UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA PROJETO PIBEG Unidade III Ajuste de curvas

2 – Quadrados Mínimos (Caso discreto – Modelo linear) Sumário: 1 – Introdução 2 – Quadrados Mínimos (Caso discreto – Modelo linear) 3 – Quadrados Mínimos (Caso discreto – Modelo não linear) 3.1 – Teste de alinhamento 4 – Quadrados Mínimos (Caso contínuo)

1 – Introdução

Em geral, experimentos em laboratório geram um conjunto de dados que devem ser analisados com o objetivo de determinar certas propriedades do processo em análise. Obter uma função matemática que represente (ou que ajuste) estes dados, permite fazer simulações do processo, reduzindo assim repetições de experimentos que podem ter um custo alto.

Nesta unidade será estudado uma das técnicas mais utilizadas para se ajustar dados, conhecida com Método dos Quadrados Mínimos (MQM).

Caso discreto - Modelo linear 2 – Quadrados Mínimos Caso discreto - Modelo linear

Seja uma tabela de pontos (xi, yi), i = 0, 1,..., m, xi [a, b]. O problema de ajuste de curvas consiste em escolher n funções g1, g2,..., gn contínuas e linearmente independentes em [a, b] e obter n constantes a1, a2,...,an tais que: j(xk) = a1g1(xk) + a2g2(xk) +...+ angn(xk) seja uma boa aproximação para os pontos y(xk), ou seja, jk ≈ yk. Este é um modelo linear porque a função j(x) utilizada no ajuste dos pontos é linear nos parâmetros aj, embora as funções gj(x) possam ser não-lineares (ex.: ex, 1 + x2, ln(x) ).

A escolha das funções gj(x) pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados, chamado de diagrama de dispersão, Através do qual podemos observar o tipo de curva que melhor se ajusta aos dados.

Exemplo 1: Considere a seguinte tabela de pontos. xk 0.1 0.2 0.5 0.7 0.8 0.9 1.1 1.23 1.35 1.5 1.7 1.8 yk 0.19 0.36 0.75 0.91 0.96 0.99 0.94 0.87 0.51 0.35 A análise do diagrama de dispersão mostra que a função que procuramos se comporta como uma parábola. Logo poderíamos escolher as funções g1(x) = 1, g2(x) = x e g3(x) = x2, pois j(x) = a1g1(x) + a2g2(x) + a3g3(x) representa uma família de parábolas, e com a escolha adequada dos aj teremos aquela que melhor se ajusta aos pontos.

Para obter a curva que melhor se ajusta a função tabelada a idéia é impor que o desvio em relação à função aproximada seja o menor possível, ou seja: dk = |yk – j(xk)| j(x) yk d1 d2 d3 dk

O Método dos Quadrados Mínimos consiste em escolher aj de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima: isto é, encontrar os parâmetros aj que minimizam a função:

A função F é uma função quadrática que satisfaz F(a) ≥ 0 . Isto é, uma função limitada inferiormente e portanto tem um ponto de mínimo. O ponto crítico de F(a) é encontrado igualando seu gradiente a zero: Desta forma temos: [yk – a1g1(xk) - a2g2(xk) – ... – angn(xk)](-gj(xk)) = 0

A equação anterior pode ser reescrita como: g1(xk)g1(xk) g2(xk)g1(xk) gn(xk)g1(xk) yk g1(xk) g1(xk)g2(xk) g2(xk)g2(xk) gn(xk)g2(xk) yk g2(xk) g1(xk)gn(xk) g2(xk)gn(xk) gn(xk)gn(xk) yk gn(xk) Assim, para obter aj temos que resolver o seguinte sistema: gi(xk)gj(xk) yk gi(xk) å = m k i ij b A 1 onde, Observação

A matriz A é a matriz Hessiana de F(a), portanto se A for positiva definida, garante-se que o ponto crítico é ponto mínimo.

No exemplo anterior ajustamos os dados a uma parábola, mas outras funções bases poderiam ser usadas. Como exemplo, poderíamos pensar que os dados representam o primeiro meio período de uma função senoidal. E neste caso poderíamos tomar j(x) = a1 + a2sen( x). Afinal qual seria a melhor escolha? A soma dos quadrados dos desvios em cada ponto tabelado fornece uma medida que pode ser usada como parâmetro de comparação entre ajustes diferentes.

