Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido: Força e Aceleração MECÂNICA - DINÂMICA Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido: Força e Aceleração Cap. 17

Objetivos Introduzir os métodos utilizados para calcular o momento de inércia de massa de um corpo Desenvolver as equações dinâmicas do movimento plano para um corpo rígido simétrico Discutir aplicações destas equações para corpos em movimento de translação, rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral

Movimento de translação: F = m a Movimento de rotação: M = I a 17.1 Momento de Inércia Movimento de translação: F = m a Movimento de rotação: M = I a onde I é o momento de inércia. O momento de inércia é uma resistência do corpo à aceleração angular enquanto que a massa mede a resistência do corpo à aceleração

17.1 Momento de Inércia O momento de inércia é obtido pelo cálculo do segundo momento de massa em relação a um eixo: r é o braço de momento ou a distância perpendicular do eixo considerado até o elemento de massa dm.

Para um corpo de densidade variável r, dm = rdV e: 17.1 Momento de Inércia Para um corpo de densidade variável r, dm = rdV e: E para r constante:

Exemplo 17.1 Determine o momento de inércia do cilindro mostrado em relação ao eixo z. Considere a densidade do material constante.

Usando o elemento de casca cilíndrica: Exemplo 17.1 - Solução Usando o elemento de casca cilíndrica:

Exemplo 17.1 - Solução

d = distância perpendicular entre os dois eixos 17.1 Momento de Inércia Teorema dos Eixos Paralelos onde: IG = momento de inércia em torno do eixo z’ passando pelo centro de massa G m = massa do corpo d = distância perpendicular entre os dois eixos

17.1 Momento de Inércia Raio de Giração Observe-se a semelhança com a equação do diferencial do momento de inércia:

Portanto para uma somatória de corpos: 17.1 Momento de Inércia Corpos compostos Usa-se o Teorema dos Eixos Paralelos Portanto para uma somatória de corpos:

Exemplo 17.3 Determine o momento de inércia da placa em relação ao eixo z perpendicular a placa passando pelo ponto O. A placa possui densidade constante de 8000 kg/m3 e espessura 10 mm.

Portanto para uma somatória de corpos: Exemplo 17.3 - Solução A placa consiste de duas partes, um disco sólido e um furo: Portanto para uma somatória de corpos:

Exemplo 17.3 - Solução Disco:

Exemplo 17.3 - Solução Furo:

Exemplo 17.3 - Solução Placa:

Objetivos Introduzir os métodos utilizados para calcular o momento de inércia de massa de um corpo Desenvolver as equações dinâmicas do movimento plano para um corpo rígido simétrico Discutir aplicações destas equações para corpos em movimento de translação, rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Nosso estudo será restrito para corpos rígidos que possuem simetria em relação a um plano de referência. Assim todas as forças (e momentos) atuantes no corpo poderão ser projetadas neste plano e o movimento a ser estudado será planar.

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Translação: Esta equação define que a soma de todas as forças atuantes no corpo é igual a massa do corpo vezes a aceleração do seu centro de massa G.

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação Planar do Movimento de Translação:

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: Diagrama de corpo livre da partícula Diagrama cinético da partícula

16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo Movimento do Ponto P Resumo:

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: Desenvolvendo o produto vetorial, usando os componentes cartesianos do momento e aceleração:

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação Integrando sobre toda a massa do corpo:

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: SMP representa somente momentos externos desde que os momentos internos se anulam.

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: A primeira integral é a ordenada do centro de massa vezes a massa

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: segunda integral é a coordenada do centro de massa vezes a massa

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: A terceira integral é o momento de inércia de massa do corpo.

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação:

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: Se o ponto P coincide com o centro de massa G: ou seja: a soma de todos os momentos externos atuantes no corpo, calculados em relação ao centro de massa G é igual ao produto da aceleração angular do corpo pelo momento de inércia em relação a um eixo que passa por G.

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação escrita em função do momento de inércia em relação ao centro de massa G: Diagrama de corpo livre Diagrama cinético

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação escrita de uma forma geral em função do momento cinético:

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Resumo:

Problema 17.A 0.25 1.00 2.00 0.30 1.20

Diagrama de Corpo Livre Problema 17.A - Solução Diagrama de Corpo Livre a=4 m/s2 g=9.81 m/s2 0.25 1.00 2.00 BX 0.30 CG xCG 1.20 PC AX PE AY

Problema 17.A - Solução