GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Ângulos (Diedros) entre Planos © antónio de campos, 2010

GENERALIDADES O ângulo entre dois planos é o rectilíneo do menor diedro formado entre os dois planos, utilizando rectas dos planos e perpendiculares a recta de intersecção entre os planos. α r θº A β i s

1.º PROCESSO O 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 - Identificar a recta de intersecção i entre os dois planos α e β; 2 – Conduzir um plano auxiliar δ ortogonal às arestas do diedro; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, as rectas r e s; 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção será o ângulo entre os dois planos. α O 1.º processo é para ser utilizado quando o plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro for um plano projectante e tenha determinação imediata. Nos outros casos, será utilizado o 2.º processo. δ r θº A β i s

2.º PROCESSO O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p’; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p’ é o ângulo entre os dois planos. α p δ r B P 180º - θº θº A β s i θº C p’

Ângulo entre um Plano Vertical e um Plano Frontal Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano vertical α e um plano frontal φ. Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção i entre os dois planos α e φ, que será uma recta vertical a passar pelo cruzamento de hα e hφ; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o Plano Horizontal de Projecção; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram os traços horizontais dos dois planos, ou seja hα e hφ; 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, hα e hφ, será o ângulo entre os dois planos α e φ. fα i2 x (hφ) (i1) θº hα

Um plano de topo θ intersecta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa e contém o ponto A (-2; -1; 4). Um plano horizontal ν tem 2 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo entre os planos θ e ν. y ≡ z ≡ i1 fθ Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção i entre os dois planos θ e ν, que será uma recta de topo a passar pelo cruzamento de fθ e fν; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o Plano Frontal de Projecção; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram os traços frontais dos dois planos, ou seja fθ e fν; 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, fθ e fν, será o ângulo entre os dois planos θ e ν. A1 A2 αº (fν) (i2) x hθ

Ângulo entre um Plano Oblíquo e um Plano Horizontal Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e o Plano Horizontal de Projecção. fγ ≡ e2 ≡ fγr Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos, que será hα; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o plano vertical γ; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram os traços horizontais dos dois planos, ou seja as rectas d e hγ ; 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, d e hγ , será o ângulo entre os dois planos, obtido via o rebatimento do plano γ para o Plano Frontal de Projecção para determinar a sua V.G.. d2 fα F2 F1 ≡ Fr dr θº H2 H1 Hr x ≡ hγr ≡ (e1) hγ ≡ d1 hα

Um plano oblíquo ψ é ortogonal ao β1,3 e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º (a.d.) com o eixo x. Um plano frontal φ tem 4 cm de afastamento. Determina a V.G. do ângulo entre os planos ψ e φ. Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos, que será fψ, com o Plano Frontal de Projecção a substituir o plano φ; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o plano de topo δ; 3 – Ao invés de determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, optou-se pela obtenção de uma recta de maior inclinação (a recta i) do plano ψ, pois o ângulo que um plano oblíquo faz com o Plano Frontal de Projecção é igual ao ângulo que qualquer das suas rectas de maior inclinação faz com o Plano Frontal de Projecção; 4 – O ângulo entre a recta i e fδ, será o ângulo entre os dois planos, obtido via o rebatimento do plano δ para o Plano Frontal de Projecção para determinar a sua V.G.. fψ fδ ≡ i2 ≡ e2 ≡ i2r ≡ Fr F2 F1 ir ≡ Fr Hr αº x ≡ e1 H2 H1 (hφ) hδ i1 hψ

Ângulo entre um Plano de Rampa e um Plano Frontal Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano de rampa ρ e um plano frontal φ. Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos, que será uma recta fronto-horizontal, embora não seja necessário a sua determinação neste caso; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o plano de perfil π; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram as rectas p (recta de intersecção do plano π com o plano ρ) e v (recta de intersecção do plano π com o plano φ); 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, p e v , será o ângulo entre os dois planos, obtido pelo ângulo entre a recta p e o Plano Frontal de Projecção, via o rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção para determinar a sua V.G.. fπ ≡ hπ ≡ p1 ≡ p2 ≡ e2 ≡ fπr fρ F2 ≡ Fr θº pr Hr x ≡ hπr H2 ≡ F1 ≡ (e1) (hφ) hρ H1

