Cap. 1. Tensores cartesianos, cálculo tensorial, aplicação aos momentos de inércia 1. Quantidades físicas 1.1 Tipos das quantidades físicas 1.2 Descrição matemática dos tensores 1.3 Definição dos tensores 2. Álgebra tensorial 3. Tensores cartesianos em 2D simétricos 3.1 Derivação da lei de transformação para vectores 3.2 Lei de transformação para tensores de segunda ordem 3.3 Valores próprios 3.4 Circunferência de Mohr 3.4.1 Convenções e consequências 3.4.2 Determinação dos valores e das direcções principais 3.4.3 Determinação das componentes para uma rotação arbitrária 3.4.4 Determinação do referencial ligado a componentes especificadas 3.5 Verificações dos valores principais 3.6 Determinação das componentes sabendo valores em 3 direcções 4. Tensores cartesianos em 3D simétricos 4.1 Valores e vectores próprios ou valores e direcções principais 4.2 Determinação e propriedades 4.3 Casos particulares 4.4 Valores extremos fora de diagonal 4.5 O tensor de inércia 5. Análise tensorial

1. Quantidades físicas 1.1 Tipos das quantidades físicas Escalares Vectores Tensores de segunda ordem ... Tensores de ordem zero Tensores de primeira ordem Escalares 1 dado é suficiente para a descrição completa Exemplos: temperatura, massa, densidade, tempo

Vectores É preciso 3 dados para a descrição completa Exemplos: força, deslocamento, velocidade, aceleração O vector é plenamente determinado quando sabemos: Representação geométrica Sentido Ponto de aplicação Direcção Intensidade direcção intensidade sentido

Tensores de segunda ordem Neste caso falou-se de um vector livre, ou seja de um vector no sentido matemático Da disciplina Estática já sabemos que de acordo com a aplicação particular é preciso distinguir vectores de 3 tipos Livre (exemplo: vector associado a um binário) Deslizante ou seja fixo à sua linha de acção (exemplo: força na mecânica dos corpos rígidos) Fixo ou seja fixo ao ponto de aplicação (exemplo: força na mecânica dos corpos deformáveis) Tensores de segunda ordem É preciso 9 dados para a descrição completa Exemplo: tensão, deformação, tensor de momentos de inércia O tensor de segunda ordem é plenamente determinado no ponto P quando sabemos 3 vectores de pontos de aplicação P, actuantes Em 3 planos diferentes, não paralelos, que se intersectam no P Tensores de quarta ordem Exemplo: tensor de rigidez e de flexibilidade Representação geométrica dos tensores ... mais tarde de acordo com o significado físico

1.2 Descrição matemática dos tensores A descrição matemática dos tensores baseia-se em componentes Para poder definir as componentes, é preciso definir o espaço e o referencial Espaço Espaço de Euclid: 1D, 2D, 3D Também chamado espaço cartesiano 1D – espaço dos números reais mD – espaço de combinações de m números reais Euclid (ca. 325-ca. 270 BC) Número de componentes necessárias para a descrição completa dos tensores: 3n em 3D 2n em 2D onde n corresponde à ordem do tensor

Sistema de coordenadas ou referencial Referencial cartesiano: Três eixos rectos mutuamente perpendiculares É preciso introduzir para poder efectuar representações geométricas É definido pela origem 0 e pelos vectores base Vectores base têm a norma unitária Permutação positiva René Descartes (1596-1650) Nas nossas aplicações sempre directo Verificação de acordo com a regra da mão direita Dedos de x para y Polegar mostra orientação positiva de z Dedos de y para z Polegar mostra orientação positiva de x Dedos de z para x Polegar mostra orientação positiva de y

Vectores Vector tem componentes Representação geométrica Representação matemática matricial vectorial

Tensores de segunda ordem Representação matemática das componentes na forma matricial 2D 3D Representação geométrica mais tarde de acordo com o significado físico

Para quantidades físicas as componentes são números e são relacionadas a uma dada posição (ponto) Quando as quantidades físicas são “funções” de posição, chamamos-lhes Campos físicos ; temos assim: Campo escalar Campo vectorial Campo tensorial de segunda ordem ... Exemplo: campo vectorial tem componentes 1.3 Definição dos tensores A quantidade física chama-se tensor quando as suas componentes obedecem a lei de transformação. Esta lei descreve cálculo das componentes no referencial transformado Tensores cartesianos Tensores cartesianos são tensores definidos no referencial cartesiano, consequentemente a lei de transformação é especificada apenas no referencial cartesiano e representa a rotação do referencial

2. Álgebra tensorial Coincide com o cálculo matricial e vectorial até tensores de segunda ordem Tensores cartesianos de segunda ordem Tensor simétrico Tensor antisimétrico A propriedade mantém-se, qualquer que seja o referencial Cada tensor pode ser escrito como soma da sua parte simétrica e antissimétrica Cada tensor pode ser escrito como soma da sua parte esférica (isotrópica, volúmica) e desviatórica (tangencial); usa-se para tensores simétricos Valor médio

