Lei de Gauss Universidade Federal do Paraná Ewaldo Luiz de Mattos Mehl Universidade Federal do Paraná Departamento de Engenharia Elétrica mehl@ufpr.br Lei de Gauss

Lei de Gauss Agenda Revisão: Produto escalar Quem foi Gauss? Lei de Gauss – Analogia Linhas de campo elétrico Fluxo do campo elétrico Simetria Uso da Lei de Gauss para geometrias simétricas Fio infinito

Revisão: Produto Escalar de dois vetores sen cos Let's revise some basics first. Given two vectors, a and b, we can do two different forms of multiplication. The scalar, or "dot" product is the easier and the first we will meet. The scalar product of two vectors is the related to the PROJECTION of one on to the other. You can think of this as the shadow cast by one on the other if you like. Thus the scalar product is zero if they are perpendicular, maximum if they are parallel and in betwen otherwise. Formally, it's given by the formulae shown in terms of angle and magnitudes, or in cartesian co-ordinates as shown here. Em coordenadas cartesianas:

Revisão: Vetor x Escalar and just as a sanity-check, here's what happens when we multiply a vetor by a scalar - it simply changes length (and possibly direction) Em coordenadas cartesianas:

Carl Friedrich Gauss Braunschweig, 30 de Abril de 1777  Göttingen, 23 de Fevereiro de 1855) Príncipe dos matemáticos Eletricidade: Lei de Gauss Estatística: Curva de Gauss Cálculo Numérico: Método de Gauss-Seidel Astronomia: Lei de Gauss da gravitação Matemática: Algoritmo de Gauss-Newton Cálculo do : Algoritmo de Gauss–Legendre ...

Lei de Gauss: Analogia Desejamos medir a “intensidade da chuva” em um dia chuvoso Método 1: obter o volume de água de um pingo de chuva e contar o número de pingos que caírem sobre uma superfície em um determinado intervalo de tempo Procedimento análogo à aplicação da Lei de Coulomb Método 2: Estender um tecido seco com uma certa área e, após algum tempo na chuva, remove-lo e torcê-lo, medindo o volume de água resultante Procedimento análogo à aplicação da Lei de Gauss O método 1 é um procedimento “trabalhoso” ou “microscópico” O método 2 é um procedimento “mais elegante” ou “macroscópico” Ambos os métodos devem conduzir à MESMA RESPOSTA!

Linhas de Campo Elétrico Todas estas representações estão “corretas”, pois os vetores são apenas uma forma de representação gráfica de um fenômeno físico. Nos desenhos seguintes vamos convencionar que uma carga elétrica de 1C dá origem a um vetor de campo elétrico.

Linhas de Campo Elétrico Quantas linhas saem da esfera? 8C Þ 8 linhas 16C Þ 16 linhas 16C 8C 32C 32C Þ 32 linhas Vamos fazer isso em forma gráfica em primeiro lugar. O método de Gauss é que olhamos, não no número de linhas de campo que emanam de uma carga pontual e depois somá-los (ou integrá-los), mas que efetivamente contar o número de linhas do campo deixando uma superfície fechada (na verdade, "encontramos o fluxo total elétrico" ... mais tarde). O que vamos então encontrar é que se nós escolhemos a nossa superfície fechada cuidadosamente, a matemática torna-se quase trivial. Eu sei que a perspectiva de integrais de superfície está causando um sentimento afundando-se profundamente, mas pense comigo - eles estão OK e apenas exemplos muito simples irá aparecer no seu caminho neste curso! Vamos manter a 2D para agora e adotar um esquema de desenho em que cada Coulomb de carga é representada por (ou é visto como sendo capaz de gerar) uma linha de campo elétrico (este é 100% arbitrária!). Vamos escolher uma "superfície" circular! Então, 8C leva a 8 linhas de campo E saíndo aravés da superfície. 16C leva a 16 linhas e 32C para 32 E-linhas ... E assim por diante. O número de linhas de campo elétrico deixando uma superfície fechada é proporcional à carga delimitada pela superfície. "O fluxo elétrico total deixando uma superfície fechada é proporcional à carga delimitada pela superfície", então temos realmente declarou a lei de Gauss, e, assim, a equação de Maxwell em primeiro lugar! Conclusão: O fluxo é proporcional à carga no interior da esfera

Linhas de Campo Elétrico Quantas linhas saem da superfície? 8C Þ 8 linhas 16C Þ 16 linhas 16C 8C 32C 32C Þ 32 linhas And the shape of the surface does not matter Conclusão: A forma da superfície é indiferente, desde que seja FECHADA

Linhas de Campo Elétrico Linhas que saem = + Linhas que entram = - 8C Þ 0 linhas 16C Þ 0 linhas 16C 8C 32C 32C Þ 0 linhas It does matter, however, if the surface does not enclose any charge Conclusão: Quando a carga envolvida pela superfície fechada é zero, o número efetivo de linhas de campo que cortam a superfície é zero!

