1ª Aula Advecção - Difusão Objectivos deste capítulo e Método dos volumes finitos.

Objectivos Este capítulo tem como objectivos apresentar métodos de resolução da equação de Advecção – Difusão e fazer uma aplicação num sistema unidimensional. Este capítulo dá continuidade ao problema de difusão resolvido em Mecânica dos Fluidos Ambiental. Usa o mesmo código desenvolvido em VBA, adicionando o transporte pela velocidade e juntando alguma complexidade às condições de fronteira num problema com superfície livre. O trabalho desenvolvido dá suporte teórico para Modelação Ambiental.

Programa deste capítulo Revisão do método do volume finito para quantificação do princípio de conservação “a taxa de acumulação é igual ao que entra, menos o que sai, mais o que se produz menos o que se consome”. Particularidade da advecção por necessitar dos valores sobre as faces do volume finito. Método upwind e método do valor médio (diferenças centrais). Outros métodos de resolução. A questão do tempo: métodos explícitos, implícitos e Crank-Nicholson (semi-implícitos). A questão da difusão numérica e da estabilidade. Relação entre as propriedades dos métodos numéricos e os princípios físicos. Nº de Courant e nº de Difusão. Dedução das equações algébricas a partir das equações diferenciais e das séries de Taylor. Erro de truncatura e precisão do método.

Processos Taxa de acumulação: Fluxos: Advectivo: Difusivo: Porquê o sinal “-” antes dos integrais?

Localização das variáveis no volume de controlo: Fluxos advectivo e difusivo através das faces

Aplicando o princípio de conservação A taxa de acumulação é igual ao que entra menos o que sai, mais o que se produz menos o que se destrói. Se não existir produção nem destruição, fica só:

Hipótese Upwind para a concentração na face No caso de velocidade positiva (escoamento para a direita):

Teste em problema unidimensional com volume constante e caudal uniforme Ci Ci-1 Ci+1 Se o volume for constante e o caudal e a difusividade forem uniformes fica, em upwind explícito:

Rearranging the equation Using 3 vectors to store the coefficients that relate the new (at t+dt) with values at time t in the point and in the neighbouring points one can write:

Explicit, Upwind, Cr = 1, Dif=0 In this table each line representa a time instant (the first is the initial solution) and each column displays the solution in one point. The right column is the addition of the solution along one line (i.e is the total mass). Cr=(Espaço percorrido num intervalo de tempo)/(passo espacial) Cr=1, implica uma célula por passo => a solução é exacta

Explícito, Upwind, Cr= 0.5, Dif=0 A mancha espalha-se e por isso temos difusão numérica. Porque será? É porque violámos a definição de concentração. Como se resolve? Com uma malha mais fina

Como aconteceu? t0 1 t0+Δt 0.5 t0+2Δt 0.25 t0+3Δt 0.125 0.375 1 t0+Δt 0.5 t0+2Δt 0.25 t0+3Δt 0.125 0.375 O modelo é estável: os erros que aparecem diminuem no tempo. O modelo tem difusão numérica: a concentração vai baixando apesar de a difusão física ser nula.

Explícito, Upwind, Cr=2 t0 1 t0+Δt -1 2 t0+2Δt +1 -4 4 t0+3Δt 10 -16 8 1 t0+Δt -1 2 t0+2Δt +1 -4 4 t0+3Δt 10 -16 8 Temos um modelo instável: os erros aparecem e crescem. Porquê? Num modelo explícito Cr≤1. Os coeficientes têm que ser positivos.

As instabilidades são consequências da violação de princípios físicos Quando as propriedades aumentam num instante, nos instantes seguintes também só podem aumentar. Quando Cr>1 o coeficiente de Ci fica negativo. Neste caso, durante um intervalo de tempo o volume que sai de uma célula é maior do que o que lá estava no início (Usando volumes finitos é fácil ver que isso é a causa do problema). (ver Patankar, Fluid Flow)

Condição de estabilidade

2ª Aula Advecção - Difusão Diferenças Centrais. Método implícito. Método QUICK

Outra opção: Valores médios nas faces =>Diferenças Centrais

Diferenças Centrais Explícitas A equação continua a poder ser escrita na forma:

1D explicit central differences Courant=1 Modelo Instável. Porquê? Há um dos coeficientes que é sempre negativo. Propriedade transportiva violada. Como se resolve?