3. Tensores cartesianos em 2D simétricos 3.1 Derivação da lei de transformação para vectores Introduz-se a rotação do referencial 0xy para 0x’y’ e calculam-se as componentes no referencial rodado Matriz de transformação ou de rotação linha coluna

Componentes dos vectores base do novo referencial, ou seja os cosenos directores dos versores dos eixos rodados formam as linhas da matriz é matriz ortogonal Algumas propriedades da matriz ortogonal : Quando a rotação se efectua do referencial direito para o direito o determinante é positivo Outras propriedades das matrizes ortogonais: Produto interno das linhas ou colunas iguais (diferentes) equivale a 1 (0)

3.2 Lei de transformação para tensores de segunda ordem A prova será dada no Cap. Tensão para se poder usufruir o significado físico Nota: Tensores de ordem maior É preciso usar designação indicial que não será dada Voltando aos tensores de segunda ordem e desenvolvendo as multiplicações, as componentes no referencial rodado escrevem-se:

Usando funções trigonométricas de ângulos duplos, igualmente: Verifica-se, que existe uma rotação do referencial original de tal maneira que os novos valores diagonais corresponderão ao máximo e ao mínimo de todos os possíveis valores diagonais e que para esta rotação a componente fora de diagonal anula-se 3.3 Valores próprios O máximo e o mínimo dos valores diagonais chamam-se valores próprios A resolução pode ser facilmente exprimida analiticamente e determinada de três maneiras equivalentes: 1. Analogamente como em 3D (veja nos acetatos posteriores) 2. Encontrar o máximo e o mínimo dos valores diagonais 3. Encontrar a rotação para a qual

Usando o ponto 2: Igualmente para Usando o ponto 3: Substituindo pelo nas equações das componentes rodadas, conclui-se, que:

O que significa que as componentes no referencial principal são Depois de terminar os cálculos é preciso decidir qual dos eixos rodados corresponde ao eixo do máximo e qual ao eixo mínimo. Pode-se provar uma regras simples desenhada na figura ao lado. Os eixos do máximo e do mínimo definem o referencial principal. O que significa que as componentes no referencial principal são ou

3.4 Circunferência de Mohr Pela substituição verifica-se facilmente: Relações em cima são equações de uma circunferência o que significa que As componentes de um tensor, relacionadas a todas as possíveis rotações do referencial original formam uma circunferência e raio quando desenham-se no eixo horizontal e no eixo vertical de centro Cristian Otto Mohr (1835-1918)

Cada ponto tem apenas duas coordenadas, por isso a abcissa corresponde a e a ordenada a Os valores principais visualizam-se no diâmetro principal, dado que neste caso a componente fora da diagonal é igual a zero e as componentes normais atingem o máximo e o mínimo; este facto não está influenciado pelo referencial inicial Torna-se útil introduzir a designação seguinte: A faceta e a normal à faceta A faceta e a normal à faceta são mutuamente perpendiculares A faceta corresponde a uma recta (“um corte”) onde “actuam” duas componentes do tensor considerado: a componente normal (diagonal, que tem o mesmo índice como a normal à faceta) e a componente tangencial (fora da diagonal, que tem dois índices)

Componente tangencial, Cada ponto da circunferência corresponde às componentes intrínsecas do vector na faceta correspondente Componente normal, diagonal Componente tangencial, fora da diagonal Facetas positivas Facetas negativas o 1 índice da componente tangencial corresponde à normal, o 2 à direcção Esta representação geométrica será igual para o tensor das tensões, mas diferente para o tensor das deformações Componentes tangenciais apontam para os quadrantes positivos

3.4.1 Convenções e consequências Assumindo que o referencial original é principal, ou seja que: e introduzindo a rotação negativo

As componentes do tensor para a mesma rotação visualizam-se nos pontos opostos do diâmetro. (x’) designa componentes na faceta de normal x’ e (y’) designa componentes na faceta de normal y’ Define-se Faceta (x): faceta de normal que coincide com o eixo coordenado x Faceta (y): faceta de normal que coincide com o eixo coordenado y A rotação na circunferência faz-se pelo dobro do ângulo de rotação dos eixos uma rotação de 90º faz-se na CM de 180º o que troca a posição (x´) e (y’) uma rotação de 180º faz-se na CM de 360º e não altera nada consequentemente o sentido dos eixos nesta representação é indiferente A convenção dos sinais Para se manter o mesmo sentido de rotação para ponto (x) ou (x’) a ordenada vertical tem sentido oposto (para baixo) para ponto (y) ou (y’) a ordenada vertical tem sentido habitual (para cima) as componentes normais desenham-se na convenção habitual

Convenção alternativa Orientação das componentes tangenciais determina a posição do ponto na circunferência de Mohr indiferentemente do referencial horário, negativo anti-horário, positivo

3.4.2 Determinação dos valores e das direcções principais o referencial original componentes positivas Valores fora da diagonal, tangenciais Valores diagonais, normais Sentido de rotação Justificação das fórmulas

Correspondência com a origem do referencial Valores fora da diagonal, tangenciais Valores diagonais, normais

Propriedades das circunferências conhecidas do ensino secundário Achar centro de uma circunferência sabendo 3 pontos que pertencem a esta circunferência