Superfícies gaussianas Não! Não importa a forma !

Superfícies gaussianas Atenção! As superfícies gaussianas são imaginárias! Não é necessário que exista um corpo sólido com o formato da superfície! Não importa a forma !

Lei de Gauss: Analogia gráfica O número de linhas do campo elétrico que saem de uma superfície fechada (gaussiana) é proporcional à carga elétrica envolvida por esta superfície S(linhas de campo E) a Carga envolvida pela superfície fechada And, happily, all of this is true in 3D as well. N Coulombs Þ aN linhas de campo elétrico

Fluxo do Campo Elétrico Como visto anteriormente, o número de linhas de campo é um conceito arbitrário e dependente da convenção gráfica utilizada. É melhor portanto definir uma forma mais precisa que expresse a “quantidade” de linhas de campo elétrico que atravessa uma determinada superfície. Esta “quantidade” é chamada de Fluxo do Campo Elétrico Unidade: N.m2/C 1C 1C 1C Here is the same thing in simple maths – the dot product automatically take account of the “foreshortening” effect that makes the same area, in the same flux of rain, get either wetter or not, depending upon it’s angle to the flux.

Lei de Gauss e Fluxo do Campo Elétrico () (Fluxo do campo elétrico) proporcional a (Carga envolvida)  proporcional a qenvolvida o= 8,85 x 10-12 C/N.m2 So - biting the bullet, here is Gauss properly. D is just E multiplied by the dielectric constant ε, which is ε0 = 8.85 x 10-12 for a vacuum and more for materials with some dielectric properties. The “charge enclosed” now becomes a volume integral of charge/volume in a closed surface and the “number of E-field lines” becomes the integral of E (actually D) over the same closed surface. What’s the dot product, D.E, all about, though? Constante de permissividade do vácuo

Questão no 1 Uma superfície Gaussiana esférica (#1) contém em seu centro geométrico uma carga elétrica +q. Uma segunda superfície Gaussiana esférica (#2) do mesmo tamanho também contém a carga +q no seu interior, porém deslocada do seu centro geométrico. Comparativamente ao fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #1, o fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #2 é: +q Superfície Gaussiana #1 Superfície Gaussiana #2 maior. o mesmo. C. menor, mas não zero. D. zero. E. Não se tem informações suficientes para responder.

Questão no 1 Uma superfície Gaussiana esférica (#1) contém em seu centro geométrico uma carga elétrica +q. Uma segunda superfície Gaussiana esférica (#2) do mesmo tamanho também contém a carga +q no seu interior, porém deslocada do seu centro geométrico. Comparativamente ao fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #1, o fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #2 é: +q Superfície Gaussiana #1 Superfície Gaussiana #2 maior. o mesmo. C. menor, mas não zero. D. zero. E. Não se tem informações suficientes para responder.

Revisão: Integral de Área Esta área ficará mais molhada!

Integral de Área Chuva Chuva dA dA Esta área ficará mais molhada! Flux density D and field E have a direction - and here's why. Look at the water-flux example once more. The same rainfall has dramatically different effects depending upon its direction. Look at the rectangular “umbrellas”. So - the direction, or orientation, is at least as important as the area. A huge umbrella held at 90° to the rainfall won't keep you very dry. Mathematically, this means that when we talk about an element of area (perversely, usually called ds ... "s" standing for “surface”) we actually have to make it a vector and give it direction - chosen to be PERPENDICULAR to the surface. With this convention, we call is ds. Get used to this - we will see it again. dA dA Esta área ficará mais molhada!

Integral de Área Chuva Chuva dA dA And here they are in close-up. Como as áreas são iguais, fica evidente que a quantidade de chuva que “molha” cada área retangular depende do ângulo entre a área e a direção de caída da chuva!

Integral de Área Chuva [C] Chuva [C] dA dA Casos extremos Vetores C e dA em 180°: máximo “molhamento” Vetores C e dA em 90°: a chuva não molha a superfície

Fluxo de chuva através de uma área dA Fluxochuva = CdA (produto escalar de dois vetores) |C|´|dA|´cos(q) C.dA cos(q) Fluxochuva = 0 para q=90° cos(q) = 0 Fluxochuva = -C.dA para q=180°  cos(q) = -1 Generalizando: Fluxochuva = C.dA cos(q) Para -1 < cos(q) < +1 dA C  Here is the same thing in simple maths – the dot product automatically take account of the “foreshortening” effect that makes the same area, in the same flux of rain, get either wetter or not, depending upon it’s angle to the flux.

