Washington Franco Mathias José Maria Gomes Matemática Financeira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos 3ª Edição

Capítulo 1 JUROS SIMPLES

Juro e Consumo • Existe juro porque os recursos são escassos. • As pessoas têm preferência temporal: preferem consumir a poupar. • O prêmio para quem poupa é o juro.

Juro e Capital • O Capital também é escasso. • O Juro é a remuneração pelo uso do capital. • O Juro é a remuneração pelo custo do crédito.

Taxa de Juros • Juro e tempo andam juntos. • O juro é determinado através de um coefi- ciente referido a um dado intervalo de tem-po. • O coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa. Ex.: 12 % ao ano.

Taxa de Juros FORMA PORCENTUAL FORMA UNITÁRIA • Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do capital. Ex.: 12% ao ano. FORMA UNITÁRIA • Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do Ex.: 0,12 ao ano.

CÁLCULO DO JURO JURO SIMPLES • A remuneração pelo capital inicial (o principal) é diretamente proporcional: - Ao valor aplicado; - Ao tempo de aplicação.

CÁLCULO DO JURO J = C . i . n • FÓRMULA BÁSICA: onde: J = Juro EXEMPLO • FÓRMULA BÁSICA: J = C . i . n onde: J = Juro C = Capital inicial (Principal) i = Taxa de Juros (na forma unitária) n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa)

Exemplo Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00 pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro ? Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 10% a.a. Número de períodos (n) = 2 anos Trabalhando com a taxa de juros na forma unitária, te- mos o juro do primeiro ano como sendo: J1 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00 No segundo ano, teremos: J2 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00

Exemplo O juro total será a soma do juro devido no primeiro ano (J1) mais o juro devido no segundo ano (J2) J = J1 + J2 J = 100,00 + 100,00 = $ 200,00 Ou então, podemos resolver o problema diretamente: J = 1.000,00 X 0,10 X 1 + 1.000,00 X 0,10 X 1 J = 1.000,00 X 0,10 X 2 J = $ 200,00

CÁLCULO DO JURO JURO SIMPLES • Variações da fórmula básica. J = C.i.n

MONTANTE JURO SIMPLES • Montante é a soma do juro mais o capital EXEMPLO JURO SIMPLES • Montante é a soma do juro mais o capital aplicado. N = C + J onde: C= principal n= prazo de aplicação i = taxa de juros N = C(1 + in)

Exemplo Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa de 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ? Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 0,10 a.a. Número de períodos (n) = 2 anos E sendo: N = C(1+in) Substituindo-se os valores, tem-se: N = 1.000(1+0,10 x 2) N = 1.000(1+0,20) N = 1.000 x 1,20 N = $ 1.200,00

Exemplo É possível resolver o problema, seguindo-se a definição dada por montante: a) Calculando o juro devido: J = Cin J = 1.000,00 x 0,10 x 2 = $200,00 b) Somando-se o juro com o principal: N = C + J N = 1.000,00 + 2000,00 = $1.200,00

MONTANTE JURO SIMPLES N = C(1 + in)

TAXA PROPORCIONAL JURO SIMPLES i1.n2 = i2.n1 EXEMPLO A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2 (referida ao período n2) se: Ou ainda: Ou, do mesmo modo, se: i1.n2 = i2.n1

Substituindo-se os valores: Exemplo Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. Resolução: Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t. i2 = 20% a.a. = 0,20 a.a. n1 = 3 meses n2 = 12 meses Como: Substituindo-se os valores: que são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios (0,20 x 3) é igual ao produto dos extremos (0,15 x 12). Logo, as taxas dadas são proporcionais.

Exemplo Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional mensal. Resolução: Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t. n1 = 12 meses i2 = ? n2 = 1 mês E, como: tem-se: 0,24 x 1 = i2 x 12 ou i = 2% a.m.

TAXA EQUIVALENTE Duas taxas de juros são equivalentes se: EXEMPLO Duas taxas de juros são equivalentes se: • aplicadas ao mesmo capital; • pelo mesmo intervalo de tempo. => Ambas produzem o mesmo juro. No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes.

Exemplo Seja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativa- mente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes. Resolução: Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos, teremos o juro de: J1 = 10.000,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00 Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a. por 2 a- nos, teremos um juro igual a: J2 = 10.000,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00 Constatamos que o juro será gerado é igual nas duas hi- póteses e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a.

PERÍODOS NÃO-INTEIROS EXEMPLO Quando o prazo de aplicação não é um número in- teiro de períodos a que se refere a taxa de juros, faz-se o seguinte: I) Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de pe- ríodos. II) Calcula-se a taxa proporcional à fração de período que resta e o juro correspondente. O juro total é a soma do juro referente à parte in- teira com o juro da parte fracionária.