3.4.3 Determinação das componentes para uma rotação arbitrária componentes positivas Valores diagonais, normais Valores fora da diagonal, tangenciais

3.4.4 Determinação do referencial ligado a componentes especificadas componentes positivas Valores diagonais, normais Valores fora da diagonal, tangenciais

3.4.5 Rotações de 45º a partir do referencial principal R = máximo da componente fora da diagonal, neste caso as componentes diagonais não se anulam, ambas têm o valor Tm

Referencial principal 3.5 Verificações dos valores principais Depois da resolução dos valores principais convém verificar os invariantes Invariantes Escalares que não alteram o seu valor com a rotação do referencial são invariantes fundamentais, também chamados invariante linear e quadrático todos os outros invariantes podem-se exprimir em termos de valores próprios são igualmente invariantes Invariantes Referencial original Referencial principal

3.6 Determinação das componentes sabendo valores em 3 direcções Cada tensor tem 3 componentes, por isso cada 3 valores, mesmo de referenciais diferentes, permitem sempre determinar as componentes. O caso em baixo tem uma aplicação útil nas medições de deformações e além disso permite uma resolução gráfica simples Sabemos: , incógnitas: O referencial introduzido é arbitrário, convém fazê-lo na forma mais vantajosa Resolver

a recta com ponto arbitrário Resolução gráfica arbitrário Esboço dos eixos na posição original Desenho auxiliar a recta com ponto arbitrário está na vertical Prova

Esboço dos eixos na posição original arbitrário

4. Tensores cartesianos em 3D simétricos 4.1 Valores e vectores próprios ou valores e direcções principais Definição matemática (Eq. 1) (Eq. 1) corresponde a 3 equações algébricas lineares homogéneas A solução não trivial para {v} existe apenas quando Os números λ que asseguram a nulidade do determinante chamam-se valores próprios ou principais Substituindo valor próprio pelo λ, (Eq. 1) tornam-se linearmente dependentes e por isso o número das soluções para componentes {v} é infinito As soluções não triviais para {v} chamam-se vectores ou direcções próprios ou principais

4.2 Determinação e propriedades Valores principais são reais (pode-se provar devido a simetria do tensor) são 3, contudo podem ser múltiplos calculam-se como raízes de equação característica são invariantes fundamentais, também chamados invariante linear, quadrático e cúbico todos os outros invariantes podem-se exprimir em termos de valores próprios são igualmente invariantes

Cálculo das raízes da equação característica: Forma canónica de matriz de componentes Valores próprios correspondem às componentes do tensor relacionadas a um referencial, relativamente a qual todas as componentes fora de diagonal se anulam e os valores próprios visualizam-se na diagonal O máximo dos valores próprios é o máximo de todas as componentes na diagonal, qualquer que seja o referencial O mínimo dos valores próprios é o mínimo de todas as componentes Direcções principais A rotação do referencial ou seja o referencial novo mencionado acima está definido pelos vectores próprios

Depois de calcular valores próprios, usa-se o sistema de equações (Eq Depois de calcular valores próprios, usa-se o sistema de equações (Eq. 1) com cada um valor próprio substituído para calcular o vector próprio correspondente Quando valores próprios são diferentes, a cada um correspondem infinitas soluções do vector principal correspondente, que formam uma única direcção no espaço. Assumindo o vector normalizado, existem apenas duas soluções que diferem pelo sentido. Pode-se dizer que existem apenas 3 vectores próprios normalizados, unicamente definidos excepto do sentido, mutuamente perpendiculares. Estes vectores definem o novo referencial, relativamente a qual a matriz de componentes é diagonal, ou seja relativamente a qual as componentes do tensor são valores próprios A solução é única, por isso encontrando a matriz de coeficientes diagonal, pode-se concluir que o referencial é formado pelos vectores próprios e que os valores na diagonal são principais, um deles máximo e um deles mínimo A matriz de transformação de base [B] tem colunas formadas pelos vectores próprios normalizados, ou seja a matriz de transformação [R] tem linhas formadas pelos vectores próprios normalizados, para assegurar que o referencial novo será direito, é preciso ter o det([B])=1

4.3 Casos particulares Valor duplo No caso particular da figura ao lado, vectores (2) e (3) não são unicamente definidos. Todos os vectores que satisfazem a Eq. (1) com o valor λ2= λ3 substituído, formam um plano, cuja normal coincide com a direcção (1) Valor triplo qualquer direcção é principal, a matriz de componentes inicial já é diagonal com valores iguais Simplificação para o caso 2D É possível sempre quando se anulam as componentes fora de diagonal Já é valor principal Vector principal correspondente:

Verificações Depois da resolução dos valores e direcções principais convém verificar os invariantes e a ortogonalidade de vectores próprios Invariantes no referencial principal 4.4 Valores extremos fora de diagonal Círculo de Mohr Usando as conclusões de 2D Círculos fundamentais

Nota sobre 2D O procedimento de cálculo poderá ser feito de maneira análoga como em 3D 4.5 O tensor de inércia Justificação da posição dos eixos principais 5. Análise tensorial Análise dos campos tensoriais derivadas, teoremas integrais, etc...