ME623A Planejamento e Pesquisa

4. Experimentos em Blocos Blocos Completos e Aleatorizados Definição Análise Estatística Decomposição da Soma de Quadrados Tabela Anova Estimação dos Parâmetros Quadrados Latinos Quadrados Greco-Latinos Blocos Balanceados Incompletos Delineamento Cruzados

Blocos Completos Aleatorizados Fator A Bloco 1 Bloco 2 Bloco b 1 y11 y12 y1b 2 y21 y22 . . . y2b . a ya1 ya2 yab Completo indica que cada bloco contém todos os tratamentos

Exemplo da Ponteira As observações para cada ponteira e placa de metal estão na Tabela abaixo Vamos calcular as SS e testar se existe diferença entre as ponteiras na medição da dureza em placas de metal Ponteira Placa de Metal (Bloco) 1 2 3 4 9.3 9.4 9.6 10.0 9.8 9.9 9.2 9.5 9.7 10.2

Análise Estatística Exemplo das Ponteiras Queremos testar se: Calcular SST, SSA, SSBlocos e SSE Encontrar a tabela ANOVA Figura: Boxplot da dureza das placas de metais para cada ponteira

Tabela ANOVA Blocos Completos Aleatorizados Exemplo Ponteiras No R > dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE) > fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira) + factor(Placa), data=dados) > anova(fit) Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 14.438 0.0008713 *** factor(Placa) 3 0.825 0.275000 30.938 4.523e-05 *** Residuals 9 0.080 0.008889 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Análise Estatística Exemplo Ponteiras Gráfico da Distribuição F(3,9), α=0.05 Conclusão: Como F0 = 14.44 > 3.86 (ou p-valor < 0.01), rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem. Ou seja, o tipo de ponteira influencia na medida da dureza das placas de metal

Tabela ANOVA Experimento com Um Fator Exemplo Ponteiras Não Rejeita H0 No R, desconsiderando o efeito dos blocos > dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE) > fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira), data=dados) > anova(fit) Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 1.7017 0.2196 Residuals 12 0.905 0.075417

Análise Estatística – Ignorando Efeito dos Blocos Exemplo Ponteiras Gráfico da Distribuição F(3,12), p-valor=0.22 Conclusão: Como F0 = 1.70 < 3.49 (ou p-valor > 0.05), não temos evidência para rejeitar H0 e afirmar que as médias dos tratamentos diferem. Nesse caso, se ignorarmos o efeito dos blocos, tiramos conclusões erradas do experimento

Análise de Diagnóstico Já vimos anteriormente a importância de checar se as suposições do modelo são satisfeitas Isso é feito através da análise dos resíduos No caso de experimentos com blocos, devemos verificar se existe algum problema com: Normalidade Variância dos erros não constante (em relação aos tratamentos ou blocos) Interação entre tratamento e bloco

Análise de Diagnóstico Interação: Ver gráfico de resíduos vs valores estimados Se houver curva: Valores baixos(negativos) dos resíduos com valores baixos e altos ajustados; baixos para valores medianos ajustados. Isso pode indicar intereção

Análise de Resíduos Exemplo das Ponteiras Alguma indicação de não-normalidade? E outliers? Gráfico resíduos x ajustados: se houver uma tendência curvilínea, pode ser indício de interação entre tratamentos e blocos

Análise de Resíduos Exemplo das Ponteiras É razoável assumir igualdade de variância tanto por tratamento quanto por bloco?

Estimação dos Parâmetros No modelo com blocos completos aleatorizados os parâmetros são estimador por: O valor ajustado é então calculado como:

Estimação dos Parâmetros pelo Método dos Mínimos Quadrados Voltemos aos experimentos com um único fator, em que temos o modelo Exercício: Os estimadores de mínimo quadrados (EMQ) de μ e τi são valores que minimizam a soma de quadrados dos erros em que é o vetor de parâmetros

Estimadores de Mínimos Quadrados Os estimadores são então soluções das equações normais: que simplificando resultam em

Estimadores de Mínimos Quadrados Note que a 1ª equação é a soma das demais, isto é, as equações normais não são linearmente independentes Com isso, não temos uma solução única para os parâmetros do modelo Mas lembram-se da restrição linear do modelo? Então é razoável aplicar o contraste E assim obtemos a seguinte solução

Estimadores de Mínimos Quadrados Exercício: De forma semelhante, mostre que no caso do experimentos com blocos completos, cujo modelo é os estimadores de mínimos quadrados são dados por

Alguns Aspectos sobre os Blocos O modelo linear que usamos para o desenho de blocos aleatorizado é completamente additivo Ou seja, os blocos e os tratamentos tem um efeito additivo na v.a. resposta

Alguns Aspectos sobre os Blocos Em algums situações o modelo aditivo não é adequado. Pode haver interações entre os blocos e os tratamentos: lotes e fórmulas químicas

Alguns Aspectos sobre os Blocos Pode ocorrer quando a resposta foi medida na escala errada Podemos usar modelos fatoriais

Alguns Aspectos sobre os Blocos Como escolher o tamanho amostral? Como escolher quantos blocos?

Alguns Aspectos sobre os Blocos Como escolher o tamanho amostral? Como escolher quantos blocos? Note que quanto mais blocos aumenta o número de réplicas e o número de graus de liberdade do erro, fazendo o desenho mais sensitivo.

Alguns Aspectos sobre os Blocos Podemos escolher através das curvas características (operacionais) usando

Alguns Aspectos sobre os Blocos Eficiência Vamos estimar a eficiência do desenho com blocos contra sem blocos Uma maneira é usar onde e são as variâncias dos erros do modelo básico e com blocos, respect.

Alguns Aspectos sobre os Blocos Valores faltantes! As vezes uma observação em um dos blocos está faltando Quais poderiam ser os motivos?

Alguns Aspectos sobre os Blocos Valores faltantes! Introduz um problema: não temos mais tratamentos ortogonais aos blocos Isto é, nem todo tratamento ocorre em todo bloco. Aproximação ou análise exata(no futuro)

Alguns Aspectos sobre os Blocos Valores faltantes! Suponha que a resposta do tratamento i bloco j está faltando. Denote ela por x Seja o total com a obs. faltante, o total do trat. com a obs faltante o total do bloco com a obs faltante

Alguns Aspectos sobre os Blocos Valores faltantes! Queremos estimar x tal que tenha uma contribuição mínima a soma dos quadrados dos erros. Já que

Alguns Aspectos sobre os Blocos Valores faltantes! Equivalente à Ou Derivar em x!

Alguns Aspectos sobre os Blocos Valores faltantes! Derivando em x temos

Exercícios Exercícios do Montgomery, 6ª edição Capítulo 3: 3-1(c), 3-5, 3-6(b, c), 3-12(d, e, f), 3-16(a-f), 3-20(a, c), 3-25, 3-31, 3-32 Capítulo 4: 4-1, 4-5(b), 4-17, 4-18