TÓPICOS DE MATEMÁTICA PROFESSOR: LUÍS GUSTAVO

PROBABILIDADE A teoria das probabilidades como ciência passou a existir no século XVII, quando um apostador francês,Chevalier de Méré (1607-1648), fez história, dirigindo-se a Blaise Pascal(1623-1662) para uma explicação de suas perdas inexplicáveis. Pascal combinou seus esforços com o seu amigo Pierre de Fermat e os dois estabeleceram as bases matemáticas para a teoria da probabilidade. Blaise Pascal Pierre de Fermat

Experimentos Experimento Determinístico Situações ou acontecimentos cujos resultados podem ser previstos com certeza. Exemplo: A temperatura em que a água ferve.  Experimento Aleatório ou Fenômeno Aleatório Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Exemplos: • Condições climáticas do próximo domingo; • Taxa de inflação do próximo mês; • Resultado ao lançar um dado ou moeda; • Tempo de duração de uma lâmpada.

Espaço Amostral (Ω ou S) Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório ou fenômeno aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado ⇒ Ω = {1,2,3,4,5,6} 2. Tipo sanguíneo de um individuo ⇒ Ω = {A, B, AB, O} 3. Opinião de um eleitor sobre um projeto ⇒ Ω = {Favorável,Contrário} 4. Tempo de duração de uma lâmpada ⇒ Ω={t; t>0)

EVENTO São os possíveis subconjuntos de um espaço amostral, ou seja, qualquer um dos possíveis resultados de um experimento aleatório. Exemplos: No lançamento de um dado não viciado, veja alguns eventos: A: sair face par: ⇒ A = {2,4,6} ⊂ Ω B: Sair face maior que 3 ⇒ B = {4,5,6} ⊂ Ω C: sair face 1 ⇒ C={1} ⊂ Ω D: sair face 7 ⇒ D ={ } (evento impossível) = ∅ (conjunto vazio) ⊂ Ω E: sair face menor que 7  E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω (evento certo)

Operação com eventos Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral. • A ∪ B: União dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B • A ∩ B: Intersecção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B. • A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, A ∩ B = ∅. • A e B são complementares se sua intersecção é vazia e sua união representa o espaço amostral, isto é, A ∩ B = ∅ e A ∪ B = Ω. • O complementar de um evento A é representado por AC ou A .

Exemplo: No lançamento de um dado, temos: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Considerando os eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}, obtenha: • A ∩ B = {2, 4, 6} ∩ {4, 5, 6} = {4, 6}. • A ∩ C = {2, 4, 6} ∩ {1} = ∅. • A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}. • A ∪ C = {2, 4, 6} ∪ {1} = {1, 2, 4, 6}. • AC = {1, 3, 5} não sair face par.

FREQUÊNCIA RELATIVA Frequência relativa é o quociente entre a frequência absoluta do valor da variável (n) e o número total de observações (m). Então:

PROBABILIDADE DE UM EVENTO A probabilidade de um evento é determinada pelo quociente entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral. OU

Exercício 1 Em um colégio foi realizada uma pesquisa sobre as atividades extracurriculares de seus alunos. Dos 500 alunos entrevistados, 240 praticavam um tipo de esporte, 180 frequentavam um curso de idiomas e 120 realizavam estas duas atividades, ou seja, praticavam um tipo de esporte e frequentavam um curso de idiomas. Se, nesse grupo de 500 estudantes um é escolhido ao acaso, a probabilidade de que ele realize pelo menos uma dessas duas atividades, isto é, pratique um tipo de esporte ou frequente um curso de idiomas, é A) 18/25 . B) 3/5. C) 12/25. D) 6/25. E) 2/5. Resolução: 120 60 E I 200

Propriedades da Probabilidade Sendo P(E) a probabilidade de ocorrer o evento E e Ω o espaço amostral, temos: • Se E ⊂ Ω  0 ≤ P(E) ≤ 1 • Se E = Ω  P(E) = 1 (probabilidade do evento certo) • Se E =   P(E) = 0 (probabilidade do evento impossível) Se E = E1 ou E2 ou E3 ...(E1  E2  E3 ... =  )  P(E) = P(E1) + P(E2) + P(E3) + ...

