Prof. Edinaldo José da Silva Pereira CIRCUITOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS Prof. Edinaldo José da Silva Pereira

CIRCUITOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS Para indutores lineares e invariantes no tempo M12 = M21 = M. As auto-indutâncias são sempre positivas, enquanto que as indutâncias mútuas podem ser positivas ou negativas, dependendo do sentido do enrolamento das bobinas. REGRA DOS PONTOS: quando ambas as correntes entram ou saem de um par de bobinas acopladas pelos terminais que tem o ponto, os sinais dos termos em M são iguais aos dos termos em L. Seuma das correntes entra e a outra sai, os sinais dos termos em M são opostos aos dos termos em L. O efeito da mútua indutância é introduzir uma reatância mútua Xm ou uma impedância mútua Zm, onde Zm = jXm = jωM.

CASO 1: DUAS INDUTÂNCIAS SÉRIE Leq deve ser positivo, pois caso contrário um Leq negativo forneceria uma quantidade infinita de energia para uma fonte de corrente positivamente crescente. O sinal da mútua mudaria se apenas um dos pontos mudasse de posição.

CASO 2: INDUTÂNCIAS EM PARALELO O sinal do denominador muda com a mudança de posição de um dos pontos da mútua.

Coeficiente de acoplamento Para Leq ≥ 0, então: 𝐿 1 𝐿 2 − 𝑀 2 ≥0 já que o denominador foi anteriormente analisado. Esta última é mais restritiva que a primeira. Logo, 𝑀 𝑚𝑎𝑥 = 𝐿 1 𝐿 2 𝐾= 𝑀 𝐿1𝐿2 defini-se: Coeficiente de acoplamento 0≤𝐾≤1 Em transformadores com núcleo de ferro usados em sistemas de distribuição de potência, K ≈ 1. REFLEXÃO DE IMPEDÂNCIAS IMP. REFLETIDA (Zf) IMP. TOTAL SECUNDÁRIO

, quando Z 0. 𝑀 2 ≤ 𝐿 1 𝐿 2 ≥0 Se Z = R + jX, então Zf é: Resistência refletida Se X for indutiva (X > 0), reflete-se como uma contribuição capacitiva no primário, aumentando assim a corrente, pois cancelará parte da reatância positiva deste.

Exemplo: A chave k foi fechada em t = 0, quando o circuito se encontrava relaxado. Determine v(t) para t ≥ 0.

Exemplo: Calcular E2 sabendo que K = 1/2.

Impedância efetiva do primário Não dissipa energia Não tem fluxo de dispersão (K = 1) Indutância própria de cada enrolamento é infinita TRANSFORMADOR IDEAL N – razão de transformação do transformador Impedância efetiva do primário A impedância é sempre modificada pelo quadrado da razão de transformação (N) e a maior impedância acontece no lado com maior número de espiras. transferência do enrolamento primário para o secundário Transferência da carga do enrolamento secundário para o primário

Exemplo: Qual o valor de E1 e E2? Solução: Usando o equivalente do primário.

Exemplo: Um transformador ideal pode ser usado para representar a conexão de um amplificador estéreo, V1, com um auto-falante, RL. Determine a razão de espiras necessária para que haja máxima transferência de potência para o auto-falante. Solução: Condição para máxima transferência de potência

BOBINAS COM ACOPLAMENTO UNITÁRIO (L1 L2 = M2) como (L1 L2 = M2), então: Portanto, Y é a combinação paralela de uma indutância jωL1 e uma impedância ZL1/L2. Esta última pode ser vista como uma impedância que foi refletida por um transformador em paralelo com a impedância da bobina do primário.

Para a obtenção do correto circuito circuito equivalente do primário é necessário, somente, que 𝑁= 𝐿 2 𝐿 1 . A impedância refletida através do transformador é Para a situação (I), escreve-se: Eq. geral

No caso de K = 1 𝐿 1 𝐿 2 − 𝑀 2 =0 ∗ ou Considerando as equações (*) e (**), vem então para acoplamento unitário, a tensão de saída, E2, é N vezes a de entrada, E1, onde 𝑁= 𝐿 2 𝐿 1 . O valor de N é idêntico àquele assumido pelo transformador ideal, concluindo-se que o comportamento das bobinas acopladas com K = 1 é similar ao do transformador ideal. Em resumo, um par de bobinas acopladas com K = 1 é equivalente a um transformador ideal com razão de espiras igual a raiz quadrada da razão das indutâncias próprias do secundário pelo primário, e a uma indutância shunt no primário do transformador, de mesmo valor da indutância própria do primário. Um transformador ideal não teria esta indutância. Por isso, pode-se dizer que um transformador ideal age como um par de bobinas com acoplamento unitário cujos valores destas indutâncias próprias são INFINITOS.

BOBINAS COM L1, L2 E M ARBITRÁRIOS 𝐾= 𝑀 𝐿1𝐿2 < 1 Em geral, Diminuindo-se o valor de L1 e/ou L2, pode-se obter K = 1. Neste caso,

(II) Comparando (I) com (II), L1, L2 e M são conhecidos Com quatro incógnitas e três equações, deve-se arbitrar uma das incógnitas, por exemplo, N. Assim, Entretanto, como deseja-se indutâncias positivas, limita-se N. Neste caso,

Em geral, escolhe-se a média geométrica destes valores extremos para arbitrar N. 𝑁= 𝐿 2 𝐿 1 → 𝐾=1 𝑁= 𝐿 2 𝐿 1 → 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑚𝑎 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑠. 𝑁= 𝐿 2 𝐿 1 → 𝐿 𝑏 = 𝑁 2 𝐿 𝑎 Exercício: Monte o circuito equivalente com transformador para as bobinas acopladas apresentadas. Solução: Neste caso, Como o K foi baixo, 𝐾= 𝑀 𝐿 1 𝐿 2 =0,3, então as indutâncias La e Lb foram altas.

EXERCÍCIOS 1. O circuito abaixo manteve a chave k fechada até t = 5 s, quando, tendo alcançado o regime, a mesma abriu. Determine v(t) para 𝑡≥5𝑠.

2. O circuito abaixo estava em regime com a chave k conectada em a, quando em t = 0 a mesma conectou em b. Determine a corrente sobre R2 para 𝑡≥0.

3. O circuito abaixo estava em regime com a chave k aberta 3. O circuito abaixo estava em regime com a chave k aberta. Em t = 0 a mesma fechou. Determine a tensão sobre R3 para 𝑡≥0.

4. Determine a corrente sobre R2 para 𝑡≥0 4. Determine a corrente sobre R2 para 𝑡≥0. Supor circuito inicialmente relaxado.

5. Determine a corrente sobre R2 para 𝑡≥0 5. Determine a corrente sobre R2 para 𝑡≥0. Supor circuito inicialmente relaxado.