Porque é instável? Por advecção (ou por difusão) quando as propriedades aumentam num ponto, nos pontos vizinhos só podem aumentar também. Isso implica que os coeficientes que multiplicam as concentrações nos pontos vizinhos têm que ser positivos. Só adicionando difusão é que isso pode acontecer….

Condição de estabilidade para diferenças centrais explícitas Porque é que adicionando difusão o método fica estável? Porque é que excesso de difusão torna o modelo instável?

Interpretação das diferenças centrais Porque é que as diferenças centrais são instáveis sem difusão? Resp: Violam a propriedade transportiva. Um ponto fica a saber o que está abaixo através da advecção, o que é fisicamente impossível. Porque é que a difusão pode estabilizar as diferenças centrais? Resp: Porque a difusão transporta a informação para montante. No caso de a difusão ser importante a advecção transporta efectivamente para jusante coisas que foram transportadas para montante pela difusão.

Continuação Poderão as diferenças centrais explícitas ser usadas quando a advecção é dominante? Resp: Não. Nesse caso difusão transporta para montante muito menos do que a advecção transporta para jusante (Reynolds da malha) Se a difusão for dominante é preferível usar diferenças centrais ou upwind? Se a difusão for dominante as diferenças centrais são vantajosas porque têm precisão de 2ª ordem e por isso introduzem menos difusão numéricas E se o algoritmo fosse implícito? Seria o algoritmo mais estável? Resp: Sim. Nesse caso a solução seria função dos valores das variáveis no passo de tempo seguinte. Se a advecção tende a criar concentrações negativas, a difusão aumenta automaticamente para porque o gradiente de concentração aumenta. E se o método fosse upwind? Resp: nesse caso as concentração não pode ficar negativa. Em upwind a concentração fica negativa se retirarmos de uma célula mais do que lá existe para sair. Mas como em implícito o que sai é função da nova concentração, se ela ficasse negativa isso significaria que sairia uma quantidade negativa e por isso a concentração cresceria…..

Outros métodos para a advecção Upwind: Passa numa face o que está a montante. Diferenças centrais: Passa numa face a média do que está dos dois lados. E se ajustássemos um polinómio de 2ª ordem a 3 pontos? Obteríamos o método QUICK: (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics): Tem precisão de terceira ordem. Tem mais problemas de estabilidade (em situações particulares, nomeadamente junto às fronteiras. Afinal qual é o melhor método?

3ª Aula Advecção - Difusão Cálculo Implícito

Método implícito In this case the Independent Term is just the concentration at time t.

Porque serão os métodos implícitos incondicionalmente estáveis? UPWIND No método explícito o que sai de uma célula é o que lá está em “t”. No método implícito o que sai é o que lá vai estar em “t+dt”. No método explícito, quando se retira de uma célula mais do que lá está para sair, a concentração fica negativa. No método implícito não pode ficar porque o que sai é função do que lá vai estar e por isso, se a concentração pudesse ficar negativa, sairia uma quantidade negativa e por isso a concentração iria aumentar e não diminuir. Isto mostra que é impossível ficar com concentrações negativas em upwind. E em diferenças centrais?

Porque são as diferenças centrais implícitas mais estáveis que as explícitas? No caso das diferenças centrais, o que entra numa célula é o que está a montante e o que sai é calculado em função do que está a jusante ( em explícito viola a propriedade transportiva da advecção). Em explícito, sem difusão a solução é instável (viola a propriedade transportiva). Em implícito, o que sai de uma célula é o que vai estar a jusante e o que entra é o que vai estar a montante. Se a concentração a montante de uma célula for nula, nessa zona ela vai ter que ficar negativa. No entanto, o valor negativo a montante vai entrar na célula de jusante e vai fazê-lo baixar, o que implica que vai ser removido menos material de montante e por isso que a concentração vai ser menos negativa.

