Movimento Circular Uniforme

Dividir por T é igual a multiplicar por f s para uma circunferência pode ser escrito como No entanto, se período é o tempo de uma volta temos Dividir por T é igual a multiplicar por f

Para uma volta  = 2  t = T (período) Ou, como f = 1/T

Três tipos básicos de acoplamentos Por correias ou correntes. va = vb ωaRa = ωbRb faRa = fbRb Fa< fb Ta> Tb

Três tipos básicos de acoplamentos Por catracas Sentidos opostos va = - vb ωaRa = ωbRb faRa = fbRb Fa< fb Ta> Tb

Três tipos básicos de acoplamentos Por Eixos Mesmo Sentido va < vb fa fb Ra Rb ωa = ωb fa = fb Ta = Tb

Transmissão de MCU Polia Engrenagens Eixo Correm juntas Sentido oposto de giro Mesma velocidade linear VA = VB Correm juntas Mesmo sentido de giro Mesma velocidade linear VA = VB Giram Juntas Mesmo Sentido de Giro Mesma velocidade angular A =  B

02) Na temporada automobilística de Fórmula 1 do ano passado, os motores dos carros de corrida atingiram uma velocidade angular de 18.000 rotações por minuto. Em rad/s, qual é o valor dessa velocidade? (A) 300 π.  (B) 600 π.  (C) 9.000 π.  (D)18.000 π.  (E) 36.000 π.

04) (Unicamp – modificada) Em 2009 foramcomemorados os 40 anos da primeira missão tripulada à Lua, a Missão Apollo 11, comandada pelo astronauta norte-americano Neil Armstrong. Além de ser considerado um dos feitos mais importantes da história recente, esta viagem trouxe grande desenvolvimento tecnológico. a) A Lua tem uma face oculta, erroneamente chamada de lado escuro, que nunca é vista da Terra. O período de rotação da Lua em torno de seu eixo é de cerca de 27 dias. Considere que a órbita da Lua em torno da Terra é circular, com raio igual a r = × 3, 8 108 m. Lembrando que a Lua sempre apresenta a mesma face para um observador na Terra, calcule a sua velocidade orbital em torno da Terra.

05) (Pucmg 2010) “Nada como um dia após o outro” 05) (Pucmg 2010) “Nada como um dia após o outro”. Certamente esse dito popular está relacionado de alguma forma com a rotação da Terra em torno de seu próprio eixo, realizando uma rotação completa a cada 24 horas. Pode-se, então, dizer que cada hora corresponde a uma rotação de: a) 180º b) 360º c) 15º d) 90º

Operação com vetores

Determinando as características Direção: horizontal Sentido: direita Módulo: 4 m { 1 m

Determinando as características Direção: vertical Sentido: cima Módulo: 10 m { 2 m

Determinando as características Módulo: ? Hip2 = cat12 + cat22 Hip2 = 32 + 42 Hip2 = 25 Hip = Hip = 5 { 1 N

Determinando as características Módulo: ? Hip2 = cat12 + cat22 Hip2 = 12 + 42 Hip2 = 17 Hip = { 1 N

Determinando as características Módulo: ? Hip2 = cat12 + cat22 Hip2 = 22 + 42 Hip2 = 20 Hip = Hip = N { 1 N

Determinando as características Módulo: ? Hip2 = cat12 + cat22 Hip2 = 12 + 42 Hip2 = 20 Hip = Hip = N { 1 N

{ Método dos Polígonos 1 N Direção: vertical Sentido: cima Módulo: FR = F1 + F2 FR = 3 + 2 FR = 5 N { 1 N

{ Método dos Polígonos 1 N Direção: vertical Sentido: cima Módulo: FR = F1 + F2 FR = 3 - 2 FR = 1 N { 1 N

Método dos polígonos

E o módulo? Hip2 = cat12 + cat22 Hip2 = 22 + 72 Hip2 = 4 + 49

Método dos polígonos

E o módulo? Hip2 = cat12 + cat22 Hip2 = 22 + 62 Hip2 = 4 + 36

Método dos polígonos

Exemplo: Um corpo recebe a ação de apenas duas forças: F1 = 10 N e F2 = 10 N. Essas forças são iguais? Justifique. Possibilidades:

Exemplo: Uma pessoa anda 120 m para o leste, 80 m para o sul e, em seguida, 60 m para o oeste. Calcule a intensidade do vetor deslocamento sofrido nesse percurso.

Método do Paralelogramo Quando o ângulo entre os vetores são indispensáveis.

