CONJUNTOS NUMÉRICOS

CONJUNTOS NUMÉRICOS O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números para responder a problemas entretanto surgidos.

CONJUNTOS NUMÉRICOS NATURAIS INTEIROS RACIONAIS REAIS

CONJUNTOS NUMÉRICOS 7 NÚMEROS NATURAIS Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais. 6 5 1 2 3 4

NÚMEROS NATURAIS IN = {1, 2, 3, 4, 5, ... } CONJUNTOS NUMÉRICOS NÚMEROS NATURAIS A representação matemática deste conjunto é: IN = {1, 2, 3, 4, 5, ... }

NÚMEROS INTEIROS Os números naturais não permitiam a resolução de todas as operações. A subtracção de 3 - 4 era impossível. A ideia do número negativo, aparece na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas. A ideia do número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} NÚMEROS INTEIROS A representação matemática deste conjunto é: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

NÚMEROS RACIONAIS Entretanto...surgiu outro tipo de problema: “ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “ Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fracionários. Estes números juntamente com os números inteiros formam os racionais.

NÚMEROS REAIS Os pitagóricos ao determinar a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário, não conseguiram encontrar um número racional para essa medida, surgindo dessa forma os números reais.

Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 Restaurante 1 Boutique Ginásio ? Garagem Lavagem Automática Quando andas de elevador utilizas os números para subir e descer indicando o andar a que pretendes chegar, ou seja, estás a usar alguns elementos do conjunto dos números inteiros

cabeleireiro carrega no botão ... A senhora que vai ao cabeleireiro carrega no botão ... Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 ? Restaurante 1 Boutique Ginásio ? Garagem ? Lavagem Automática ?

Qual te parece ser o andar do ginásio? Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 Restaurante 1 Boutique Ginásio -1 ? Garagem ? Lavagem Automática ?

E o andar da garagem? Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 Restaurante 1 Boutique Ginásio -1 Garagem ? -2 Lavagem Automática ? 30 de março de 2017

E o andar das lavagens automáticas? Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 Restaurante 1 Boutique Ginásio -1 Garagem -2 Lavagem Automática ? -3

REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA Os números relativos – positivos, negativos ou o zero – podem ser representados numa recta por meio de pontos. Consideremos uma recta r e marquemos sobre ela um ponto O, a que chamamos origem. Escolhemos uma unidade de medida e um sentido positivo (por exemplo da esquerda para a direita). Desta maneira obtemos um eixo ou reta numérica. O r 1 + -

REPRESENTAÇÃO NA RETA + - O +1 +5 A + - O +1 -3 B Se quisermos marcar o ponto A correspondente ao número +5, contamos 5 unidades para a direita de O. + - O +1 +5 A Se quisermos marcar o ponto B correspondente ao número -3, contamos 3 unidades para a esquerda de O. + - O +1 -3 B

A origem tem abcissa zero. REPRESENTAÇÃO NA RETA O número que corresponde a um ponto do eixo chamamos abcissa desse ponto. - -3 O +1 +5 + A B A abcissa de B é -3 A abcissa de A é +5 A origem tem abcissa zero.

ORDENAÇÃO Quando dispostos sobre um eixo, os números relativos encontram-se ordenados. Se o eixo é horizontal e orientado da esquerda para a direita, um número é tanto maior quanto mais para a direita se encontrar. -3 -2 -1 1 2 3 4 5 Cada vez maior

Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever: ORDENAÇÃO Vemos, por exemplo, que +5 é maior que +2 e para indicar este facto escrevemos: + 5 > + 2 Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever: + 2 < + 5 Isto é, se a > b então b < a 2 3 4 5 1 -1 -2 -3 • •

ORDENAÇÃO Da observação da posição relativa de dois números num eixo resultam algumas regras para comparar dois números diferentes: Qualquer número positivo é maior do que zero. + 0,012 > 0 Zero é maior que qualquer número negativo. 0 > - 35 Qualquer número positivo é maior do que qualquer negativo. +1 > - 35 ; + 0,5 > - 100

VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO) Consideremos agora os pontos A e B, sendo que A tem abcissa + 3 e B tem abcissa – 2. 2 3 A 4 5 1 -1 -2 B -3 A distância do ponto A à origem é 3. A distância do ponto B à origem é 2. A essa distância chamamos valor absoluto ou módulo.

VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO) Assim dizemos que o valor absoluto (ou módulo) de +3 é igual a 3 e escrevemos: +3 = 3 Portanto, temos ainda que -2 = 2 Valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância à origem do ponto que representa esse número. Naturalmente, temos que o valor absoluto de zero é igual a zero: 0 = 0

Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos. Relativamente à origem da reta, é sempre possível encontrar dois pontos que se encontram à mesma distância. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a mesma distância à origem, ou seja, - 4 = 4 Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos.

NÚMEROS SIMÉTRICOS Dois números dizem-se simétricos se tiverem sinais contrários e o mesmo valor absoluto. Exemplos de números simétricos: - 0,3 = 0,3 - 0,3 e 0,3 porque 1 e - 1 porque 1 = -1 Nota que o simétrico do número zero é o próprio número zero: 0 = 0

NÚMEROS SIMÉTRICOS Observação 1. De dois números positivos o maior é o que tem maior valor absoluto (está mais longe da origem). Exemplos: + 0,5 > + 0,1 + 100 > + 40 2. De dois números negativos o maior é o que tem menor valor absoluto (está mais perto da origem). Exemplos: - 3 > - 50 - 0,01 > - 10

Não é obrigatório escrever o sinal + Números Simétricos Simplificação da escrita Na reta também se escreve 1, 2, 3,..., em vez de +1,+2,+3,... -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 Também: + (+ 8) = + 8 + (- 8) = - 8 Não é obrigatório escrever o sinal +

Na reta numérica o maior dos números encontra-se à direita do menor. NÚMEROS SIMÉTRICOS Na reta numérica o maior dos números encontra-se à direita do menor. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 é maior que - 4 - 2 > - 4 2 é maior que - 1 ou - 1 é menor que 2 2 > - 1 - 1 < 2 > maior < menor