Diferença entre métodos explícitos e implícitos Têm erros da mesma ordem de grandeza. Se um é por excesso o outro é por defeito. O método ideal é a média dos dois. c Método implícito t1 t1+Δt Método Explícito t

Método Semi-implícito (Crank – Nicholson) Método explícito: Método implícito: Método Semi-implícito (Crank – Nicholson): Requer o dobro das contas, mas deve ser mais preciso.

Summary The rationale used to obtain the algebraic equations was based on the direct application of the conservation principle to a finite volume, assuming that it is small enough to guarantee that the average value is representative of each point of the volume and that the properties over each face can be assumed as uniforms and also that the time step is small enough to assume that its value does not change over the time step. Could we get the same result starting from the differential equations?

3ª Aula Advecção - Difusão Séries de Taylor para obtenção das equações algébricas.

Formas da equação Escrevendo na forma da divergência dos fluxos: Onde o 1º termos do 2º membro é o simétrico da divergência dos fluxos, i.e. o que entra menos o que sai. Ou na forma convencional:

Séries de Taylor Estão na base do método das diferenças finitas, que são da mesma família dos Volumes Finitos. Os Elementos Finitos/Elementos de fronteira são a segunda principal família de métodos numéricos.

O que representa a série de Taylor? c Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt t1 t1+Δt Outras derivadas Δt Δc

Como usar para calcular as derivadas? Método Explícito: A derivada é calculada à esquerda “em t” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por A derivada ser calculada à esquerda significa “à esquerda do intervalo de tempo”, i.e. em “t” e por isso o método é explícito. Todas as derivadas (i.e. todos os termos da equação) são calculados em “t”. O erro ser proporcional a significa que “o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta.

Mas poderia ter feito calculado a derivada à direita do intervalo de tempo Método Implícito: A derivada é calculada à direita “em t+dt” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, todas as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por Isto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta. Os métodos implícitos e explícitos têm a mesma precisão.

Para calcular a derivada no centro do intervalo teria que calcular os valores nos extremos a partir daquele Subtraindo uma da outra: Neste método a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo e tem precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica. As derivadas ignoradas estão multiplicadas por

O que representa a série de Taylor? c Método Explícito Método Implícito Método Diferenças Centrais t1 t1+Δt Outras derivadas Δt Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt

Derivadas espaciais Derivada à direita, Método downwind, se velocidade positiva Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à direita. Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.

Derivadas espaciais Derivada à esquerda: “Método upwind” se velocidade positiva e downwind se fosse negativa. Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à esquerda. Este método respeita a propriedade transportiva da velocidade se esta for positiva, mas não se for negativa. Nesse caso a derivada deveria ser calculada “à direita”.

Subtraindo uma equação da outra Diferenças Centrais

2ª Derivada Adicionando:

4ª Aula Advecção - Difusão Equações algébricas. Erro de truncatura, condições iniciais e condições de fronteira.

Sumário da aula anterior Na última aula vimos como obter equações algébricas a partir das equações diferenciais, usando séries de Taylor. Vimos que poderíamos obter facilmente discretizações com precisão de primeira ou de segunda ordem no tempo e/ou no espaço e vimos o que queria dizer o erro de truncatura. Combinando este conhecimento com o que obtivemos quando analisamos o problema com o método dos volumes finitos concluímos que nem sempre o menor erro de truncatura significa menor erro dos resultados. Para se obterem bons resultados é necessário garantir o respeito pelos princípios físicos, nomeadamente: Conceito de Concentração, que tem que ser mais ou menos uniforme no interior da célula, A transportividade da advecção, Que uma célula não é despejada numa iteração (Cr ≤ 1). Os métodos implícitos respeitam os processos físicos de forma semelhante aos explícitos e são mais estáveis. OS métodos semi-implícitos são mais estáveis e têm maior precisão que os explícitos.

Equações Algébricas Obtêm-se substituindo as derivadas pelas aproximações: Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no espaço e 1ª no tempo. Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço. O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?

Como se obtém o valor em (t+Δt/2) ? Fazendo a média….. Adicionando as equações! Substituindo estes termos nas equações obtém-se a equação a resolver.