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) Se A e B são eventos de um mesmo espaço amostral, então: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, ou seja, A  B =, temos: P(A∪B) = P(A) + P(B)

Na tabela, aparecem registrados os dados de 1000 doadores de sangue. Exercício 2 Na tabela, aparecem registrados os dados de 1000 doadores de sangue.   Sorteando-se um dos 1000 doadores, a probabilidade de sair um portador de sangue do tipo O ou de fator RH positivo é igual a a) 92,3% b) 93,4% c) 94,1% d) 95,2% e) 96,3% Resolução:

Se E é um evento, então E será o seu evento complementar. Logo: PROBABILIDADE DE EVENTOS COMPLEMENTARES Se E é um evento, então E será o seu evento complementar. Logo: P( E ) + P(E) = 1

Exercício 3 Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revelaram que no biênio 2004/2005, nas rodovias federais, os atropelamentos com morte ocuparam o segundo lugar no ranking de mortalidade por acidente. A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 mortes. Cerca de 4 mil atropelamentos/ano, um a cada duas horas, aproximadamente. Disponível em: http://www.ipea.gov.br. Acesso em: 6 jan. 2009. De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente para investigação mais detalhada um dos atropelamentos ocorridos no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter sido um atropelamento sem morte é: a) 2/17 b) 5/17 c) 2/5 d) 3/5 e) 12/17 Resolução:

Probabilidade Condicional Sejam A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral Ω, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B é dado por: ou P(A/B) é a probabilidade de ocorrência do evento A com a condição que B tenha ocorrido.

Exercício 4 Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reações em: “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem. O administrqador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem “Contos de Halloween”. Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de Halloween” é “Chato” é mais aproximada por a) 0,09 b) 0,12 c) 0,14 d) 0,15 e) 0,18

Resolução:

Exercício 5 Em uma escola 20% dos alunos tem problemas visuais, 8% problemas auditivos e 4% tem problemas visuais e auditivos. Sabendo que o aluno escolhido tem problemas visuais, qual é a probabilidade de que tenha problemas auditivos? Resolução:

Exercício 6 A queima de cana aumenta a concentração de dióxido de carbono e de material particulado na atmosfera, causa alteração do clima e contribui para o aumento de doenças respiratórias. A tabela abaixo apresenta números relativos a pacientes internados em um hospital no período da queima da cana. Escolhendo-se aleatoriamente um paciente internado nesse hospital por problemas respiratórios causados pelas queimadas, a probabilidade de que ele seja uma criança é igual a

a) 0,26, o que sugere a necessidade de implementação de medidas que reforcem a atenção ao idoso internado com problemas respiratórios. b) 0,50, o que comprova ser de grau médio a gravidade dos problemas respiratórios que atingem a população nas regiões das queimadas. c) 0,63, o que mostra que nenhum aspecto relativo à saúde infantil pode ser negligenciado d) 0,67, o que indica a necessidade de campanhas de conscientização que objetivem a eliminação das queimadas e) 0,75, o que sugere a necessidade de que, em áreas atingidas pelos efeitos das queimadas, o atendimento hospitalar no setor de pediatria seja reforçado. Resolução: Alternativa: E

Independência de eventos Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade da ocorrência de A. Isto é: P(A/B) = P(A), P(B)>0 Consequentemente, temos que dois eventos A e B são independentes se somente se, P(A∩B) = P(A) P(B).

Exercício 7 Em um determinado semáforo, as luzes completam um ciclo de verde, amarelo e vermelho em 1 minuto e 40 segundos. Desse tempo, 25 segundos são para a luz verde, 5 segundos para a amarela e 70 segundos para a vermelha. Ao se aproximar do semáforo, um veículo tem uma determinada probabilidade de encontrá-lo na luz verde, amarela ou vermelha. Se essa aproximação for de forma aleatória, pode-se admitir que a probabilidade de encontrá-lo com uma dessas cores e diretamente proporcional ao tempo em que cada uma delas fica acesa. Suponha que um motorista passa por um semáforo duas vezes ao dia, de maneira aleatória e independente uma da outra. Qual e a probabilidade de o motorista encontrar esse semáforo com a luz verde acesa nas duas vezes em que passar? 1/25 b) 1/16 c) 1/9 d) 1/3 e) 1/2 Resolução:

Exercício 8 Considere uma prova de Matemática constituída de quatro questões de múltipla escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é correta. Um candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em cada questão. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de esse candidato acertar, nessa prova, exatamente uma questão é A) 27/64. B) 27/256. C) 9/64. D) 9/256. Resolução:

