ME623 Planejamento e Pesquisa

3. Experimentos com um Único Fator (Completamente Aleatorizados)

Estimador de σ2 Soma de Quadrados dos Erros O termo entre colchetes dividido por n – 1 é a variância amostral para o i-ésimo tratamento: Então um estimador de σ2 é dado por

Construção do Teste F (Intuição) Se não existe diferença entre as médias, pode-se também usar a variação entre tratamentos para estimar σ2 Isso se deve ao fato que . Então também é um estimador de σ2. Portanto, no caso de igualdade das médias, MSE e MSA deveriam ser próximos. Caso contrário, suspeita-se que a diferença seja causada pela diferença nas médias dos tratamentos.

Quadrados Médios (MS) A quantidade é chamada de Quadrado Médio Quadrado Médio do Erro (MSE) Quadrado Médio do Fator A (MSA)

Construção do Teste F (formal) O valor esperado de cada Quadrado Médio: MSE é um estimador não viciado de σ2 Sob , MSA também é um estimador não viciado de σ2. Então, um teste de hipótese para testar igualdade das médias pode ser elaborado através da comparação de MSE e MSA. Exercício: Prove essas igualdades!!

Construção do Teste F Assumimos que Isso implica que Então, as quantidades SST, SSA e SSE são somas de quadrados de v.a. normais e pode-se mostrar que SSE e SSA são independentes?

Construção do Teste F

Construção do Teste F Como pelo Teorema de Cochran temos que e são v.a. qui-quadrado independentes. Temos então a estatística do teste Se H0 é falsa, o valor esperado de MSA é maior que o valor esperado de MSE e então, devemos rejeitar H0 para valores grande de F0 , isto é, rejeita H0 se

Tabela ANOVA Único Fator com Efeito Fixo Mostre que as SS podem ser simplificadas como: SSE é obtida pela subtração:

Exemplo da Fibra Sintética % Algodão Resistência (lb/in2) ( ) Total Média 1 2 3 4 5 15 7 11 9 49 9.8 20 12 17 18 77 15.4 25 14 19 88 17.6 30 22 23 108 21.6 35 10 54 10.8 = 376 =15.04

Análise Estatística Exemplo Fibra Sintética Queremos testar se: Calcular SST, SSA e SSE Encontrar a tabela ANOVA Figura: Boxplot da resistência para cada % de algodão

Análise Estatística Exemplo Fibra Sintética

Tabela ANOVA Exemplo Fibra Sintética No R, usando a função aov > dados <- read.table(“DadosAlgodao.txt”, header=TRUE) > fit <- aov(Obs ~ factor(Algodao), data=dados) > summary(fit) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Algodao) 4 475.8 118.94 14.76 9.13e-06 *** Residuals 20 161.2 8.06 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Análise Estatística Exemplo Fibra Sintética Gráfico da Distribuição F(4,20), α=0.05 Conclusão: Como F0 = 14.76 > 2.87 (ou p-valor < 0.01), rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem. Ou seja, a porcentagem de algodão na fibra afeta significativamente a resistência média.

Estimação dos Parâmetros No modelo com um único fator os parâmetros são estimador por: Pela suposição que , temos Onde

Intervalos de Confiança Para a média do i-ésimo tratamento (μi) Um 100(1 - α)% IC para μi é: Similarmente, um IC para a diferença das médias de dois tratamentos (μi – μj) é

Estimação dos Parâmetros Exemplo Fibra Sintética

Dados Não-Balanceados Número de observações/replicações sob os tratamentos diferem A Análise de Variância mostrada anteriormente pode ser usada com pequenos ajustes. Seja ni o número de observações dentro do i- ésimo tratamento e Então:

Exercício ME623A – Aula 4 – 19/08/2013