GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Intersecções – Resumo © antónio de campos, 2010

INTERSECÇÃO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO

GENERALIDADES – Intersecção entre recta e plano Uma recta e um plano não paralelos intersectam-se num ponto. x xz xy fα I α r hα

INTERSECÇÃO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – geral 1 - Conduzir pela recta dada um plano auxiliar (em geral um plano projectante, mas não necessariamente) que contenha a recta dada; 2 - Determinar a recta de intersecção entre os dois planos. Esta recta e a recta dada são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar; 3 - O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto de intersecção da recta dada com o plano dado. ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – recta com plano projectante Para um plano projectante horizontal, é no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, aonde se situa a projecção horizontal do ponto de intersecção. ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – recta projectante com plano não projectante Para um plano projectante horizontal, primeiro obtem-se no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, a projecção horizontal do ponto de intersecção. Depois é utilizada uma recta auxiliar qualquer, que contém o ponto de intersecção, para assim se obter a projecção frontal do ponto de intersecção.

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r (não projectante) com um plano oblíquo α (não projectante). 1. Conduzir pela recta r um plano auxiliar vertical θ que contenha a recta r; 2. Determinar a recta de intersecção i entre os dois planos. Esta recta i e a recta dada r são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar θ; 3. O ponto de concorrência das duas rectas I é o ponto de intersecção da recta dada r com o plano dado α. F2 F1 F fα fθ x xz xy r2 r2 θ i2 fθ i2 i r I2 α I I2 I1 fα H2 H1 x I1 H hα r1 ≡ hθ ≡ i1 r1 ≡ hθ ≡ i1 hα

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM PLANO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta de topo t (projectante frontal) com um plano vertical α (projectante horizontal). x xz xy fα (t2) ≡ I2 (t2) ≡ I2 α fα t I x t1 hα É no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, aonde se situa a projecção horizontal do ponto de intersecção, dado ser um plano projectante horizontal. I1 I1 t1 hα

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r com um plano de topo θ (projectante frontal). r2 x xz xy fθ r2 I2 I1 I2 I r θ fθ x I1 r1 r1 É no cruzamento da projecção frontal da recta com o traço frontal do plano, aonde se situa a projecção frontal do ponto de intersecção, dado ser um plano projectante frontal. hθ hθ

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta vertical v com um plano de rampa ρ (não projectante). x xz xy v2 r2 v2 r2 v fρ fρ F F2 F1 I2 I2 I H2 H1 x ρ (v1) ≡ I1 (v1) ≡ I1 r1 r hρ hρ H r1 É utilizada uma recta auxiliar r qualquer, que contém o ponto I, para assim se obter a projecção frontal do ponto I.

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS

GENERALIDADES - Intersecção entre dois planos Dois planos não paralelos (planos secantes) intersectam-se numa recta, a recta comum a ambos os planos. x xz xy α i δ

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS ENTRE DOIS PLANOS – projectantes e não projectantes As projecções da recta de intersecção são coincidentes com as respectivas projectantes, quando a situação for projectante. A situação de não projectante implica a obtenção das projecções da recta de intersecção através dos traços da recta, localizados no cruzamento dos traços dos dois planos. ENTRE DOIS PLANOS – um projectante e o outro não definido pelos traços Uma das projecções da recta de intersecção é coincidente com as respectiva projectante; enquanto a outra é obtida pelos pontos de intersecção das rectas que definem um plano com o outro plano. ENTRE DOIS PLANOS – de rampa, passantes A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal. Através de um plano auxiliar projectante, obtem-se duas rectas complanares auxiliares, rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com o ponto coincidente das duas rectas a localizar a recta fronto-horizontal. ENTRE DOIS PLANOS – plano passante e plano projectante com ponto comum O ponto comum e o ponto que define o plano passante definem a recta de intersecção.

ENTRE DOIS PLANOS – oblíquos ou passantes com um ponto comum no eixo x Através de um plano auxiliar projectante, obtem-se duas rectas complanares auxiliares, rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com o ponto coincidente das duas rectas a localizar um dos pontos da recta de intersecção entre os dois planos dados. O outro ponto será o ponto comum para definir a recta de intersecção. ENTRE DOIS PLANOS – não definidos pelos seus traços Através de um plano auxiliar projectante, obtem-se quatro rectas complanares auxiliares, rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com os dois pontos coincidentes das quatro rectas a localizar a recta de intersecção.

