ESTATÍSTICA

UDI - ESTATÍSTICA DESCRITIVA Ass 04: SEPARATRIZES E MODA

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Calcular as principais separatrizes; Interpretar as principais separatrizes; Calcular a Moda Bruta; Calcular a moda de DF pelos critérios de Czuber e Pearson; Comparar graficamente os valores da Média, da Mediana e da Moda; Utilizar-se de dados estatísticos na tomada de decisão.

SUMÁRIO 1 - Separatrizes 2 - Cálculo das Separatrizes 3 - Mediana 4 - Moda 5 - Comparação entre Mo, Md e  6 - Uso do Computador

1 - SEPARATRIZES São os valores da variável aleatória que dividem a série ORDENADA de dados em partes IGUAIS. Mediana (Md) Quartis (Qi i = 1, 2 e 3) PRINCIPAIS SEPARATRIZES Decis (Di i = 1, 2, ..., 9) Percentis ou Centis (Pi = Ci i = 1, 2, ..., 99)

Q2 = P50 = Md = D5 Q2 = 7,5 Q1 = 3,75 Q3 = 11,25 Suponha o fenômeno em um rol (crescente), representado por esta régua milimetrada. Md = 7,5 Q1 = P25 Q3 = P75 Q1 25% Q3 25% Mediana 50%

Qual a altura mediana do grupo de 7 pessoas com essas alturas? Emd = 4o Mediana = 1,76 m

Qual a altura mediana do grupo de 8 pessoas com essas alturas? Emd = 3o ou 4o ? Mediana = ?

SUMÁRIO 2 - Cálculo das Separatrizes 3 - Mediana 4 - Moda 5 - Comparação entre Mo, Md e  6 - Uso do Computador

2 - Cálculo das Separatrizes Duas são as rotinas de cálculo: 2.a - Cálculo para dados brutos. 2.b - Cálculo para dados em classes.

2.a - Cálculo para dados brutos O cálculo, neste caso, é baseado na separatriz Percentil. Para a obtenção dos valores numéricos correspondentes às demais separatrizes, aplicam-se as correspondências entre elas e os Percentis. Ex: Md = P50 ; Q3 = P75 ; D2 = P20 ; ....

2.a - Cálculo para dados brutos A rotina de cálculo baseia-se na figura abaixo: Ordem na série Posição % 1o 2o xo no 100 % p% 0%

2.a - Cálculo para dados brutos Ordem na série Posição % 1o 2o xo no 100 % p% 0%

Exemplo 1: Calcule a Mediana das alturas {1,64 ; 1,69 ; 1,72 ; 1,76 ; 1,78 ; 1,79 ; 1,81} Posição % 100 % 0% Ordem na série 50 % 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o Emd = xo = 4o Md = 1,76

Exemplo 2: Calcule a Mediana das alturas {1,64 ; 1,69 ; 1,72 ; 1,76 ; 1,78 ; 1,79} Posição % 100 % 0% Ordem na série 50 % 1o 2o 3o 4o 5o 6o Emd = xo = 3,5o Md = (1,72 + 1,76)/2 = 1,74 m

Exemplo 3: Calcule Q3 das alturas {1,64 ; 1,69 ; 1,72 ; 1,76 ; 1,78 ; 1,79} Posição % 100 % 0 % Ordem na série 75 % 1o 2o 3o 4o 5o 6o EQ3 = xo = 4,75o Q3 = 1,76 + 0,75 (1,78 - 1,76) = 1,775 m

2.b - Cálculo p/dados em classes O cálculo, neste caso, é baseado na Hipótese Básica da Tabulação. Para a obtenção dos valores numéricos correspondentes às separatrizes, são feitas interpolações lineares dentro da classe identificada como possuidora do valor da ordem desejada.

Ex. 1: Para o extrato de DF abaixo, calcule a Mediana. 1) Emd = 45/2 = 22,5o 2) Classe da Mediana: 71 | 83 3) Será o (22,5 - 17) = 5,5o valor da classe 22 __ 12 kg (83 - 71) 5,5 __ x kg 4) Md = 71 + x = 74 kg

Fórmula Genérica Sp = valor procurado para a separatriz k = número de ordem da classe da separatriz lk = limite inferior da classe da separatriz hk = amplitude da classe da separatriz p = posição (ordem) do elemento separatriz r = razão de divisão da separtriz n = total de observações Onde