Exercícios propostos 9) O sangue humano costuma ser classificado em diversos grupos, sendo os sistemas ABO e Rh os métodos mais comuns de classificação. A primeira tabela abaixo fornece o percentual da população brasileira com cada combinação de tipo sanguíneo e fator Rh. Já a segunda tabela indica o tipo de aglutinina e de aglutinogênio presentes em cada grupo sanguíneo. Em um teste sanguíneo realizado no Brasil, detectou-se, no sangue de um indivíduo, a presença de aglutinogênio A. Nesse caso, a probabilidade de que o indivíduo tenha sangue A+ é de cerca de a) 76%. b) 34%. c) 81%. d) 39%.  Gab: A

10) Segundo uma pesquisa realizada no Brasil sobre a preferência de cor de carros, a cor prata domina a frota de carros brasileiros, representando 31%, seguida pela cor preta, com 25%, depois a cinza, com 16% e a branca, com 12%. Com base nestas informações, tomando um carro ao acaso, dentre todos os carros brasileiros de uma dessas quatro cores citadas, qual a probabilidade de ele não ser cinza?   Gab: E 11)Duas máquinas A e B produzem juntas 5 000 peças em um dia. A máquina A produz 2 000 peças, das quais 2% são defeituosas. A máquina B produz as restantes 3 000 peças, das quais 3% são defeituosas. Da produção total de um dia, uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constatou-se que ela é defeituosa. Qual é a probabilidade de que essa peça escolhida tenha sido produzida pela máquina A?   Gab:

12) Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar doente é 1/25. Quando uma ave está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/4, e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/40. Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser devorada por predadores é de:  a) 1,0%. b) 2,4%. c) 4,0%. d) 3,4%. e) 2,5%. Gab: D 13) Uma emissora de rádio possui dois programas, que ocorrem em horários diferentes, em que os ouvintes podem participar ao vivo, por meio de telefone. A emissora consegue atender 10% das ligações que são feitas para o primeiro programa e 20% para o segundo, sendo que todas as ligações feitas para um mesmo programa têm a mesma probabilidade de serem atendidas. Se, num certo dia, uma pessoa fizer uma única ligação para cada programa, então a probabilidade de que ela participe de pelo menos um dos dois programas é igual a  a) 18%. b) 20%. c) 26%. d) 28%. e) 30%. Gab: D

14) Uma universidade irá participar dos Jogos Olímpicos Universitários com 140 acadêmicos distintos dos seguintes cursos: 80 de Matemática, 40 de Engenharia Elétrica e 20 de Ciência da Computação. Sorteando-se um acadêmico ao acaso, para representar a Universidade na Solenidade de Abertura destes jogos, qual a probabilidade de que ele pertença ao curso de Matemática ou de Engenharia Elétrica?  a) 4/7 b) 3/7 c) 8/7 d) 6/7 e) 5/7 Gab: D 15) Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, quer exatamente 2 filhos homens e decide que, se a probabilidade fosse inferior a 50%, iria procurar uma clínica para fazer um tratamento específico para garantir que teria os dois filhos homens. Após os cálculos, o casal concluiu que a probabilidade de ter exatamente 2 filhos homens é a) 66,7%, assim ele não precisará fazer um tratamento. b) 50%, assim ele não precisará fazer um tratamento. c) 7,5%, assim ele não precisará fazer um tratamento. d) 25%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento. e) 37,5%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento.  Gab: E

16) De um total de 500 estudantes da área de exatas, 200 estudam Cálculo Diferencial e 180 estudam Álgebra Linear. Esses dados incluem 130 estudantes que estudam ambas as disciplinas. Qual é a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente esteja estudando Cálculo Diferencial ou Álgebra Linear? a) 0,26 b) 0,50 c) 0,62 d) 0,76 e) 0,80 Gab: B 17) Um casal planeja ter 4 filhos. Supondo igual a chance de um filho nascer do sexo masculino ou do sexo feminino, qual a probabilidade de o casal vir a ter, no mínimo, dois filhos do sexo masculino? a) 0,6871 b) 0,6872 c) 0,6873 d) 0,6874 e) 0,6875   Gab: E

18) A tabela abaixo fornece o número de estudantes matriculados por sexo e curso, no Colégio Técnico da UFRRJ no ano 2000. Ao escolher um aluno, a probabilidade de o mesmo ser do sexo feminino ou do Curso Técnico em Agropecuária é a) 33/109 b) 98/109 c) 101/109 d) 108/109 e) 120/109 Gab: C