Programação Linear

Problemas de Optimização São problemas em que se procura a melhor solução (a que dá menor prejuízo, maior lucro, a que é mais eficiente, etc.) Alguns destes problemas resolvem-se procurando máximos ou mínimos de uma função, outros resolvem-se por outros processos, tais como Método de Programação Linear.

Programação Linear É um ramo da Matemática que estuda formas de resolver problemas de optimização cujas condições podem ser expressas por inequações lineares, isto é, inequações do primeiro grau. Um problema de programação linear que tenha só duas variáveis pode ser resolvido graficamente, representando as soluções de cada uma das inequações por um semiplano e em seguida procurando o ponto do polígono obtido que corresponde à solução óptima.

Passos a seguir na resolução de um problema de Programação Linear: 1º Passo: Organizar os dados;   2º Passo: Identificação das variáveis de decisão. As decisões a tomar são representadas por variáveis x, y, …  3º Passo: Identificação da função objectivo;   A base de um problema de programação é maximizar ou minimizar uma função: função objectivo, que satisfaz um conjunto de condições (restrições). As restrições lineares definem um polígono convexo, formado por um conjunto de pontos a admissíveis – região admissível;  4º Passo: Identificação das restrições. As restrições são representadas por inequações do 1ºgrau; 5º Passo: Representação gráfica das restrições. O conjunto das restrições define um domínio plano, designado por região admissível; 6º Passo: Determinação da solução óptima;    7º Passo: Calcular o valor da função objectivo nos vértices da região admissível e confirmar a solução obtida graficamente.

2 3 4 5 6 7 Problema Uma fábrica de confecções produz dois modelos de camisas de luxo. Uma camisa do modelo A necessita de 1 metro de tecido, 4 horas de trabalho e custa 120€. Uma camisa do modelo B exige 1,5 metros de tecido, 3 horas de trabalho e custa 160€. Sabendo que a fábrica dispõe diariamente de 150 metros de tecido, 360 horas de trabalho e que consegue vender tudo o que fabrica, quantas camisas de cada modelo será preciso fabricar para obter um rendimento máximo?

1º Passo: Organizar os dados Metros de tecido Horas de trabalho Preço (em €) Modelo A Modelo B Disponibilidade 120 1 4 160 1,5 3 150 360 Uma camisa do modelo B exige 1,5 metros de tecido, 3 horas de trabalho e custa 160€. Uma camisa do modelo A necessita de 1 metro de tecido, 4 horas de trabalho e custa 120€. Sabendo que a fábrica dispõe diariamente de 150 metros de tecido, 360 horas de trabalho

2º Passo: Identificar as variáveis x – nº de camisas de modelo A y – nº de camisas de modelo B

P Organizar os dados x y Metros de tecido Horas de trabalho Preço (em €) Modelo A Modelo B Disponibilidade 120 x 1 (1x) 4 (4x) (120x) y 160 1,5 (1,5y) 3 (3y) (160y) 150 360 x – nº de camisas de modelo A y – nº de camisas de modelo B

P 3º Passo: Definir Função objectivo R= 120 x + 160 y Função objectivo Rendimento Máximo: Vende-se x camisas do modelo A Ganha-se 120  x   Vende-se y camisas do modelo B Ganha-se 160  y R= 120 x + 160 y Função objectivo

4º Passo: Escrever as Restrições O número de camisas de cada modelo tem de ser não negativo. x - é a quantidade, em metros, de tecido gasto para confeccionar as camisas do modelo A. 1,5y - é a quantidade, em metros, de tecido gasto na confecção das camisas do modelo B. 150 - é a quantidade de tecido, em metros, de que a fábrica dispõe diariamente. 4x é o número de horas necessárias para confeccionar as camisas do modelo A 3y é o número de horas necessárias para fabricar as camisas do modelo B 360 é o número total de horas de trabalho diário.

4º Passo: Escrever as Restrições Escrever, sempre que possível, cada uma das restrições em ordem a y

5º Passo: Definir Região admissível (Região de validez) Região de validez é o polígono convexo definido pelas restrições do problema. 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 140 x x 30 30 60 60

P 6º Passo: Resolver o problema analiticamente Para resolvermos analiticamente temos de aceitar algumas regras: Se um problema de programação linear tem uma solução, esta está localizada num dos vértices da região admissível. Se um problema de programação linear tem múltiplas soluções, pelo menos uma delas está localizada num dos vértices da região admissível. Em qualquer dos casos o valor correspondente da função objectivo é único. D A B C

P Resolução analítica As coordenadas dos quatro vértices são: A(30,80), B(90,0), C(0,0) e D(0,100). Para cada um dos pares teremos de obter o valor da função objectivo, eliminando o par (0,0). A solução óptima será então x = 30 e y = 80 E o rendimento máximo será de 16400€.

P 7º Passo: Resposta Resposta: Será preciso fabricar, por dia, 30 camisas do modelo A e 80 do modelo B para que a fábrica tenha o máximo de rendimento.