Aulão de Matemática Análise Combinatória Professor: Mundico Passe para as federais!!!

Princípio Aditivo de Contagem Exemplo 1: Maria entrou numa loja em que há 2 tipos diferentes de doces e 4 de salgados. a) Supondo que ela só possa comprar um alimento, de quantas maneiras distintas ela poderá escolhê-lo?

Princípio Multiplicativo de Contagem Supondo agora, que ela deseja comprar um doce e um salgado, de quantas maneiras ela poderá escolhê-los?

Árvore de Possibilidades

Mais exemplos: Exemplo 2: Uma corrida é disputada por 3 atletas. De quantas maneiras poderemos ter os dois primeiros lugares?

Resolução do exemplo 2 Chamando os atletas de A, B e C. Quantas possibilidades teremos para o primeiro colocado? Sabendo que um dos atletas foi o primeiro colocado, quantas possibilidades teremos para o segundo colocado?

Árvore de Possibilidades – Ex. 2

Princípio Multiplicativo De um modo geral, se tivermos “m” maneiras de executarmos uma tarefa e “n” maneiras de executarmos outra tarefa, teremos portanto “m x n” maneiras de se executar as duas tarefas sucessivamente.

Princípio Aditivo Se existem “m” maneiras de executarmos uma tarefa e “n” maneiras de executarmos outra tarefa, teremos “m + n” maneiras de executarmos a primeira “ou” a segunda tarefa.

Exemplo 3: Quantos números inteiros entre 1000 e 9999 não têm algarismos repetidos?

Resolução Para o primeiro algarismo teremos 9 possibilidades: 1,2,3,4,5,6,7,8 ou 9 Para o segundo, há o retorno do zero e o uso de um dos algarismos anteriores. Por exemplo: 0,1,2,3,5,6,7,8 ou 9 ___ ___ ___ ___ 9 9 8 7 = 9x9x8x7 = 4536

Podemos começar pelas unidades? ____ ____ ____ ____ 10 ?? 8 9 Se o algarismo zero já tiver sido utilizado, teremos 7 possibilidades. Caso contrário, teremos apenas 6 possibilidades.

2ª Solução:

3ª Solução:

Exemplo 4: Quantos são os divisores positivos de 178200? Fatorando: 178200 = 2³.34.5².11 Logo qualquer divisor será da forma: 2k.3m.5n11p Ex: 88 = 23. 30. 50. 111

2 ------.3-----.5------.11----- Exemplo 4 Para resolvermos o problema teremos: 2 ------.3-----.5------.11----- 4 5 3 2

Fatorial O que fazermos se nos pedirem para escrever a seguinte expressão: 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18?? Usando a notação de fatorial ( ! ) escrevemos a mesma expressão acima da seguinte maneira: 18!

Seja n um número natural. n! = n.(n-1).(n-2). ... . 2. 1 Fatorial Seja n um número natural. n! = n.(n-1).(n-2). ... . 2. 1 Válido para n maior ou igual a 1. Por definição: 0! = 1 Ex: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Podemos resolver facilmente este problema pelo Princ. Multiplicativo. Arranjos Exemplo 1: Considere um grupo de 6 pessoas. Quantas filas com 3 pessoas podem ser formadas? Podemos resolver facilmente este problema pelo Princ. Multiplicativo.

Arranjo Fórmula de Arranjo: n=número de elementos p=tamanho do grupo

Permutação: É o arranjo, no qual o tamanho do grupo é igual ao número de elementos. Fórmula:

Exemplo 4 Quantos são os anagramas da palavra LUTA?

De fato: LUTA ALUT TALU UALT LUAT ALTU TAUL UATL LTAU AUTL TULA UTLA LTUA AULT TUAL UTAL LATU ATUL TLAU ULAT LAUT ATLU TLUA ULTA

Combinação Com os pontos A, B, C, D e E da figura abaixo, quantos triângulos com vértices nesses pontos podemos construir?

Combinação Fórmula de Combinação: n=número de elementos p=tamanho do grupo

Exercícios...