MECÂNICA - ESTÁTICA Vetores Forças Cap. 2

Objetivos Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores. Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.

Objetivos Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores. Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.

Escalar =A=A=A Vetor = A = A 2.1 Escalares e Vetores Escalar é uma grandeza caracterizada por um número positivo ou negativo; exemplos: massa, volume e comprimento. Vetor é uma grandeza que possui módulo, direção e sentido; exemplos: posição, força e momento. Escalar =A=A=A Vetor = A = A

Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar: 2.2 Operações com Vetores Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar: Multiplicação do vetor A pelo scalar a  aA Módulo = aA Mesmo sentido de A se a > 0; contrário se a < 0 Divisão do vetor A pelo escalar a  (1/a)A ; a  0

Dois vetores adicionados formam o vetor resultante R 2.2 Operações com Vetores Adição Vetorial: Dois vetores adicionados formam o vetor resultante R  A + B = B + A = R

2.2 Operações com Vetores Adição Vetorial: Vetores colineares

A diferença entre dois vetores produz o vetor resultante R 2.2 Operações com Vetores Subtração Vetorial: A diferença entre dois vetores produz o vetor resultante R  A - B = A + (-B) = R´

Decomposição Vetorial: 2.2 Operações com Vetores Decomposição Vetorial: Um vetor pode ser decomposto em duas componentes usando a regra do paralelogramo.  R = A + B

2.3 Adição de Forças Vetoriais Uma força é uma grandeza vetorial pois tem módulo, direção e sentido e pode ser adicionada de acordo com a regra do paralelogramo.

2.3 Adição de Forças Vetoriais Se mais do que duas forças precisam ser adicionadas, sucessivas aplicações da regra do paralelogramo devem ser utilizadas para obter a resultante.  F1 + F2 + F3 = (F1 + F2) + F3

Procedimento de Análise A + B = C Para encontrar o módulo da resultante C use a Leis dos cosenos

Determine o módulo da força resultante se: (a) FR = F1 + F2 Problema 2.2 Determine o módulo da força resultante se: (a) FR = F1 + F2 (b) FR = F1 – F2

Usando a regra do paralelogramo: Problema 2.2 (a) Adição Vetorial: Usando a regra do paralelogramo: 100 N 60° 45° 105° 80 N R 75°

 Usando a lei dos cosenos: Problema 2.2 R 100 N 80 N 100 N FR 80 N 60° 45° 105° 80 N R 75° 100 N 80 N FR 75° 

(b) Subtração Vetorial: Problema 2.2 (b) Subtração Vetorial: F1 = 100 N 60° 45° 105° F2 = 80 N FR - F2

 Usando a lei dos cosenos: Problema 2.2 F1 = 100 N F2 = 80 N 60° 45° 105° F2 = 80 N FR - F2 F1 = 100 N 105° FR - F2 

Dadas as duas forças mostradas pela figura. Problema 2.A Dadas as duas forças mostradas pela figura. a. Calcule a resultante das duas forças. b. Decomponha as duas forças nas direções u e v

Procedimento de Análise A + B = C Para encontrar o módulo da resultante C use a Leis dos cosenos

a. Calcule a resultante das duas forças Problema 2.A a. Calcule a resultante das duas forças

b. Decomponha as duas forças nas direções u e v Problema 2.A b. Decomponha as duas forças nas direções u e v

Decomposição Vetorial: 2.2 Operações com Vetores Decomposição Vetorial: Um vetor pode ser decomposto em duas componentes usando a regra do paralelogramo.  R = A + B

Decompondo F1 nas direções u e v Problema 2.A Decompondo F1 nas direções u e v

Decompondo F1 nas direções u e v Problema 2.A Decompondo F1 nas direções u e v

Decompondo F2 nas direções u e v Problema 2.A Decompondo F2 nas direções u e v

Decompondo F2 nas direções u e v Problema 2.A Decompondo F2 nas direções u e v

Decomponha a força de 200-lb atuando no tubo em componentes Exemplo 2.2 Decomponha a força de 200-lb atuando no tubo em componentes (a) direções x e y, e (b) direções x’ e y.

