Análise de Redes Complexas – Conceitos e Propriedades Básicas Ricardo Prudêncio

Redes Complexas Rede = conjunto de itens (vértices ou nós) com conexões (arestas ou links) entre si

Tipos de Redes Redes Tecnológicas Redes Informacionais Redes Sociais E.g., Internet, redes de transporte, redes de distribuição Redes Informacionais E.g., WWW, redes de citação, redes de preferência Redes Sociais E.g., Redes de amizade, redes de colaboração, redes de contato sexual Redes Biológicas E.g., redes metabólicas, redes regulatórias de genes, cadeia alimentar

Redes Complexas - Representação Grafos: G(V,E) Vértices: V = {v1,v2,v3,v4,v5} Arestas E = {(v1,v2), (v2,v3), (v2,v5), (v3,v4), (v3,v5)} v4 v3 v2 v1 v5

Representação Grafos Direcionados Vértices: V = {v1,v2,v3,v4,v5} v4 Arestas E = {(v1,v2), (v2,v3), (v2,v5), (v3,v4), (v3,v4), (v3,v5)} v4 v3 v2 v1 v5 E.g., Redes de influência, Web, Twitter, redes de citação, cadeia alimentar, malha aérea,…

Representação Grafos com Pesos Vértices: V = {v1,v2,v3,v4,v5} Arestas E = {(v1,v2,3), (v2,v3,5), (v2,v5,1), (v3,v4,2), (v3,v5,2)} 2 v4 5 v3 3 v2 v1 2 1 v5

Representação Grafos Multipartidos Diferentes tipos de vértices e arestas 1 A 2 B 3 Pessoas C 4 Instituições

Representação Matriz de Associação (Adjacência) v4 v1 v2 v3 v4 v5 v3 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 v2 v1 v5 Grafo não-direcionado = matriz simétrica

Representação Matriz de Associação v4 v1 v2 v3 v4 v5 v3 v1 v2 v3 v4 v5 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 v2 v1 v5

Representação Matriz de Associação 5 v4 v1 v2 v3 v4 v5 1 v3 v1 v2 v3 0 2 0 0 0 0 0 1 0 7 0 0 0 5 4 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 2 3 v2 v1 4 7 v5

Representação Matriz de Adjacência Vantagens Desvantanges Muitas operações são bastante simples Desvantanges Desperdícios de memória, em especial para redes esparsas Alternativa: Lista de Adjacência

Representação Lista de Adjacência v4 v3 v1 v2 v3 v4 v5 v2 v2 v1 v3 v5

Representação Lista de Adjacência Arestas de saída Arestas de entrada v4 v3 v1 v2 v3 v4 v5 v2 v2 v3 v5 v1 v1 v2 v4 v5 v4 v3 v3 v5 v2 v2

Propriedades Grau = Número de arestas do nó Grau do vértice vi v1 v2 v3 v4 v5 v3 v1 v2 v3 v4 v5 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 v2 v1 v5 Grau do vértice vi onde N = número total de nós

Propriedades Grau de entrada vs Grau de saída v4 v1 v2 v3 v4 v5 v3 v1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 v2 v1 v5

Propriedades Distribuição do Grau Fração de vértices que possui determinado grau Nk = número de vértices com grau igual a k - Distribuição cumulativa complementar Fk k Probabilidade do grau ser maior ou igual a k

Propriedades Caminho geodésico Caminho mais curto entre dois nós v4 v3 v2 v1 d1,4 = 3 v5

Propriedades Distância Média Média de todos as distâncias geodésicas v4 v3 v2 v1 l = ??? v5

Propriedades Efeito de Mundo Pequeno Distância média é tipicamente pequena, mesmo em redes muitos grandes Ver Experimento de Milgran – 6 graus de separação Ver Documentário “How Kevin Bacon Cured Cancer”

Propriedades Diâmetro Máximo das distâncias geodésicas Diâmetro = 4

Propriedades Coeficiente de Clustering Qual a probabilidade de dois nós com um vizinho em comum serem conectados? B A Transitividade ? C Cc = 3 x número de triângulos da rede número de triplas de vértices conectados

Propriedades Coeficiente de Clustering Exercício: calcule o cc da rede abaixo. 4 5 3 1 Cc = 3 x número de triângulos da rede número de triplas de vértices conectados 2

Propriedades Estrutura de Comunidades Grupo 1 Grupo 2 Ponte = laço fraco Grupo 1 Grupo 2 Obs.: Grupo 2 é uma clique

Propriedades Componentes Grafo com 13 vértices - 3 Componentes - Componente principal (ou gigante) de tamanho 9

Material de Estudo - Introdução às redes complexas, por D. Figueiredo - Structure and Function of Complex Networks, by M. Newman