Exemplo Qual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que é aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses ? Resolução: Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem: 5 x 2 semestres = 10 semestres 9 meses = 1 semestre e 3 meses Ou seja, em 5 anos e 9 meses temos 11 semestres e 3 meses. a) Cálculo do juro: 1ª etapa: J1 = 1.000,00 x 0,12 x 11 = $ 1.320,00

Exemplo 2ª etapa: Calculamos a taxa de juros proporcional ao trimestre: Portanto: J2 = 1.000,00 x 0,06 x 1 = $ 60,00 Logo, o total de juros é: J = J1 + J2 J = 1.320,00 + 60,00 J = =$ 1.320,00 ====== CORRIGIR Observe-se que a solução se obtém mais rapidamente lembran- do-se que 3 meses é igual a 0,5 semestre e, nestas condições, 5 anos e 9 meses equivalem a 11,5 semestres:

Exemplo J = 1.000,00 x 0,12 x 11,5 = 1.380,00 b) Montante: O montante é: N = C + J N = 1.000,00 + 1.380,00 N = $ 2.380,00 Evidentemente poderíamos obter o mesmo resultado ra- ciocinando por etapas para obter o montante.

JURO EXATO Juro Exato é aquele em que: EXEMPLO Juro Exato é aquele em que: • o período a que se refere a taxa está expresso em dias. • é adotada a convenção do ano civil.

Exemplo Qual é o juro exato de um capital de $ 10.000,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% a.a. ? Resolução:

JURO COMERCIAL Juro comercial é aquele em que: EXEMPLO Juro comercial é aquele em que: • o período a que se refere a taxa está expresso em dias. • é adotada a convenção do ano comercial:

Exemplo Calcular o juro comercial correspondente ao exercício do item an- terior. Resolução: Observe que, nas mesmas condições de aplicação, o juro comer- cial é maior que o juro exato.

DIAGRAMAS DE CAPITAL NO TEMPO • Representam o fluxo de dinheiro no tempo; • Representam o fluxo de caixa: entradas e saídas de di- nheiro; • Graficamente: 2000 500 Entradas (+) (PERÍODOS) 1 2 Saídas (-) 1000

VALOR NOMINAL É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento. Exemplo: Uma pessoa aplicou uma quantia hoje e vai resgatá-la por 20.000 daqui a 12 me- ses. 20.000 (meses) 12 20.000 é o valor nominal da aplicação no mês 12.

VALOR ATUAL É o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento. 20.000 c (meses) 6 12 ¨c¨ é o valor atual da aplicação de 20.000, na data 6. => Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual a taxa de juros.

VALOR FUTURO Corresponde ao valor do título em qualquer data EXEMPLO Corresponde ao valor do título em qualquer data posterior à que estamos considerando no momento. Exemplo: Uma pessoa possui 10.000 hoje. c 10.000 (meses) 6 ¨c¨é o valor futuro de 10.000 na data 6. => Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual é a taxa de juros.

Exemplo 1) Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e que recebeu, pela aplicação, um título que irá valer $ 24.000,00 no mês 12. a) Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha sido de $ 15.000,00. Então, podemos calcular a taxa de juros simples utilizada na aplica- ção, do seguinte modo: Resolução: N = C (1+in) N = 24.000,00 C = 15.000,00 i = ? n = 12 meses

Exemplo Nestas condições: 24.000 = 15.000 (1+ i.12) Dividindo os dois lados da igualdade por 15.000, a mesma não se altera: Logo: 1,6 = 1 + i.12 Somando-se -1 aos dois lados da igualdade, a mesma não se altera: 1,6 -1 = 1 -1 + i.12 0,6 = i.12

Exemplo E dividindo-se de novo os dois lados da igualdade por 12, te- mos: Logo: i = 0,05 Observe que, como a unidade de tempo utilizada foi o “mês”, a taxa também fica referida ao mesmo intervalo de tem- po. Ou seja: i = 0,05 ao mês Ou, o que dá no mesmo: i = 5% ao mês.

Exemplo b) Vamos admitir agora que não sabemos qual o valor aplicado, mas que conhecemos a taxa de aplicação, que é de 6% ao mês. Neste caso podemos calcular o valor atual hoje (na data 0), que correspon- de ao próprio valor aplicado: N = C (1 + i.n) Onde: N = 24.000,00 C = ? i = 0,06 (note que, para usar a fórmula deste modo, a taxa deve ser colocada na forma unitária) n = 12 meses Então: 24.000 = C (1 + 0,06 x 12) 24.000 = C (1 + 0,72) 24.000 = C.1,72

Exemplo Logo: Ou seja: C = 13.953,49 que é o valor atual na data 0, isto é, quanto a pessoa aplicou hoje.

Exemplo 2) Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $ 10.000,00. Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância à taxa de 5% ao mês, daqui a 3 meses ? Temos: N = C (1 + i.n) Onde: N = ? C = 10.000,00 i = 0,05 n = 3 meses Logo: N = 10.000 (1 + 0,05 x 3) N = 10.000 (1,15) N = 11.500,00 O valor futuro será de $ 11.500,00 daqui a 3 meses.