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano de topo θ (projectante frontal) e um plano vertical α (projectante horizontal). A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo θ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). x xz xy fθ fθ ≡ i2 ≡ i2 fα α fα i θ x hα ≡ i1 hθ hα ≡ i1 hθ

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano vertical α (projectante horizontal) e um plano oblíquo θ (não projectante). Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i, é possível obter a sua projecção frontal. A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). x xz xy F2 fθ F fα fθ α i2 fα i H2 H1 θ x F1 H hα hθ hθ hα ≡ i1

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS NÃO PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos. Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. x xz xy fα F2 F1 fθ F fα fθ α i2 i θ H2 H1 x i1 H hα hθ hα hθ

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo α (definido por duas rectas paralelas). Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ, se obtem os pontos R e S, que permitem obter a projecção horizontal da recta i. x xz xy α r r2 s2 s (fυ) ≡ i2 R2 R1 S2 S1 (fυ) R i S υ x i1 r1 s1

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS DE RAMPA Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos de rampa, ρ e σ. A recta comum aos dois planos tem que ser uma recta fronto-horizontal, sendo assim já se conhece a orientação da recta i. Para obter a localização da recta, são necessárias duas rectas complanares auxiliares contidos num plano projectante auxiliar. x xz xy fα a2 fρ F1 F2 fα fρ b2 fσ F’2 α F i2 F’ fσ I2 I1 a ≡ F’1 H2 H1 H’2 H’1 b x i ρ I σ i1 H hρ hρ H’ hα hσ hσ hα ≡ a1 ≡ b1

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS OBLÍQUOS COM UM PONTO COMUM SOBRE O EIXO X Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, α e δ, cujos traços são concorrentes entre si num ponto do eixo x, o ponto A. Sendo o traço frontal e horizontal o mesmo ponto, o ponto A, é necessário obter um outro ponto comum aos dois planos para definir a recta i. Um plano horizontal auxiliar ν permite obter as rectas de intersecção do plano ν com os planos α e δ. x xz xy fα fδ i2 fα fδ α (fν) ≡ a2≡ b2 I2 I1 F’ F2 F1 F’2 F’1 F (fν) b i a A1 ≡ A2 I x A i1 hα hα a1 b1 hδ hδ

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). fα i2 x xz xy α fα ρ r2 I2 I1 P2 P1 i r I P x ≡ fρ ≡ hρ A1 ≡ A 2 A r1 Através de uma recta auxiliar fronto-horizontal r, que pertence ao plano ρ, obtem-se o ponto de intersecção com a recta i, o ponto I. Como o ponto A pertence aos dois planos, a recta de intersecção está definida pelos pontos A e I. ≡ fρ ≡ hρ hα hα ≡ i1

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO PROJECTANTE COM PONTO COMUM Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. O ponto P está contido no plano α. Nesta situação, a determinação da recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é imediata, pois o ponto P é um ponto comum aos dois planos. x xz xy fα i2 α fα ρ i P2 P1 P A x ≡fρ ≡ hρ A1 ≡ A 2 ≡ fρ ≡ hρ hα hα ≡ i1

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano oblíquo α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. É necessário utilizar um plano auxiliar frontal φ passando pelo ponto P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano ρ é uma recta fronto-horizontal. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano α é uma recta frontal. x xz xy φ fα i2 b ρ b2 fα i α a2 P2 P1 I2 I1 I P a A1 ≡ A 2 H2 H1 A x ≡fρ ≡ hρ ≡ fρ ≡ hρ H (hφ) ≡ a1 ≡ b1 hα i1 A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I, que juntamente com o outro ponto comum aos dois planos ρ e α, permitem a definição da recta de intersecção i. hα

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO DE RAMPA Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano de rampa σ. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. É necessário utilizar um plano auxiliar vertical α passando pelo ponto P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção i entre o plano ρ e o plano σ é uma recta fronto-horizontal. A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I, que permite a definição da recta de intersecção i. x xz xy fα fα σ fσ fσ α F2 F1 F b2 a2 b P2 i2 I2 I1 i x ≡ fρ ≡ hρ H2 H1 ρ I P a ≡ fρ ≡ hρ i1 hσ H hσ hα P1 hα ≡ a1 ≡ b1

INTERSECÇÃO ENTRE PLANOS NÃO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAÇOS Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos α e δ. O plano α está definido pelas rectas paralelas a e b. O plano δ está definido pelas rectas concorrentes r e s, concorrentes no ponto P. i2 É necessário utilizar um plano auxiliar horizontal ν e determinar as rectas de intersecção entre os planos. A intersecção das rectas m e n vão definir o ponto I. A recta m é a recta de intersecção entre o plano ν e o plano α. A recta n é a recta de intersecção entre o plano ν e o plano δ. Para a definição da recta de intersecção i, será necessário um outro ponto I’, obtido utilizando outro plano auxiliar horizontal ν1 e outras rectas de intersecção de planos. A recta m’ é a recta de intersecção entre o plano ν1 e o plano α. A recta n’ é a recta de intersecção entre o plano ν1 e o plano δ. a2 r2 b2 s2 (fν) ≡ m2 ≡ n2 B2 B1 R2 R1 S2 S1 I2 I1 A2 A1 P2 P1 (fν1) ≡ m’2 ≡ n’2 A’2 A’1 I’2 I’1 R’2 R’1 x n’1 m’1 b1 i1 n1 r1 a1 s1 m1