Método do Paralelogramo 1 - Gráfico

Método do Paralelogramo 2 - Equação

Exemplo 01) Duas forças, F1 e F2 têm intensidade iguais a 10N cada uma Exemplo 01) Duas forças, F1 e F2 têm intensidade iguais a 10N cada uma. Calcule a intensidade da resultante entre F1 e F2 quando o ângulo  entre elas for: a) 60° b) 90° c) 120°

02) Dois vetores deslocamentos possuem intensidades 12 m e 16 m 02) Dois vetores deslocamentos possuem intensidades 12 m e 16 m. Quais são as possibilidades de intensidades do vetor soma desses deslocamentos.. Possibilidades:

“Melhor” e “pior” possibilidade S = 16 + 12 S = 28 m S = 16 – 12 S = 4 m

Relembrando a soma vetorial Transformar dois vetores (ou mais) em um (resultante). Métodos: 1 – Polígono (emenda) 2 – Paralelogramo (ângulo)

Casos importantes

Decomposição Vetorial Transformar um vetor em dois

Componentes de um Vetor Se juntarmos as componetenes, chegamos ao vetor Se separarmos o vetor em 2 partes, encontramos uma parte no eixo x e uma parte no eixo y { 1 N

Como encontrar os valores das componentes? { 1 N Como encontrar os valores das componentes?

Como encontrar os valores das componentes? { 1 N Como encontrar os valores das componentes?

Exemplo Dados: F = 100 N sen  = 0,5 Fy = 50 N

Exemplo Dados: F = 80 N cos  = 0,4 Fy = 32 N

F x = F . cos  Fx = 10 . 2 2 Fx = 5 2 N F y = F . sen  Fy = 10 . 2 2 Fy = 5 2 N

F x = F . cos  Fx = 30 . 1 2 Fx = 15 N F y = F . sen  Fy = 30 . 3 2 Fy = 15 3 N

Geralmente, quando surge? Polígono Paralelogramo Situações comuns: Vários vetores Em quadriculado Formando 90° Fácil desenho Alinhados Situações comuns: - Quando é conhecido o ângulo entre DOIS vetores.

Outras Operações com vetores Multiplicação por escalar e vetor oposto

Multiplicação por escalar

Diferença vetorial

Multiplicação por Escalar

01) (UFC-CE) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta. CB + CD + DE = BA + EA BA + EA + CB = DE + CD EA - DE + CB = BA + CD EA - CB + DE = BA – CD  BA - DE - CB = EA + CD

Extra (CFT-CE) Uma partícula desloca-se sobre a trajetória formada pelas setas que possuem o mesmo comprimento L. A razão entre a velocidade escalar média e a velocidade vetorial média é: a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 3/2 e) 2 Deslocamento escalar = 6 L Deslocamento vetorial = 4 L Vme/Vmv=(6L/t)/(4L/t) Vme/Vmv=3/2

VETOR VELOCIDADE É o vetor que representa a direção e o sentido do movimento em todos os pontos da trajetória Direção:tangente a trajetória -Módulo: Sentido: o mesmo do movimento

ACELERAÇÃO VETORIAL ACELERAÇÃO TANGENCIAL:Responsável pela variação do módulo do vetor velocidade. Módulo: Direção: Tangente a trajetória

Sentido Acelerado Retardado

ACELERAÇÃO CENTRÍPETA É a aceleração que modifica a direção do vetor velocidade(movimento). Módulo: Direção: Radial Sentido: Para o centro

Dinâmica numa trajetória curva A força resultante tangencial é responsável pela mudança do módulo do vetor velocidade.(1) A força resultante centrípeta é responsável pela mudança da direção e sentido do vetor velocidade.

Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.

(06) (Vunesp) Curvas com ligeiras inclinações em circuitos automobilísticos são indicadas para aumentar a segurança do carro a altas velocidades, como, por exemplo, no Talladega Superspeedway, um circuito utilizado para corridas promovidas pela NASCAR (National Association for Stock Car Auto Racing). Considere um carro como sendo um ponto material percorrendo uma pista circular, de centro C, inclinada de um ângulo (alfa) e com raio R, constantes, como mostra a figura, que apresenta a frente do carro em um dos trechos da pista. Se a velocidade do carro tem módulo constante, é correto afirmar que o carro não possui aceleração vetorial. B) possui aceleração com módulo variável, direção radial e no sentido para o ponto C. C) possui aceleração com módulo variável e tangente à trajetória circular. D) possui aceleração com módulo constante, direção radial e no sentido para o ponto C. E) possui aceleração com módulo constante e tangente à trajetória circular.

07) (Unifesp 2007) A trajetória de uma partícula, representada na figura, é um arco de circunferência de raio r = 2,0 m, percorrido com velocidade de módulo constante, v = 3,0 m/s.O módulo da aceleração vetorial dessa partícula nesse trecho, em m/s2, é a) zero. b) 1,5. c) 3,0. d) 4,5. e) impossível de ser calculado.