Um plano de rampa ρ com um traço horizontal de 2 cm de afastamento e um traço frontal de 5 cm de cota. Um plano horizontal ν tem 3 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo entre os planos ρ e ν. fπ ≡ hπ ≡ p1 ≡ p2 ≡ e2 ≡ fπr Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos, que será uma recta fronto-horizontal, embora não seja necessário a sua determinação neste caso; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o plano de perfil π; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram as rectas p (recta de intersecção do plano π com o plano ρ) e v (recta de intersecção do plano π com o plano ν); 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, p e v , será o ângulo entre os dois planos, obtido pelo ângulo entre a recta p e o Plano Frontal de Projecção, via o rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção para determinar a sua V.G.. fρ F2 ≡ Fr (fν) pr αº Hr x ≡ hπr H2 ≡ F1 ≡ (e1) hρ H1

Ângulo entre um Plano Vertical e um Plano Oblíquo Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano vertical γ e um plano oblíquo α. fα fγ p2 p’2 ≡(fν) ≡ e2 P2 P1 Como a recta de intersecção será uma recta oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal será oblíquo e não projectante, o que implica a utilização do 2.º processo. O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p’; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p’ é o ângulo entre os dois planos, via o rebatimento para um plano horizontal auxiliar ν. A2 A1 x Ar1 ≡ Pr p1 Ar θº pr hα hγ p’1 ≡ e1 ≡ p’r

Um plano de topo θ corta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa e faz um ângulo de 30º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto com -4 cm de abcissa, o seu traço horizontal faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x e o seu traço frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre os planos θ e α. y ≡ z fα p2 p’2 βº ≡ e2 ≡ p’r Ar Como a recta de intersecção será uma recta oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal será oblíquo e não projectante, o que implica a utilização do 2.º processo. O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p’; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p’ é o ângulo entre os dois planos, via o rebatimento para um plano frontal auxiliar φ. Ar1 fθ P2 P1 ≡ Pr pr A2 A1 x hα p’1 ≡ (hφ) ≡ e1 hθ p1

Ângulo entre dois Planos Oblíquos Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e um plano oblíquo δ. p2 p’2 fα Como a recta de intersecção será uma recta oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal será oblíquo e não projectante, o que implica a utilização do 2.º processo. O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p’; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p’ é o ângulo entre os dois planos, via o rebatimento para um plano horizontal auxiliar ν. fδ P2 P1 (fν) ≡ e2 A2 A1 B2 B1 x ≡ Br ≡ Ar Pr1 Pr e1 hδ pr p’1 θº p’r p1 hα

Um plano oblíquo α é ortogonal ao β1,3 e corta o eixo x num ponto com 0 cm de abcissa, sendo que o seu traço horizontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano oblíquo δ tem o seu traço horizontal a fazer um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x, o seu traço frontal a fazer um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x, sendo ambos os traços concorrentes num ponto com 0 cm de abcissa.Determina a V.G. do ângulo entre os planos α e δ. y ≡ z Como a recta de intersecção será uma recta oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal será oblíquo e não projectante, o que implica a utilização do 2.º processo. O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p’; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p’ é o ângulo entre os dois planos, via o rebatimento para um plano horizontal auxiliar ν. p’2 fα p2 fδ P2 P1 (fν) ≡ e2 A2 A1 B2 B1 x ≡ Br ≡ Ar Pr1 Pr p1 e1 p’1 hα hδ βº p’r pr

