Escoamento em rios Modelo Muskingum Criado na década de 1930 por McCarthy para representar a propagação de vazão ao longo do rio Muskingum. Supõe que S (armazenamento) está relacionado a I (vazão de entrada) e Q (vazão de saída)

Escoamento em rios: Muskingum Continuidade Relação C1+C2+C3=1 K é o tempo médio de deslocamento da onda X é um ponderador entre as vazões de entrada e saída S = K [X I +(1-X) Q] A vazão (Q) na seção de jusante é dada por:

Intervalo de tempo é o intervalo de tempo para simulação da propagação Para que os coeficientes da equação sejam positivos é o intervalo de tempo para simulação da propagação

Significado dos parâmetros X representa a ponderação entre a vazão de entrada e saída do trecho K representa o tempo médio de translado do escoamento entre montante e jusante Diferença entre os centros de gravidade dos hidrogramas I I e Q Q K t

Métodos para estimativa dos parâmetros Mínimos quadrados  Di Sc       So

Tradicional método da laçada Variar o valor de X até que se crie uma laçada, com forma mais próxima possível de uma reta Ajustar uma linha de tendência linear K será igual ao coeficiente angular da reta X=X1 X= Xn S/∆t QI = a.S/∆t + b K = a QI    

Muskingum-Cunge Adaptado para estimativa com base em parâmetros físicos do trecho

Roteiro de Ajuste Fixar ∆t = tp/5 ou outro valor para ∆t ≤ tp/5 Adotar valor de Qo = 2/3 da vazão máxima do hidrograma de entrada Calcular co Calcular ∆x por processo iterativo A primeira estimativa de ∆x pode ser obtida por Calcular K e X e verificar se está dentro da faixa de erro de 5% Caso contrário modifique ∆x

Exemplo Por convergência X=0,31 K = 1,34 Determine o hidrograma 18 km a jusante de uma seção de um rio. As características do trecho são: largura=30m, declividade=0,0007 m/m; rugosidade de Manning n=0,045. o tempo tp = 240 min e =240/5=48 min, ∆t=40min. A vazão máxima de montante é 130 m3/s, Qo=87m3/s Por convergência X=0,31 K = 1,34 adotado

Muskingum Cunge não linear A celeridade não é constante Os parâmetros do método de Muskingum Cunge deveriam variar Celeridade varia com o nível da água ou com a vazão Celeridade diminui Celeridade aumenta

Muskingum Cunge não linear Substituir K e X (C1, C2 e C3) constantes por variáveis A cada passo de tempo é necessário recalcular o valor de K e X (C1, C2 e C3) Só o que não muda é o Dx

Muskingum Cunge não linear Qual vazão usar como referência? Criar tabela Q x C a partir de tabela h x A x Q

Solução não-linear Cálculo de X e K em cada célula de cálculo Calcular K e X com base em: (1) Qt (2) Qt, It e It+1 (3) todos. t Qt+1 t+1 It+1 t It Qt i x i+1

Exemplo Jacuí Linear x Não-linear