = -10

Relações reais O “Teorema de Bolzano” permite pesquisar a existência de raízes reais em intervalos reais.

P(a) . P(b) < 0 Teorema de Bolzano Sejam P(x) = 0 uma função polinomial de coeficientes reais e um intervalo [a; b]  R. Se P(a) e P(b) tem sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais  [a e b]. f(x2) f(x1) f x1 x2 r1 r2 r3 x y Três raízes reais distintas. f(x1) f(x2) x1 x2 r f x y Uma só raiz real P(a) . P(b) < 0 f(x1) f(x2) x2 x1 r1 r2 x y f(x1) f(x2) x2 x1 r x y Uma raiz real tripla Uma raiz real dupla e uma simples

2) Se P(a) e P(b) tem sinais iguais, o teorema não garante a existência de reais, podendo, no entanto existir raízes um número par de raízes  ]x1; x2[. f(x1) f(x2) x1 x2 r2 r1 x y Tem duas raízes reais distintas. f(x2) f(x1) x1 x2 r1 r2 r3 r4 x y Tem quatro raízes reais distintas. P(a) . P(b) > 0 Tem uma raiz real dupla e duas raízes reais simples. f(x2) f(x1) x2 x1 r4 r3 r1 = r2 x y f(x2) f(x1) x1 x2 x y Não tem raiz real.

MATEMÁTICA DETERMINANTES

“DETERMINE A FUNÇÃO det: M  R, ONDE DETERMINANTES: 1) DEFINIÇÃO SENDO M O CONJUNTO DAS MATRIZES QUADRADAS E R O CONJUNTO DOS REAIS, ENTÃO: “DETERMINE A FUNÇÃO det: M  R, ONDE Mn  det Mn, TAL QUE:

DETERMINANTES: a11 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a) Se n = 1  det Mn = a11 b) Se n = 2  det Mn = a11 a12 a21 a22 c) Se n = 3  det Mn = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

DETERMINANTES: a11 a12 a21 a22 2) Regras Práticas Determinante de 2ª ordem a11 a12 a21 a22 D.P. + D.S. -

DETERMINANTE DE 3ª ORDEM (REGRA DE SARRUS) DETERMINANTES: DETERMINANTE DE 3ª ORDEM (REGRA DE SARRUS) a11 a12 a21 a22 a31 a32 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 D.S. D.P. - +

DETERMINANTE IGUAL A ZERO DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO a) UMA FILA NULA 1 0 -1 4 0 9 3 0 5 OU 5 1 2 9 3 2 0 0 0 = 0

DETERMINANTE IGUAL A ZERO DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO b) DUAS FILAS PARALELAS IGUAIS 1 1 5 4 4 7 3 3 2 OU 1 4 3 6 7 2 = 0 C1 = C2 L1 = L3

DETERMINANTE IGUAL A ZERO DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO c) DUAS FILAS PARALELAS PROPORCIONAIS 1 3 1 4 12 5 3 9 2 OU 0 2 -1 6 4 2 0 4 -2 = 0 C2 = 3C1 L1 = 2L3

DETERMINANTE IGUAL A ZERO DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO d) UMA FILA É COMBINAÇÃO LINEAR DE DUAS FILAS PARALELAS 1 4 3 2 4 5 -1 0 -2 OU 4 0 4 -1 2 -3 3 9 -6 = 0 L1 = L2 + L3 C3 = C1 – C2

ALTERAÇÕES NO DETERMINANTE DETERMINANTES: ALTERAÇÕES NO DETERMINANTE a) TROCANDO A POSIÇÃO DE DUAS FILAS PARALELAS , O DETERMINANTE TROCA DE SINAL 2 0 1 -2 2 1 1 4 3 = -6 0 2 1 2 -2 1 4 1 3 = 6

ALTERAÇÕES NO DETERMINANTE DETERMINANTES: ALTERAÇÕES NO DETERMINANTE b) MULTIPLICANDO UMA FILA POR  , O DETERMINANTE FICA MULTIPLICADO POR . 2 0 1 -2 2 1 1 4 3 = -6 (x2) 4 0 1 -4 2 1 2 4 3 = 2.(-6)= -12

DETERMINANTES: 1 3 2 0 -2 1 2 1 4 2 6 4 0 -4 2 4 2 8 Ex: 1) = 5 c) UM DETERMINANTE FICA MULTIPLICADO POR  , QUANDO TODO OS ELEMENTOS DO DETERMINANTE FOREM MULTIPLICADOS POR  . Ex: 1) 1 3 2 0 -2 1 2 1 4 = 5 SE MULTIPLICARMOS TODOS OS ELEMENTOS POR 2 2 6 4 0 -4 2 4 2 8 , então seu resultado será 23.(5) = 40 2) Se M é matriz de 3ª ordem e det(m) = 8, então det(3m) = 33. det(m) = 27.8 = 216

DETERMINANTE NÃO SE ALTERA DETERMINANTES: DETERMINANTE NÃO SE ALTERA a) SE TROCAR EM ORDEM LINHAS POR COLUNAS 2 1 4 0 9 3 6 7 8 = 2 0 6 1 9 7 4 3 8 b) SE SOMARMOS A UMA FILA UMA COMBINAÇÃO LINEAR DE OUTRAS FILAS PARALELAS (TEOREMA DE JACOBI) 2 1 3 6 4 2 7 0 7 2 1 0 6 4 8 7 0 0 C3 = C1 + C2 – C3 =

DETERMINANTES: TEOREMA DE BINET det (A .B) = det(A) . det(B) . Ex: SE A E B SÃO MATRIZES QUADRADOS DE MESMA ORDEM, ENTÃO : det (A .B) = det(A) . det(B) Ex: 1 2 4 -1 5 3 0 1 2 1 -1 0 2 0 1 4 3 1 = det . det . 0 1 2 2 0 1 4 3 1 det