Ângulo entre um Plano Oblíquo e um Plano de Rampa Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e um plano de rampa ρ. p2 fα Como a recta de intersecção será uma recta oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal será oblíquo e não projectante, o que implica a utilização do 2.º processo. O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p’, rebatida com uso de um plano auxiliar π e a recta de intersecção i entre o plano π e o plano ρ; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p’ é o ângulo entre os dois planos, via o rebatimento para um plano horizontal auxiliar ν. p’1 ≡ p’2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e1 ≡ hπr fρ F2 A2 (fν) ≡ e’2 B2 B1 P2 P1 ir x ≡ fπr H2 ≡ F1 ≡ (e2) Fr hρ H1 ≡ Hr ≡ Br Pr2 Pr Pr1 A1 ≡ Ar1 Ar p1 hα e’1 p’r θº p’r1 pr

Um plano vertical γ faz um diedro de 60º (a. d Um plano vertical γ faz um diedro de 60º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. Um plano de rampa ρ tem um traço horizontal com 3 cm de afastamento e um traço frontal com 5 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo entre os planos γ e ρ. p’1 ≡ p’2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e2 ≡ fπr fγ fρ F2 p’r ≡ Fr Como a recta de intersecção será uma recta oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal será oblíquo e não projectante, o que implica a utilização do 2.º processo. O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p’, rebatida com uso de um plano auxiliar π e a recta de intersecção i entre o plano π e o plano ρ; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p’ é o ângulo entre os dois planos, via o rebatimento para um plano horizontal auxiliar ν. A2 Ar p2 ≡ (fν) ≡ e’2 Pr P2 P1 ir x ≡ hπr Ar2 H2 ≡ F1 ≡ (e1) Hr αº ≡ Pr1 hρ H1 Ar1 p’r1 A1 p1 ≡ e’1 ≡ pr hγ

Ângulo entre dois Planos de Rampa Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre dois planos de rampa ρ e σ. Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos, que será uma recta fronto-horizontal, embora não seja necessário a sua determinação neste caso; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o plano de perfil π; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram as rectas i (recta de intersecção do plano π com o plano ρ) e i’ (recta de intersecção do plano π com o plano σ); 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, i e i’ , será o ângulo entre os dois planos, obtido via o rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção para determinar a sua V.G.. fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ i’1 ≡ i’2 ≡ e2 ≡ fπr fρ F2 ≡ Fr fσ F’2 ≡ F’r θº Hr H’r x ≡ hπr H2 ≡ F1 ≡ H’2 ≡ F’1 ≡ (e1) i’r hρ H1 ir hσ H’1

Um plano de rampa ρ tem um traço horizontal com 3 cm de afastamento e é ortogonal ao β1,3. Um plano de rampa σ é passante e está definido pelo ponto P (2; 5). Determina a V.G. do ângulo entre os planos ρ e σ. x’ 4 1 P2 P1 A solução passaria pelo 1.º processo, embora neste caso, o processo mais simples é via o processo de mudança do diedro de projecção, transformando os dois planos em planos projectantes, planos de topo. O ponto P no novo diedro define a recta f4σ. A é um ponto de fρ utilizado para definir f4ρ. O ponto C de fρ é utilizado para determinar o traço do plano ρ no plano 4. O ângulo entre f4σ e f4ρ é o ângulo entre os dois planos. fρ A2 A1 f4σ A4 2 1 x ≡ fσ ≡ hσ αº P4 f4ρ hρ

Um plano de rampa ρ tem um traço horizontal com 3 cm de afastamento e é ortogonal ao β1,3. Um plano de rampa σ é passante e está definido pelo ponto P (2; 5). Determina a V.G. do ângulo entre os planos ρ e σ. fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ i’1 ≡ i’2 ≡ e2 ≡ fπr Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos, que será uma recta fronto-horizontal, embora não seja necessário a sua determinação neste caso; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o plano de perfil π; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram as rectas i (recta de intersecção do plano π com o plano ρ) e i’ (recta de intersecção do plano π com o plano σ); 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, i e i’ , será o ângulo entre os dois planos, obtido via o rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção para determinar a sua V.G.. i’r Pr ir P2 P1 αº fρ F2 ≡ Fr Hr x ≡ fσ ≡ hσ ≡ hπr H2 ≡ F1 ≡ H’1 ≡ H’2 ≡ F’1 ≡ F’2 ≡ (e1) ≡ F’r hρ H1