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO E UM BISSECTOR

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO E UM BISSECTOR ENTRE PLANO E BISSECTOR – definido por duas rectas Os traços nos bissectores das duas rectas definem as projecções da recta de intersecção. ENTRE PLANO OBLÍQUO OU DE RAMPA E BISSECTOR – definido pelos seus traços Uma recta auxiliar do plano dado localiza o traço da recta no bissector, que juntamente com ponto do plano no eixo x definem a as projecções da recta de intersecção. ENTRE PLANO PROJECTANTE E BISSECTOR – definido pelos seus traços A projecção homónima com a projectante resulta em projecção coincidente. A outra projecção será simétrica ou coincidente à primeira projecção, consoante o bissector é o β1,3 ou o β2,4.

INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β1,3. O plano θ é definido por duas rectas paralelas. r2 i2 s2 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β1,3. Os traços das duas rectas situados no β1,3, Q e Q’, são dois pontos que pertencem aos dois planos. Q2 Q1 Q’2 Q’1 x s1 r1 i1

INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β2,4. O plano θ é definido por duas rectas paralelas. r2 s2 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β2,4. Os traços das duas rectas situados no β1,3, I e I’, são dois pontos que pertencem aos dois planos. i1 ≡ i2 x I1 ≡ I2 I’1 ≡ I’2 s1 r1

INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β1,3. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A. fα Para definir a recta de intersecção do plano α com o β1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β1,3. Como o β1,3 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β1,3, o ponto Q, que será o outro ponto da recta de intersecção. i2 h2 F2 F1 Q2 Q1 A1 ≡ A2 x i1 hα h1

INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β2,4. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A. r2 Para definir a recta de intersecção do plano α com o β2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β2,4. Como o β2,4 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β2,4, o ponto I, que será o outro ponto da recta de intersecção. F2 F1 fα A1 ≡ A2 x H2 H1 I1 ≡ I2 r1 hα i1 ≡ i2

INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido pelos seus traços) COM O β1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de rampa ρ com o β1,3. A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β1,3, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β1,3. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β1,3, o ponto Q, que será um ponto da recta de intersecção. r2 fρ F2 F1 i2 Q2 Q1 H2 H1 x i1 hρ r1

INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido pelos seus traços) COM O β2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de rampa ρ com o β2,4. i1 ≡ i2 A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β2,4, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β2,4. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β2,4, o ponto I, que será um ponto da recta de intersecção. I1 ≡ I2 r2 fρ F2 F1 H2 H1 x hρ r1

INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β1,3. A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β1,3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo x, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β1,3 será simétrica com a sua projecção frontal em relação ao eixo x. fδ ≡ i2 x i1 hδ

INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β2,4. A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β2,4, tem as suas projecções coincidentes, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β1,3 será coincidente com a sua projecção frontal. fδ ≡ i1 ≡ i2 x hδ

INTERSECÇÃO ENTRE TRÊS PLANOS

INTERSECÇÃO ENTRE TRÊS PLANOS ENTRE TRÊS PLANOS – primeira possibilidade Primeiro é obtido a recta de intersecção entre dois planos dados. A seguir é obtido a recta de intersecção entre outros dois planos dados. O ponto de intersecção entra as rectas obtidas será a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados. ENTRE TRÊS PLANOS – segunda possibilidade As rectas obtidas são de facto uma única recta, que será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados.

INTERSECÇÃO DE TRÊS PLANOS – Primeira possibilidade O estudo que se segue trata de planos com uma intersecção própria, seja um ponto próprio ou uma recta própria. Pretendem-se a figura geométrica resultante da intersecção de três planos: o plano de rampa ρ, o plano oblíquo α e o plano horizontal ν. i’2 fα fρ F’2 F’1 Primeiro é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ν, a recta i. A seguir é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ρ, a recta i’. O ponto I será o ponto de intersecção entra as rectas i e i’, e será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados. (fν) ≡ i2 F2 F1 I2 I1 x H’2 H’1 hρ i’1 hα i1

INTERSECÇÃO DE TRÊS PLANOS – Segunda possibilidade Pretendem-se a figura geométrica resultante da intersecção de três planos: o plano de rampa ρ, o plano oblíquo α e o plano vertical δ. fδ fα fρ Primeiro é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ρ, a recta i. A seguir é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano δ, a recta i’. As rectas i e i’ são de facto uma única recta, que será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados. F2 F1 ≡ F’2 i2 ≡ i’2 H2 H1 ≡ H’2 x ≡ F’1 ≡ H’1 hρ hδ ≡ i1 ≡ i’1 hα