Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Marco Antonio Montebello Júnior montebello@facens.br

Interpolação Polinomial “Consiste em determinar, de forma aproximada, uma função que descreve o comportamento de outra função que não se conhece, mas que tem valores tabelados do tipo (x, f(x)).” Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Interpolação Polinomial Através dos pontos: (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)) (n+1 pontos) Deseja-se aproximar f(x) por um polinômio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que: f(xi) = pn(xi) i = 0, 1, 2, ..., n Onde: pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Interpolação Polinomial Portanto, interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}, significa: Calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analítica de f(x); Ajustar uma função analítica aos dados Podemos concluir que: A interpolação polinomial consiste em obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto n+1 de dados {xi,f(xi)} Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Interpolação Polinomial De maneira que: p(x0) = f(x0) p(x1) = f(x1) ... p(xn) = f(xn) Detalhe importante: o índice se inicia em 0 (zero) portanto temos n+1 pontos. O polinômio p(x) é chamado de polinômio interpolador Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Interpolação Polinomial Conforme demonstrado podemos escrever: ... Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Interpolação Polinomial Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)} Como obter o valor de f(x) para um determinado valor de x que não foi medido A função f(x) não é conhecida xi 1,5 3,0 4,5 6,0 f(xi) 0,001 0,016 0,028 0,046 0,057 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Interpolação Polinomial Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Considere o conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)} Deseja-se obter o polinômio pn(x) de grau menor ou igual a n, que interpola f(x) em x0, x1, x2, ..., xn Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Podemos representar pn(x) como: Onde os polinômios Lk(x) são de grau n Para cada i a condição pn(xi) = f(xi) deve ser satisfeita Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Para satisfazer a condição imposta, devemos considerar: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Portanto, vamos provar a condição imposta: e Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Ou seja, p(x) passa exatamente sobre {xi,f(xi)} E, podemos verificar isso facilmente, pois: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Uma das maneiras de definir Lk(x) seria: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Podemos definir o polinômio interpolador na Forma de Lagrange, como: e Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Forma de Lagrange Interpolação para 2 pontos Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)} Passo 1 – Montar a estrutura do polinômio xi x0 x1 f(xi) f(x0) f(x1) Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Forma de Lagrange Interpolação para 2 pontos Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições L0(x0) = 1 L1(x0) = 0 L0(x1) = 0 L1(x1) = 1 Passo 3 – Montar os Li(x), conforme: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Forma de Lagrange Interpolação para 2 pontos Passo 3 (continuação)... Passo 4 – Substituir os Li(x) no polinômio p(x) Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Forma de Lagrange Interpolação para 3 pontos Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)} Passo 1 – Montar a estrutura do polinômio xi x0 x1 x2 f(xi) f(x0) f(x1) f(x2) Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Forma de Lagrange Interpolação para 3 pontos Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições L0(x0) = 1 L1(x0) = 0 L2(x0) = 0 L0(x1) = 0 L1(x1) = 1 L2(x1) = 0 L0(x2) = 0 L1(x2) = 0 L2(x2) = 1 Passo 3 – Montar os Li(x), conforme: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Forma de Lagrange Interpolação para 3 pontos Passo 3 (continuação)... Passo 4 – Substituir os Li(x) no polinômio p(x) Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Forma de Lagrange Exemplo Ajustar uma reta aos seguintes pontos: Passo 1 X 2 4 f(x) 3,1 5,6 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Forma de Lagrange Exemplo Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições L0(x0) = 1 L1(x0) = 0 L0(x1) = 0 L1(x1) = 1 Passo 3 – Montar os Li(x), conforme: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Forma de Lagrange Exemplo Passo 3 (continuação)... Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Forma de Lagrange Exemplo Passo 4 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2) Ao se aproximar uma função f(x) por um polinômio interpolador de grau ≤ n, comete-se um erro: Erro absoluto: En(x) = f(x) – pn(x), para todo x no intervalo [x0, Xn] Estudar o erro é importante para sabermos quão próximo f(x) está de pn(x) Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2) Sejam x0 < x1 < x2 < ... < xn (n pontos) Seja f(x) com derivadas até a ordem n para todo x pertencente ao intervalo [x0, xn] Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, ..., xn Então, em qualquer ponto x pertencente ao intervalo [x0, xn], o erro é dado por: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Limitante para o Erro A fórmula para o erro mostrada anteriormente tem seu uso limitado na prática, pois são raras as situações que conhecemos f(n)(x) e o ponto x nunca é conhecido. Agora estudaremos 2 corolários do Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2), que relacionam o erro com um limitante de f(n)(x) Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Limitante para o Erro Corolário 1 Baseados no que foi dito anteriormente, se f(n)(x) for contínua em I=[x0,xn], podemos escrever a relação: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Limitante para o Erro Corolário 2 Se além das hipóteses anteriores os pontos forem igualmente espaçados, ou seja: x1 - x0 = x2 – x1 = ... = xn – xn-1 = h, Então: Observe que o majorante acima independe do ponto x considerando, x  [x0, xn] Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Forma de Lagrange Exercícios 1. Interpolar o ponto x = 1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de Lagrange x -1 1 2 f(x) 3 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Forma de Lagrange Exercícios A tabela seguinte relaciona a velocidade de queda de um pára-quedista em função do tempo. Determine a velocidade de queda do pára-quedista ao fim de 10s usando polinômio interpolador de Lagrange de grau menor igual a 3 Tempo(s) 1 3 5 7 13 Vel(cm/s) 800 1310 2090 2340 3180 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Forma de Lagrange Exercícios Dada a tabela da função f(x) = ln(x), calcule uma aproximação para o valor f(12,3), usando a interpolação parabólica baseada no método de Lagrange. x 11 12 13 14 15 f(x) 2,397895 2,484907 2,564949 2,639057 2,708050 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab