Cálculo Numérico Cálculo Numérico é uma área da Matemática que se ocupa com métodos do cálculo que tem por objetivo encontrar soluções aproximadas de problemas.

O fato de encontrar soluções de problemas por métodos aproximadas, nos leva a admitir uma margem de erro na solução. É salutar que para cada problema específico se difina precisão pretendida ou o erro tolerado.

Exemplo 1: Encontrar a taxa de juros implícita nas condições de venda a seguir: À vista com 12% de desconto ou em (1+11) sem acréscimo.

Supondo que a tolerância do erro considerada no problema anterior seja de um erro menor que 0,1%.

Ao utilizar um método numérico ou gráfico e descobrir que a taxa porcentual procurada fica no interior do intervalo [2.4, 2.5], a solução aproximada é qualquer número deste intervalo, visto que, a diferança entre qualquer número que se utilize deste intervalo e a solução exata, é menor que 0,1.

A equação que foi resolvida para encontrar a taxa i do problema que consta no exemplo 1 é a seguinte:

Onde :Va é o valor à vista; E é o valor da entrada; P o valor de cada prestação; n é o número de prestações(sem contar a entrada) e i é a taxa porcentual.

A solução exata não foi calculada, e geralmente isto não é importante, visto que, na prática, so será utilizado um valor aproximado deste, mesmo sabendo qual é o valor exato. Veja um exemplo:

Quantos metros de fita deverá ser comprada, para que ser colocada na diagonal de um quadrado, se o lado mede 1 metro. Solução exata:

É para resolver problemas, como o do exemplo do cálculo da taxa, que envolvem equações para as quais não há métodos algébricos, é que se utiliza os métodos numéricos ou Cálculo Numérico

Pode-se também optar pelo método da tentativa e erro Pode-se também optar pelo método da tentativa e erro. No caso do problema da taxa de juros, isto é muito simples se utilizamos o excel. Basta chutar as taxas até que o saldo devedor da ultima linha da planilha de amortização fique igual a zero, ou tão próximo, quanto se queira.

AS ETAPAS a) Passar todos os termos da equação para o lado esquerdo da equação, ficando assim o lado direito com zero. b) Procurar a raíz da função com lei igual a equação formada. c) Utilizando o método gráfico ou fazendo uma tabela da função para isolar as raízes que interessam. d) Fazer o refinamento das raízes utilizando um método de refinamento.

Métodos para refinamento que serão estudados a)Bisseção b)Cordas c)Newton

Outro exemplo de problema em que a fórmula anterior se aplica: Encontrar a taxa mensal de juros compostos, nas vendas a prazo, que aparecem de forma inplícita nas condições de venda de uma loja. a) À vista com 10% de desconto ou b) em 5 vezes (1+4) sem acréscimo.

Para dada 100 de preço de tabela, O valor `a vista é 100(1-10/100)= 90; Va=90 Se for à prazo a entrada e cada parcela valem 100/5=20 P=20 e E=20 n=4 i=?

Pode-se agora obter o gráfico da função e verificar em que intervalo do eixo com coordenada i, o gráfico corta este eixo.

Graphmática

Observando-se o último gráfico, pode-se afirmar que a taxa procurada fica no interior do intervalo [5.4 , 5.6] Utilizando estes dados para conferir a planilha de amortização temos:

Pode-se fazer uma tabela com pares ordenados (i, f(i)) e encontrar os intervalor onde há uma raíz, verificando entre que valores de i, a função f(i) troca de sinal, ou seja em que intervalo de i , o gráfico da função passa para de um lado do eixo “x” para o outro lado deste eixo.

Observando-se as tabelas anteriores, percebe-se qua a taxa procurada está no interior do intervalo [5.56 , 5.57]

a)Método das tabelas Pode-se implementar o método do cálculo de valores dda tabela x e f(x) verificando em qual intervalo [a,b] produto f(a)f(b)<0, pois isto só ocorre quando f(a) e f(b) tem sinais diferentes e isto implica que existe pelo menos uma raíz neste intervalo. Calcula-se então valores de x e f(x) deste novo intervalo, com incremento menor que o anterior, e procura-se novo internalo onde há uma raíz. Segue-se neste processo até que o incremento do x esteja menor que o erro tolerado. Continua-se então a procurar as demais raízes, se isto fizer sentido.