Extra) (PUC–SP - modificado) Um móvel parte do repouso e percorre uma trajetória circular de raio 100m, em movimento acelerado uniformemente, de aceleração escalar igual 1m/s2. Calcule, após 10s, as componentes tangencial e centrípeta da aceleração e a resultante da aceleração. at = aceleração escalar = constante sempre at = 1 m/s2 ac = v2 R ac = ? R = 100 m v = ? v depende da aceleração tangencial v = v0 + a.t ac = v2 R ac = 102 100 ac = 100 ac = 1m/s2 v0 = 0 v = ? a = 1 m/s2 v = 0 + 1.10 v = 10 m/s

at = 1 m/s2 ac = 1m/s2 Diagonal de um retângulo Triângulo retângulo aR2 = ac2 + at2 aR2 = 12 + 12 aR2 = 2 aR2 = 2 aR = 2m/s2

Deslocamento escalar = depende da trajetória Extra) Um móvel percorre uma trajetória circular de raio 100m, Determine o deslocamento escalar e o módulo do deslocamento vetorial quando este percorre 1/4 da circunferência da trajetória descrita. Deslocamento escalar = depende da trajetória Um ciclo = 2.r = 2.3,14.100 = 628 m ¼ de ciclo = 628/4 = 157 m Deslocamento Vetorial = Hip2 = c12 + c22 Hip2 = 1002+1002 Hip2 = 20000 hip = 1002 A d ∆r B o 100 m 100 m

Extra) (UNIFESP-SP) Um móvel executa um movimento com velocidade escalar constante, ao longo de uma trajetória plana composta de trechos retilíneos e trechos em arcos de circunferências, conforme a figura abaixo. Os raios de curvatura dos pontos A, B, C, D e E estão indicados na figura. Pode-se afirmar, corretamente, que o módulo máximo da aceleração ocorreu quando o móvel passava nas proximidades do ponto: A        b) B               c) C     d) D                  e) E ac = v2 R

Extra) (UFCE) Uma partícula descreve trajetória circular, de raio r=1,0m, com velocidade variável. A figura mostra a partícula em um dado instante de tempo em que sua aceleração tem módulo a=32m/s2 e aponta na direção e sentido indicados. Nesse instante, o módulo da velocidade da partícula é: 2,0m/s       b) 4,0m/s     c) 6,0m/s d) 8,0m/s                e) 10,0m/s cos 60 ° = ca hip 0,5 = ac ac = 0,5.32 ac = 16 m/s2 32 ac = v2 16 = v2 R 1 V2 = 16 v = 4 m/s

angular da roda é 1 rotação por segundo, e que 08) (UNESP – 07) Uma técnica secular utilizada para aproveitamento da água como fonte de energia consiste em fazer uma roda, conhecida como roda d’água, girar sob ação da água em uma cascata ou em correntezas de pequenos riachos. O trabalho realizado para girar a roda é aproveitado em outras formas de energia. A figura mostra um projeto com o qual uma pessoa poderia, nos dias atuais, aproveitar-se do recurso hídrico de um riacho, utilizando um pequeno gerador e uma roda d’água, para obter energia elétrica destinada à realização de pequenas tarefas em seu sítio. Duas roldanas, uma fixada ao eixo da roda e a outra ao eixo do gerador, são ligadas por uma correia. O raio da roldana do gerador é 2,5 cm e o da roldana da roda d’água é R. Para que o gerador trabalhe com eficiência aceitável, a velocidade angular de sua roldana deve ser 5 rotações por segundo, conforme instruções no manual do usuário. Considerando que a velocidade angular da roda é 1 rotação por segundo, e que não varia ao acionar o gerador, o valor do raio R da roldana da roda d’água deve ser (A) 0,5 cm. (B) 2,0 cm. (C) 2,5 cm. (D) 5,0 cm. (E) 12,5 cm

Extra: Três engrenagens giram vinculadas conforme a figura Extra: Três engrenagens giram vinculadas conforme a figura. A engrenagem A  gira no sentido horário com velocidade angular 30 rad/s. As polias C, B e A possuem raios R, 2R e 3R, respectivamente. Determine as velocidades angulares de B e C e seus sentidos de rotação. vA = vB ωA.3R = ωB.2R 30.3 = ωB.2  ωB = 45 rad/s (sentido anti-horário) vB = vC  ωA.3R = ωC.R 30.3 = ωC  ωC = 90 rad/s (sentido horário)

Exemplos Enem Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de um círculo de raio R é igual a 2.p.R, onde p = 3? Enquanto a coroa dianteira dá uma volta, a coroa traseira dá três voltas, pois esta é três vezes menor. Em consequência do acoplamento existente entre a roda e a coroa traseiras, ambas darão o mesmo número de voltas. Sendo assim, temos: para uma volta da coroa dianteira a roda traseira dará três voltas, assim: C = 2.p.R.3, onde R é o raio da roda traseira C = 2.3.40.3 = 720cm = 7,2m raio da roda traseira = 40cm raio da coroa traseira = 5cm raio da coroa dianteira = 15cm

Exemplo 03        (FUVEST) Uma cinta funciona solidária com dois cilindros de raios RA=10cm e RB=50cm. Supondo que o cilindro maior tenha uma frequência de rotação fB igual a 60rpm: a) Qual a frequência de rotação fA do cilindro menor? b) Qual a velocidade linear da cinta ?