 Usando a regra do paralelogramo para decompor F Exemplo 2.2 Usando a regra do paralelogramo para decompor F A adição vetorial é dada por F = Fx + Fy 

 Parte (a) Do triângulo abaixo: Fx = 200 lb cos 40° = 153 lb Exemplo 2.2 Parte (a) Do triângulo abaixo: Fx = 200 lb cos 40° = 153 lb e Fy = 200 lb sin 40 ° = 129 lb 

Exemplo 2.2 Parte (b): A adição vetorial é dada por F = Fx + Fy 

Exemplo 2.2 Aplicando a regra do paralelogramo: 

Aplicando a lei dos senos: Exemplo 2.2 Aplicando a lei dos senos:

Problema 2.30 Três cabos puxam um tubo criando uma resultante de módulo igual a 900 lb. Se dois destes cabos são sujeitos a forças conhecidas, mostradas pela figura, determine a direção  do terceiro cabo para que o módulo da força F neste cabo seja mínimo. As forças são coplanares, plano x-y. Qual é o módulo de F? Dica: primeiro encontre a resultante das forças conhecidas.

Problema 2.30 Usando a regra do paralelogramo para encontrar a resultante dos vetores conhecidos: F 105°   400 lb 600 lb 

Problema 2.30 F’ 105°   400 lb 600 lb F 400 lb 600 lb 105°  F’

Problema 2.30 – simulando F com angulo a de F’ 900 lb

Objetivos Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores. Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Notação Escalar: As componentes de F são Fx e Fy As componentes de F’ são F’x e –F’y Esta notação é usada somente para efeito de cálculos, não para representação gráfica nas figuras Graficamente, a ponta da seta determina o sentido do vetor.

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Notação Vetorial Cartesiana: Em duas dimensões os vetores unitários cartesianos são i e j i e j determinam a direção dos eixos x e y, respectivamente i e j possuem módulo unitário adimensional Seus sentidos são descritos por um sinal de mais ou de menos  F = Fxi + Fyj

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Notação Vetorial Cartesiana: Em duas dimensões os vetores unitários cartesianos são i e j i e j determinam a direção dos eixos x e y, respectivamente i e j possuem módulo unitário adimensional Seus sentidos são descritos por um sinal de mais ou de menos  F’ = F’ xi + Fy(-j) ou F’ = Fxi - Fyj

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Resultantes de Forças Coplanares: Decomponha cada força nas direções x e y  F1 = F1xi + F1yj F2 = -F2xi + F2yj F3 = F3xi - F3yj

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Resultantes de Forças Coplanares: Adicione os respectivos componentes usando algebra escalar simples pois eles são colineares FR = F1 + F2 + F3 = F1xi + F1yj -F2xi + F2yj + F3xi - F3yj = (F1x - F2x + F3x)i + (F1y + F2y - F3y)j = (FRx)i + (FRy)j

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Resultantes de Forças Coplanares:  FR = (FRx)i + (FRy)j onde (+) FRx = F1x - F2x + F3x (+) FRy = F1y + F2y - F3y

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Resultantes de Forças Coplanares: De uma forma geral

Problema 2.33 Determine o módulo da força F tal que a resultante FR das três forças seja a menor possível.

 A regra do paralelogramo é usada para decompor F, F1 e F2 Problema 2.33 - Solução A regra do paralelogramo é usada para decompor F, F1 e F2 y 45º F Fx Fy F2=12kN F1=20kN F1x F1y 3 5 4 x 

Notação Escalar: Somando os componentes algebricamente: Problema 2.33 - Solução Notação Escalar: Somando os componentes algebricamente: y 45º F Fx Fy F2=12kN F1=20kN F1x F1y 3 5 4 x

O módulo da resultante FR é: Problema 2.33 - Solução O módulo da resultante FR é:

Problema 2.33 - Solução

Problema 2.33 - Solução

Problema 2.33 - Solução

Problema 2.33 – Solução pelo Excel ver arquivo incluso O módulo da resultante FR é: Utilizando o Excel coloque F numa célula (A2) e a fórmula de FR em outra (B2). Se Dados/Solver não estiver disponível, ative o mesmo em Arquivo/Opções/Suplementos/Gerenciar Suplementos do Excel

Problema 2.33 – Solução pelo Excel Defina B2 como Objetivo (Target), selecione Min como valor do objetivo e A2 como a célula variável. Clique em Resolver (Solve) e o problema estará resolvido. A solução será: F = 11.3 kN com FR = 11.314 kN