Algoritmo para uma tabela tabela1 := proc (li, inc, n) global f; local x1, x2, i; for i to n do x1 := li+(i-1)*inc; x2 := x1+inc; print(x1,f(x1)); if f(x1)*f(x2) <= 0 then print(`a=`,x1,` f(a)=`,f(x1)); print(`b=`,x2,` f(b)`,f(x2)) ; fi ; od ; end:

Saída de ( x, f(x) ) para li=0; inc=1 e n=10 > tabela1(0,1,10); 0, -19.72 1, -16.32 2, -10.92 3, -3.52 a= 3, f(a)= -3.52 b=, 4 f(b) 5.88 4, 5.88 5, 17.28 6, 30.68 7, 46.08 8, 63.48 9, 82.88

O próximo procedimento do Maple que encontra raízes pelo método baseado em tabelas, serve como algoritmo para fazer procedimentos de linguagens de programação tal como Pascal.

raizes := proc (li, ls, erro) local cx, n, i, k, k0, x, inf; global f; if ls < li then do cx := li; li := ls; ls := cx ; od; fi; inf:=10^(-7); x := li+inf; n := abs(li-ls); k0 := 0; k := k0; while x < ls do for i to 10*n do if f(x)*f(x+10^k) < 0 then k := k-1; i := 1 fi; x := x+10^k; if abs (f(x)) < erro then do print(`x=`,evalf(x),`f(x)=`,f(x)); i := 1; k := k0; break; od; fi ; od; end:

Método da Bisseção Seja f(x) uma função real contínua, no intervalo [a, b], tal que f(a). f(b)<0 e  a tolerância considerada. O método de bisseção consiste em dividir o intervalo [a, b] ao meio, obtendo dois subintervalos [a, xo] e [xo,b] a serem considerados. Se o critério para avaliação da tolerância for satisfeito, por exemplo, se | f(xn)|< então xn é a raiz procurada, senão escolhe-se um dos subintervalos para repetir o procedimento. Para efetuar a escolha, verifica-se em qual dos intervalos [a, xo] ou [xo, b] a função tem sinais contrários nos extremos ou seja , verifica-se se f(a). f(x0)<0 ou se f(b). f(x0)<0. Deve-se proceder desta forma para a escolha dos demais subintervalos.

Algoritmo para o método das Bisseções bissecao := proc (erro, a, b) local a1, b1, xo, i ; global f; xo := a; a1 := a; b1 := b; i := 0; while erro < abs(f(xo)) do i := i+1; xo := (a1+b1)/2; if f(a1)*f(xo) < 0 then b1 := xo else a1 := xo ; fi ; od; print( ` raíz procurada é `,xo,` sendo que o erro é `,f(xo),` número de iterações`, i ); end:

Método das Cordas Seja f(x) uma função real contínua, no intervalo [a, b], que contém somente um ponto r tal que f(r) =0 e seja  a tolerância considerada. O método das cordas consiste em encontrar subintervalos sucessivos de [a, b], obtidos pela interseção do eixo x e a reta que passa pelos pontos ( ai , f(ai) ) e ( bi , f(bi) ), onde ai e bi são os extremos dos subintervalos que satisfazes a condição f(ai).f(bi)<0, até encontrar um extremo que satisfaça a tolerância  considerada.

Fórmulas do Método das Cordas

Implementaçãodo do método de cordas cordas := proc (erro, a, b) local p, x, df2, c, xo, xn, i, y1, y2; global f; xn := a; i := 0; df2 := D(D(p)); xo := a-p(a)/(p(a)-p(b))*(a-b); if 0 < p(xn)*df2(xn) then c := a else c := b; fi; while erro < abs(p(xn)) do i := i+1; xn := xo-p(xo)/(p(xo)-p(c))*(xo-c); xo := xn; od; print(` a raíz procurada é `,xn,` o erro é `,abs(p(xn)),` o número de iterações foi `,i); end:

Método de Newton Seja f(x) uma função real contínua, com as derivadas f’(x) e f’’(x) também contínuas no intervalo [a, b], que tenha somente um ponto r de [a, b], tal que f(r) = 0 e seja  a tolerância considerada. O método de Newton consiste em encontrar uma seqüencia de números de [a, b], obtidos pela interseção da reta tangente ao gráfico de f(x) em um dos extremos do intervalo ou subintervalos, com o eixo x. Se f(a). f”(a) >0 então inicia-se a iteração fazendo xo=a, caso contrário inicia-se com xo = b. Faz-se tantas iterações até que o erro definido seja menor ou igual a .

Os gráficos a seguir mostram a interpretação geométrica do método de Newton. A função utilizada para fazer os gráficos é a seguinte:

A seqüência de iterações do método de Newton é a seguinte: Após encontrar um intervalo [a,b] tal que a função seja somente crescente ou somente decrescente, escolhe-se xo entre {a ,b} de modo que f(xo) f”(xo)>0

Implementação do método de Newton com o Maple newton := proc (erro, a, b) local f, x, df2, df1, p1, p2, xn, i, c; f := x-> evalf(x^3-1+x^2-2*x) ; df1 := D(f); df2 := D(D(f)); xn := a; i := 0; if 0 < f(xn)*df2(xn) then xn := a ; else xn := b ; fi; c := xn; while erro < abs(f(xn)) do xn := xn-f(xn)/df1(xn); i := i+1 od; print(x,i,`=`,xn,` f(xn)=`,f(xn)); print(`número de iteraçãos :`,i) end:

Exercícios resolvidos

Método de Bissação f(i)=78 - 10[1-(1+i)-9]/i Raíz procurada: i= 0,029 ou 2,9%

f(i)= 4600 -100[(1+i)36-1]/i

i= 0,01354 ou 1,354%

X=