Fórmula Genérica p/ Mediana (Md) ...........................  r = 1 / 2 p/ Quartis (Qi i = 1, 2 e 3) ..........  r = i / 4 p/ Decis (Di i = 1, 2 , ... e 9) .......  r = i / 10 p/ Percentis (Pi i = 1, 2 , ... e 99)  r = i / 100

Ex. 2: Para o extrato de DF abaixo, calcule a Md e o P82 usando a fórmula genérica p= 45/2 = 22,5  k = 3 2) P82 p= 0,82 x 45 = 36,9  k = 3

SUMÁRIO 3 - Mediana 4 - Moda 5 - Comparação entre Mo, Md e  1 - Separatrizes 2 - Cálculo das Separatrizes 3 - Mediana 4 - Moda 5 - Comparação entre Mo, Md e  6 - Uso do Computador

Já sabemos que a Md: 3 - Mediana (Md) É o valor do meio da série ordenada. Divide a série em duas partes, sendo maior (ou igual) que uma metade dos valores e menor (ou igual) à outra metade. Mas tem mais 

3 - Mediana (Md) Divide o histograma em duas áreas iguais. Md = 6 2 1 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 2 1 Média = (2 + 2 + 6 + 14 + 26) / 5 = 10

Na presença de valores discrepantes (muito altos ou muito baixos), torna-se mais representativa que a média. Md = 6 0 4 8 12 16 20 24 28 32 124 128 2 1 Média = (2 + 2 + 6 + 14 + 126) / 5 = 30

SUMÁRIO 4 - Moda 5 - Comparação entre Mo, Md e  6 - Uso do Computador 1 - Separatrizes 2 - Cálculo das Separatrizes 3 - Mediana 4 - Moda 5 - Comparação entre Mo, Md e  6 - Uso do Computador

4 - Moda (Mo) Moda de uma série de dados é o valor que ocorre com maior freqüência. OBS: A Moda pode não existir e, existindo pode não ser única. Em virtude disto, a série pode ser classificada quanto a Moda em: AMODAL, UNIMODAL, BIMODAL ou MULTIMODAL.

4 - Moda (Mo) 4.a - Moda para dados brutos: Neste caso a Moda é obtida por observação direta da série ou com o uso de planilhas eletrônicas (para grandes massas de dados). Exemplos: X = { 2, 3, 4, 4, 6, 18 }  Mo = 4 (Unimodal) Y = {3, 3, 4, 4, 6,18 }  Mo = 3 e 4 (Bimodal) Z = { 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6 }  Amodal

4 - Moda (Mo) 4.b - Moda para dados em classes: Neste caso a Moda só pode ser obtida através de aproximações. As mais conhecidas aproximações são: Moda Bruta (MoB) Moda de Pearson (MoP) Moda de Czuber (Mocz)

4.b - Moda para dados em classes: Moda Bruta (MoB) É a aproximação mais rudimentar. A Moda é admitida como sendo o ponto médio da classe com maior freqüência (classe modal). Moda de Pearson (MoP) É uma aproximação restrita aos fenômenos moderadamente assimétricos, que são os que têm  3  0,05.

Moda Czuber (MoCZ) É a aproximação mais elaborada. Leva em consideração as classes vizinhas à classe modal. 2 1 onde: 1 = Fk - Fk -1 2 = Fk - Fk + 1 Mo k = ordem da classe modal

Ex. 1: Para o extrato de DF abaixo, calcule a Moda Bruta e a de Czuber. Moda Bruta (MoB) MoB = (83 + 71)/2 = 77 kg Moda Czuber (MoCZ) Mocz = 75 kg

SUMÁRIO 5 - Comparação entre Mo, Md e  6 - Uso do Computador 1 - Separatrizes 2 - Cálculo das Separatrizes 3 - Mediana 4 - Moda 5 - Comparação entre Mo, Md e  6 - Uso do Computador

5 - Comparação entre Mo, Md e  Simétrica Mo = Md =  Assimétrica Negativa Mo > Md >  Assimétrica Positiva Mo < Md < 

SUMÁRIO 6 - Uso do Computador 1 - Separatrizes 2 - Cálculo das Separatrizes 3 - Mediana 4 - Moda 5 - Comparação entre Mo, Md e  6 - Uso do Computador

6 - Uso do Computador O que o Excel pode fazer por você:

6 - Uso do Computador O que o Excel pode fazer por você:

Exemplo de uso das funções do Excel

PRATIQUE COM OS EXERCÍCIOS BOA SORTE!