GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Perendicularidade Resumo © antónio de campos, 2009.

recta – recta, geral: Duas rectas são perpendiculares se são complanares e as suas direcções ortogonais (a 90º). Duas rectas são ortogonais se não são complanares e são paralelas a duas rectas perpendiculares. Com a perpendicularidade, mesmo com rectas perpendiculares, as suas projecções não são perpendiculares, a não ser se uma das rectas for paralela a um plano de projecção.

Uma recta frontal f, que contém o ponto P (2; 2; 3), e faz um ângulo de 50º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções de uma recta oblíqua r, perpendiculare à recta f. A projecção horizontal da recta r faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. y ≡ z r2 f2 P1 P2 x f1 r1

rectas não paralelas aos planos de projecção: Duas rectas são perpendiculares se são complanares e as suas direcções ortogonais (a 90º), via recta auxiliar que seja paralela a um dos planos de projecção fα s2 F’1 F’2 r2 h2 F1 F2 P1 P2 x r1 s1 h1 hα

Pretendem-se as projecções de uma recta oblíqua s perpendicular à recta oblíqua r e passando pelo ponto P. fα A solução passa por utilizar um plano perpendicular (plano auxiliar α) à recta r e contendo o ponto P, pois uma recta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as rectas desse plano e o inverso também é verdade. Uma recta horizontal h do plano α, contendo o ponto P e perpendicular à recta r vai auxiliar a obter os traços do plano. s2 F’1 F’2 r2 h2 F1 F2 P1 P2 x r1 s1 h1 hα

recta – plano, geral: Uma recta é perpendicular a um plano, se é perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano. p2 fα P2 x Os traços do plano α (fα e hα) são duas rectas concorrentes desse plano. Se a recta p é perpendicular a fα e hα, é portanto perpendicular ao plano α. hα P1 p1

Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com 1 cm de abcissa e fazem com o eixo x, ângulos de 30º (a.d.) e 60 (a.e.), respectivamente o traço frontal e o traço horizontal. Desenha as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano α e passando pelo ponto M (-1; 4; 4). y ≡ z fα p2 M1 M2 x p1 hα

recta – plano de rampa: Uma recta é perpendicular a um plano de rampa, se for uma recta de perfil, via rebatimento. p1 ≡ p2 ≡ hπ ≡ fπ ≡ p’1 ≡ p’2 ≡ e2 ≡ fπr B2 p’r pr Br A2 Ar fρ F2 ≡ Fr Uma recta de perfil p permite obter a perpendicularidade ao plano ρ. Depois para definir a recta, é necessário obter outro ponto da recta para além do ponto A. H2 ≡ F1 ≡ (e1) x ≡ hπr Hr hρ H1 A1 Para poder obter o outro ponto, recorre-se a uma outra recta de perfil p’, contida num plano ρ; e do plano π, que contém a recta p; pelo processo de rebatimento. B1

É dado um plano de rampa ρ com 4 cm de afastamento e 3 cm de cota É dado um plano de rampa ρ com 4 cm de afastamento e 3 cm de cota. Desenha as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano ρ e passando pelo ponto R (3; 4). p1 ≡ p2 ≡ hπ ≡ fπ ≡ p’1 ≡ p’2 ≡ e2 ≡ fπr pr p’r S2 Sr R2 Rr fρ F2 ≡ Fr Uma recta de perfil p permite obter a perpendicularidade ao plano ρ. Depois para definir a recta, é necessário obter outro ponto da recta para além do ponto R. H2 ≡ F1 ≡ (e1) Hr x ≡ hπr R1 Para poder obter o outro ponto, recorre-se a uma outra recta de perfil p’, contida num plano ρ; e do plano π, que contém a recta p; pelo processo de rebatimento. hρ S1 H1

plano – recta, geral: Uma recta é perpendicular a um plano, se é perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano, via rectas horizontais ou frontais. fα r2 h2 P1 P2 F1 F2 Uma recta perpendicular a um plano é a todas as rectas do plano, incluindo uma recta horizontal. Uma recta horizontal passando pelo ponto P vai auxiliar na obtenção dos traços do plano α. x r1 h1 hα

Uma recta r é definida pelos pontos M (1; 3; 4) e N (-2; 1; 2) Uma recta r é definida pelos pontos M (1; 3; 4) e N (-2; 1; 2). Determina os traços de um plano θ perpendicular à recta r e passando pelo ponto P (1; 2; 3). r2 y ≡ z fα M1 M2 h2 F1 F2 P1 P2 N1 N2 x Uma recta perpendicular a um plano é a todas as rectas do plano, incluindo uma recta horizontal. Uma recta horizontal passando pelo ponto P vai auxiliar na obtenção dos traços do plano θ. h1 r1 hα

plano – plano, geral: Um plano é perpendicular a outro plano, se contiver uma recta perpendicular ao outro plano.

Pretendem-se os traços de um plano δ, perpendicular ao plano α e passando pelo ponto P. F1 F2 fα fδ p2 P2 H1 H2 x Uma recta p que pertence ao plano δ é perpendicular ao plano α. P1 hα Qualquer outro plano que contenha a recta p é perpendicular ao plano α. hδ p1

planos - planos bissectores: Um plano é perpendicular a outro plano, se contiver uma recta perpendicular ao outro plano, com as características das rectas contidas nos bissectores. Os planos bissectores são planos de rampa (passante), e portanto contém rectas fronto-horizontais, rectas oblíquas (passantes) e rectas de perfil (passantes). No caso de rectas fronto-hrizontais, será sempre um plano de perfil que será perpendicular à recta. Assim os planos de perfil serão sempre perpendiculares aos bissectores. fα r2 fδ ≡ hδ s1 ≡ s2 x x Uma recta r pertence ao bissector β1,3, é perpendicular ao plano α. Uma recta s pertence ao bissector β2,4, é perpendicular ao plano δ. r1 hα

Uma recta frontal f faz um ângulo de 30º (a. e Uma recta frontal f faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção, e tem 3 cm de afastamento. Determina os traços do plano α, perpendicular ao β1,3, e que contém a recta f. f2 fα H1 H2 x f1 O traço frontal do plano é paralelo à projecção frontal da recta, porque o plano α contém a recta f. Pelo facto do plano α ser perpendicular ao β1,3 têm os seus traços simétricos, fα é simétrico com hα em relação ao eixo x. hα