Fluxo do Campo Elétrico () na forma integral O Fluxo do Campo Elétrico pode ser calculado através do produto do campo elétrico pela área, considerando-os como vetores: Caso 1: Os vetores E e A são paralelos Caso 2: Se os vetores A e E não são paralelos, o fluxo é dado pelo produto escalar dos dois vetores: Here is the same thing in simple maths – the dot product automatically take account of the “foreshortening” effect that makes the same area, in the same flux of rain, get either wetter or not, depending upon it’s angle to the flux.

Fluxo do Campo Elétrico () na forma integral Superfície Gaussiana 1. Dividir a superfície em pequenos “elementos” de área A 2. Para cada elemento de área A calcular o termo: 3. Somar todos os termos calculados anteriormente: 4. Tomar o limite quando cada elemento de área é infinitesimal: 5. A somatória dos elementos infinitesimais torna-se então a integral, que é o fluxo:

Questão no 2 Duas cargas elétricas pontuais +q (em vermelho) e –q (em azul) estão dispostas no espaço como na figura. Através de qual(is) superfície(s) Gaussianas o fluxo do campo elétrico é igual a zero? Superfície Gaussiana A Superfície Gaussiana B C. Superfície Gaussiana C D. Superfície Gaussiana D E. Ambas as superfícies C e D F. Ambas as superfícies A e B

Questão no 2 Duas cargas elétricas pontuais +q (em vermelho) e –q (em azul) estão dispostas no espaço como na figura. Através de qual(is) superfície(s) Gaussianas o fluxo do campo elétrico é igual a zero? Superfície Gaussiana A Superfície Gaussiana B C. Superfície Gaussiana C D. Superfície Gaussiana D E. Ambas as superfícies C e D F. Ambas as superfícies A e B

Fluxo do Campo Elétrico () na forma integral: anote! A superfície gaussiana deve ser decomposta por um conjunto de áreas, cada qual representada por um vetor perpendicular ao elemento de área. Nos cálculos envolvendo Lei de Gauss, o vetor elemento de área sempre aponta “para fora” da superfície gaussiana. O cálculo do fluxo do campo elétrico é feito através do produto escalar em cada elemento de área: EdA = E.dA cos(q) O ‘truque’ é escolher uma superfície gaussiana conveniente, de modo que a integral de área ( ) possa ser facilmente calculada. Self-explanatory … dA Superfície Gaussiana

Fluxo do Campo Elétrico () na forma integral: anote! A escolha da superfície gaussiana geralmente é o maior problema para se aplicar a Lei de Gauss! Self-explanatory … O procedimento é buscar a SIMETRIA

Esfera sem defeitos superficiais Simetria: Diz-se que um objeto possui simetria em relação a uma determinada operação matemática (ex.: rotação, translação, … ) se um observador não verifica mudança no objeto após a aplicação da operação. Atenção: Simetria é uma noção intuitiva! Esfera sem defeitos superficiais Eixo de Rotação Observador Simetria rotacional

Esfera sem defeitos superficiais Eixo de Rotação Observador Simetria rotacional Cilindro sem defeitos superficiais

Simetria de Translação Observador Tapete mágico Plano infinito e sem defeitos

Simbologia para cargas uniformemente distribuídas Linear Superficial Volumétrica ELETROMAGNETISMO - WILLIAM H. HAYT JÚNIOR

Simbologia para cargas uniformemente distribuídas Linear Superficial Volumétrica FÍSICA – HALLIDAY, RESNICK & WALKER

Exemplo de uso da Lei de Gauss: Campo Elétrico produzido por um fio longo com carga uniforme l [C/m] Escolhe-se uma superfície gaussiana que aproveite a simetria da estrutura; no caso, um cilindro: E E dA dA rl C/m r dA L

dA E r Cálculo do Fluxo: Nas “tampas” do cilindro E e dA são perpendiculares Então: Não existe fluxo do campo elétrico através das “tampas” do cilindro!

Cálculo do Fluxo: E E & dA são paralelos EdA = |E|´|dA| = E.dA rl C/m

Cálculo do Fluxo: E rl C/m L A superfície cilíndrica tem uma distância constante do fio. Portanto o Campo Elétrico é constante nesta superfície rl C/m L E

Cálculo do Fluxo: E = constante A integral de todos os dA é a superfície lateral do cilindro: Então: L 2pr rl C/m r L 2pr

Cálculo do Campo Elétrico: A Lei de Gauss também pode ser escrita como: A carga dentro da superfície gaussiana é: Então: rl C/m r L 2pr

Discussão do resultado obtido |E| é proporcional a 1/r A medida que nos afastamos do fio carregado o campo elétrico fica mais fraco. Intuitivamente correto! O vetor E aponta no sentido radial do fio carregado A intensidade do campo elétrico é proporcional à densidade de carga no fio (rl) Fio com maior densidade de carga = campo elétrico mais intenso