Explícito Upwind Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção. Segunda ordem para difusão. Esta equação pode ser organizada na forma:

Forma geral da Equação K=1=> implícito. K=0 => Explicito, k=0.5=> Crank-Nicholson: Explicito, upwind: Números de Courant e de Difusão

Sobre a precisão do cálculo No cálculo implícito e no cálculo explícito as derivadas são calculadas nos extremos do intervalo de tempo. Estes métodos ignoram todas as derivadas a partir da primeira: têm precisão de primeira ordem ou “até à primeira ordem”. Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por Quando a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo as derivadas só são ignoradas a partir da segunda. São métodos com precisão de 2ª ordem, ou “até à 2ª ordem”. Se a função for uma recta ou uma parábola o cálculo da derivada é exacto. Mas >1 então quanto maior é a ordem de precisão do cálculo, maior é o coeficiente dos termos ignorados. Porque é que a precisão do cálculo aumenta?

Porque aumenta a precisão com o expoente de ? Porque os termos ignorados são da forma: O cálculo da derivada faz aparecer em denominador o intervalo de tempo elevado n e o coeficiente está elevado a (n-1) e por isso o produto é proporcional a ou seja à primeira derivada multiplicada pelo inverso do factorial de n e por isso quanto maior é o valor do expoente do intervalo de tempo, menor é o valor dos temos desprezados. Esta conclusão é consistente como facto de as derivadas perderem importância à medida que a ordem aumenta.

Condições Iniciais e de Fronteira Iniciais podem ser importantes ou não Fronteira idem. Como se impõem? Ci Ci-1 Ci+1

Condições de fronteira Difusão: Requer o cálculo dos fluxos nas células de fronteira e por isso requer a concentração no exterior em ambas as fronteiras. Se não for conhecida a melhor solução é normalmente gradiente nulo. Advecção Quando o escoamento entra no domínio transporta as propriedades do exterior. As propriedades têm que ser conhecidas no exterior. Se não forem conhecidas, a simulação só pode fazer sentido se as fontes e os poços ou os fluxos através do fundo e/ou da superfície livre dominarem a solução.

Transporte de calor No caso do calor os fluxos através do fundo são normalmente pouco importantes. Pelo contrário os fluxos através da superfície livre são essenciais (radiação, calor sensível e calor latente.

5ª Aula Advecção - Difusão Condições de fronteira na interface com a atmosfera.

Condições de fronteira: Fronteiras abertas Num canal as fronteiras de entrada e de saída do escoamento (fronteiras abertas) requerem duas condições de fronteira por via da difusão e da advecção no caso de o escoamento estar a entrar. A difusão envolve uma segunda derivada e por isso precisa de duas condições de fronteira (uma na entrada e outra na saída). A advecção envolve uma primeira derivada e por isso requer uma condição de fronteira: valor da propriedade à entrada (ou fluxo advectivo à entrada, pois estão relacionados pelo caudal).

Condições de Fronteira: Fronteiras sólidas Nas fronteiras sólidas só pode haver fluxos difusivos, que dependem da propriedade que se está a estudar. No caso de sedimentos poderíamos ter erosão e deposição (este último processo envolve a velocidade de queda dos sedimentos). No caso do calor o fluxo difusivo através da fronteira sólida é igual ao fluxo que se propaga através do solo. Admitindo que esse fluxo é baixo, então poderemos admitir que os fluxos através das paredes sólidas são desprezáveis.

Condições de fronteira: fluxos através da superfície livre Os fluxos através da superfície livre dependem também da propriedade que estamos a considerar. No caso de gases e de vapores dependem das pressões parciais na atmosfera e na água. Na grande maioria das propriedades são nulos, mas no caso do calor são determinantes. Poderemos ter fluxos de calor latente, sensível e fluxos de calor por radiação directa do sol, difusa da atmosfera e ainda radiação da água para a atmosfera.

Fluxo de calor latente Depende da temperatura da água e da humidade relativa do ar. No modelo MOHID é calculado como:

Fluxo e calor sensível

Fluxo de calor por radiação Ver: Brock, T. D. (1981) - Calculating solar radiation for ecological studies. Ecological Modelling.