Aplicando o Método dos Quadrados Mínimos para o caso da função senoidal, obtém-se:

Calculando a soma dos quadrados dos desvios para cada caso: Parábola: Senóide: Portanto, para este caso, o melhor ajuste foi obtido usando a parábola.

2.1 – Coeficiente de correlação (r) Fornece uma medida do percentual de pontos bem ajustados:. onde,

Caso discreto - Modelo não linear 3 – Quadrados Mínimos Caso discreto - Modelo não linear

Como exemplo, considere os seguintes dados: Existem casos, onde o diagrama de dispersão de uma função indica que os dados devem ser ajustados por uma função que não é linear com relação aos parâmetros aj. Como exemplo, considere os seguintes dados: xk -1.0 -0.5 0.5 1 1.5 2.0 2.5 3 yk 0.157 0.234 0.350 0.522 0.778 1.162 1.733 2.586 3.858 Observando o diagrama podemos considerar que os dados tem um comportamento exponencial, que nos sugere o seguinte ajuste:

Para aplicar o Método dos Quadrados Mínimos torna-se necessário efetuar uma linearização do problema. A linearização da função escolhida para ajustar os pontos anteriores deve ser feita da seguinte forma: Fazendo b1 = lna1 e b2 = a2 o problema consiste em ajustar os dados de z pela reta: z(x) = b1 + b2x

Para isso devemos construir uma nova tabela com os dados de zk = ln(yk) = b1 + b2x. xk -1.0 -0.5 0.5 1 1.5 2.0 2.5 3 yk 0.166 0.189 0.250 0.600 0.800 1.200 1.800 2.640 3.700 zk = ln(yk) -1.796 -1.666 -1.386 -0.511 -0.223 0.182 0.588 0.971 1.308 Resolvendo o sistema anterior obtemos a seguinte solução: b1 = -1.114 b2 = 0.832

Desta forma os valores de aj são dados por: Portanto temos:

Para calcular o coeficiente de correlação escrevemos a seguinte tabela: yk (yk – y )2 jk (yk - jk)2 0,166 1,1980 0,1427 0,0005 0,189 1,1482 0,2164 0,0007 0,25 1,0212 0,3280 0,0061 0,6 0,4363 0,4972 0,0106 0,8 0,2121 0,7537 0,0021 1,2 0,0037 1,1425 0,0033 1,8 0,2910 1,7320 0,0046 2,64 1,9029 2,6255 0,0002 3,7 5,9509 3,9799 0,0783  ∑ 12,1644   0,1066

Linearização de algumas curvas: Curva Hiperbólica Curva Exponencial Curva Geométrica

3.1 – Teste de Alinhamento Uma vez escolhida uma função não linear em a1, a2,..., an para ajustar uma função dada, uma forma de verificarmos se a escolha feita foi razoável é aplicarmos o teste de alinhamento, que consiste em: i) fazer a “linearização” da função não linear escolhida; ii) fazer o diagrama de dispersão dos novos dados; iii) se os pontos do diagrama (ii) estiverem alinhados, isto significará que a escolha da função foi adequada.

Exemplo 4: Considere a função dada pela tabela: xk -8 -6 -4 -2 2 4 yk 30 10 9 6 5 Qual das funções a) ou b) ajustaria melhor os dados da tabela? Em primeiro lugar devemos linearizar as funções: : obtemos , 1 ) ( De bx a x y + = xk -8 -6 -4 -2 2 4 z1=1/yk 0.03 0.10 0.11 0.17 0.20 0.25 xk -8 -6 -4 -2 2 4 z2=ln(yk) 3.40 2.30 2.20 1.79 1.61 1.39

Fazendo o diagrama de dispersão para cada função: Vemos que os dados de z1 = a + bx se aproximam mais de uma reta. Assim, devemos escolher para ajustar os dados.

4 – Quadrados Mínimos Caso contínuo

No caso contínuo temos uma função f(x) dada num intervalo [a, b] e não mais uma tabela de pontos. O procedimento é análogo ao caso discreto. Escolhidas as funções bases gj devemos determinar a função j(xk) = a1g1(xk) + a2g2(xk) +... + angn(xk) de modo que o desvio seja mínimo, onde: Neste caso os aj também são determinados pela resolução de um sistema, onde os elementos Aij são obtidos por intermédio do produto interno entre as funções gi(x) e gj(x). E os elementos bi pelo produto interno entre f(x) e gj(x), ou seja: