ELETRICIDADE 10 CAPACITORES Prof. Cesário

6 – ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES Da mesma forma como foi estudado para resistores, os capacitores podem ser associados em série, em paralelo ou misto. O conjunto poderá ser substituído por um único capacitor denominado capacitor equivalente. Ligação em série Ligação em paralelo

 7 – ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE Ao ligar os capacitores à fonte, elétrons dirigem-se da placa negativa para a armadura esquerda do capacitor C1. C1 C2 C3  - + +Q -Q -Q +Q -Q Estes elétrons repelem igual quantidade de elétrons da armadura direita de C1 que se dirigem para a armadura esquerda de C2. V1 V2 V3 Assim, a armadura esquerda de C1 ficará com uma carga -Q enquanto que a armadura direita ficará com carga +Q. O fato se repete nas armaduras de C2 até que elétrons da armadura direita de C3 se dirigem para a bateria. Deste modo: todos os capacitores ficarão com a mesma carga. Na descarga, a carga útil será igual à carga de apenas um dos capacitores. A ddp total é igual à soma das ddps dos capacitores. V = V1 + V2 + V3  V/Q = V1/Q + V2/Q + V3/Q 1 1 1 C C1 C2 C3 = +

Numa associação em série: Resumindo Numa associação em série: A carga é a mesma em todos os capacitores. A ddp total é a soma das ddps parciais. O inverso da capacitância do capacitor equivalente é igual à soma dos inversos das capacitâncias dos capacitores associados.

C = C1 + C2 + C3 8 – ASSOCIAÇÃO EM PARALELO Q1 Q2 Q3 Como em qualquer associação em paralelo, a ddp V é a mesma para todos os capacitores. Quando ligados a uma bateria cada capacitor adquire uma carga de acordo com sua capacitância. Na descarga todas as cargas podem ser utilizadas. Assim, a carga total Q do conjunto é igual à soma das cargas de todos os capacitores. Q = Q1 + Q2 + Q3  Q/V = Q1/V + Q2/V + Q3/V Portanto: C = C1 + C2 + C3

Numa associação de capacitores em paralelo: Resumindo Numa associação de capacitores em paralelo: A ddp é a mesma para todos os capacitores. A carga útil é a soma das cargas de todos os capacitores. A capacitância do capacitor equivalente é igual à soma dos capacitores associados.

entre as placas do capacitor de 5 F e a ddp VAB? EXEMPLOS 1 – Se a ddp entre as placas do capacitor de 6 F é igual a 40 V, qual é a ddp entre as placas do capacitor de 5 F e a ddp VAB? 4 F 5 F 6 F A B Solução: A carga é a mesma em todos os capacitores por estarem ligados em série. Portanto, a carga no capacitor de 5 F é igual à carga no capacitor De 6 F, ou seja: Q = CV = 6 x 40 = 240 C. Portanto, a ddp será V = Q/C = 240/5 = 48 V. VAB = V1 + V2 + V3 = 240/4 + 240/5 + 240/6 = 60 + 48 + 40 = = 148 V. 2 – A carga no capacitor de 10 F é igual a 200 C. Qual é a carga total no conjunto indicado na figura a seguir? 10 F 20 F 30 F Q1 Q2 Q3 Solução: Na ligação em paralelo a ddp é a mesma para Todos os capacitores. V = Q1/10 = Q2/20 = Q3/30 Assim, Q2 = 20 x (Q1/10) = 20 x (200/10) = 400 C Q3 = 30 x (Q1/20) = 30 x (200/10) = 600 C Qtotal = 200 + 400 + 600 = 1200 C

mas a área das placas de C1 é o dobro da área das placas de C2. EXERCÍCIOS 1 - Um capacitor de placas paralelas com ar entre as armaduras é carregado até que a diferença de potencial entre suas placas seja U. Outro capacitor igual, contendo um dielétrico de constante dielétrica igual a 3, é também submetido à mesma diferença de potencial. Se a energia do primeiro capacitor é W, qual será a energia do segundo? Resposta: 3W     2 - Dois capacitores C1 e C2 são constituídos por placas metálicas, paralelas e isoladas por ar. Nos dois condensadores, a distância entre as placas é a mesma, mas a área das placas de C1 é o dobro da área das placas de C2. Ambos estão carregados com a mesma carga Q. Se eles forem ligados em paralelo, qual será a carga de C2?  Resposta: Q/2 3 – Se a carga no capacitor C1 = 200 F é 2000  C, qual será a carga no capacitor C3? Dados C2 = 100 F e C3 = 200 F. C1 Resposta: 3000 C 4 – Qual é a capacitância equivalente ao conjunto do exercícios 3? Resposta: 120 F C3 C2

entre as armaduras do capacitor C4 é de 100 V? 5 – Qual é a energia acumulada no capacitor C5 do sistema indicado a seguir se a ddp entre as armaduras do capacitor C4 é de 100 V? 20 F 30 F C1 C2 C3 C5 = 40 F C4 Resposta: 1,8 J 6 – Qual é a capacitância equivalente ao conjunto do exercícios 5? Resposta: 27,7 F 7 – Se cada capacitor do sistema vale 30 F, qual é a capacitância equivalente ao sistema? Resposta: 12 F.

(a) Qual é a carga em cada placa? 7 – Um capacitor de 10,0 F com placas paralelas e circulares está ligado a uma bateria de 12,0 V. (a) Qual é a carga em cada placa? (b) Qual seria a carga nas placas se a bateria continuasse ligada e a distância entre as placas fosse duplicada? (c) Qual seria a carga nas placas se o capacitor permanecesse ligado à bateria e o raio de cada placa fosse duplicado a distância permanecesse igual a à do item “a”? Respostas: (a) 120 C; (b) 60 C; (c) 480 C 8 – Na figura cada capacitor é de 4 F e a ddp Vab vale 20 V. (a) Qual é a carga em cada capacitor? (b) qual é a ddp para cada capacitor? (c) qual é a ddp Vad? (d) qual é a energia total acumulada no sistema de capacitores? a b d Respostas: Q4 = 48 C; Q3 = 32 C Q1 = Q2 = 16 C (b) V4 = 14 V; V3 = 8 V; V2 = V1 = 4 V (c) 8 V (d) 480 J 1 2 4 3

 = Ri + q/C (a tensão no capacitor é V = q/C) 9 – CIRCUITOS R - C Nos circuitos com resistores consideramos que as fems, as resistências e as correntes não variando com o tempo. Entretanto, diversos dispositivos utilizam capacitores o que faz a corrente variar. Nestes dispositivos encontramos capacitores associados a resistores, conforme indica a figura a seguir. Fonte  (fem) Capacitor C Chave Ch Resistor R Consideremos que inicialmente a chave esteja aberta e a carga do capacitor seja nula. Fechando a chave, no instante t, a carga no capacitor é q e a corrente no resistor é i. De acordo com a lei das malhas teremos:  = Ri + q/C (a tensão no capacitor é V = q/C) Quando o capacitor atinge a carga máxima (Qf), a corrente no resistor será nula e  = Qf/C. No início teremos carga nula no capacitor e corrente io tal que que io = /R

q = Qf(1 – e-t/RC) i = i0e-t/RC Quando o capacitor atinge a carga máxima, a energia fornecida pela bateria é Qf. e a energia acumulada no capacitor é (1/2)QfV. Mas a ddp entre as armaduras, quando não houver mais corrente, é igual á fem () da fonte. Portanto, a energia acumulada no capacitor é a metade da energia fornecida pela fonte. Isto significa que o resistor dissipa a outra metade da energia fornecida pela fonte. Da equação  = Ri + q/C , tira-se i = (/R) – (q/RC). O produto  = RC é denominado constante de tempo, cuja unidade é o segundo. Aplicando i = dq/dt = (/R) – (q/RC) tira-se dq/(q - C) = -dt/RC, que integrando no intervalo 0 a t, resulta em: q = Qf(1 – e-t/RC) que fornece a carga no capacitor no instante t. e i = i0e-t/RC que fornece a corrente no circuito no instante t.

 = Ri + q/C q = Qf.(1 – e-t/RC) i = i0.e-t/RC  = Ri0 = Qf/C Na descarga do capacitor, teremos: Carga restante no capacitor q = Qf.e-t/RC corrente no resistor i = i0.e-t/RC. RESUMO: - Equação do circuito:  = Ri + q/C Ao carregar o capacitor: (no instante t) q = Qf.(1 – e-t/RC) Carga no capacitor i = i0.e-t/RC (corrente no circuito)  = Ri0 = Qf/C Ao descarregar o capacitor: q = Qf.e-t/RC

EXERCÍCIOS 1 – Um circuito é constituído por uma fonte de energia de 120 V, um capacitor de 100 F, um resistor de 800 k e um interruptor. Supor nula a resistência interna da fonte. (a) Qual é a constante de tempo? No instante em que se fecha o interruptor, qual é: (b) a intensidade da corrente no resistor? (c) a carga no capacitor? (d) a ddp no resistor? (e) a ddp no capacitor? Depois de muito tempo após fechado o interruptor, qual é: (f) a intensidade da corrente no resistor? (g) a carga no capacitor? (h) a ddp no resistor? (i) a ddp no capacitor? (j) qual é a carga no capacitor e a intensidade da corrente no resistor 10 s após fechado o interruptor? Respostas: (a) 80 s; (b) 1,5 x 10-4 A; (c); zero; (d) 120 V; (e) zero (f) zero; (g) 1,2 x 104 C; (h) zero: (i) 120 V (j) 1,06 x 104 C e 1,2 x 10-4 A

 = RC = (800 x 103) x (100 x 10-6) = 80 segundos Solução do exercício anterior.  = RC = (800 x 103) x (100 x 10-6) = 80 segundos Ao ligar a chave, a carga no capacitor é nula e a ddp no resistor é igual fem da fonte. (b)  = Ri0  120 = 8 x 105.i0  i0 = 1,5 x 10-4 A (c) Zero (d) 120 V (e) Zero Muito tempo após fechado o interruptor, a corrente no resistor será nula e o capacitor adquire carga máxima. (f) zero (g) Qf = CV = 100 x 120 = 12000 C (h) Zero 120 V (j) –t/RC = -10/80 = -0,125 Q = Qf(1 – e-t/RC) = 12000(1 – 2,71829-0,125) = 1,06 x 104 C i = i0(e-t/RC) = 1,5 x 10-4.(2,71829-0,125) = 1,2 x 10-4 A