Introdução à Nanotecnologia Introdução à Mecânica Quântica Dualidade onda-partícula “Não leve essa aula muito a sério… apenas relaxe e desfrute dela. Vou contar para vocês como a natureza se comporta. Se você admitir simplesmente que ela tem esse comportamento, você a considerará encantadora e cativante. Não fique dizendo para si próprio: “Mas como ela pode ser assim?” porque nesse caso você entrará em um beco sem saída do qual ninguém escapou ainda. Ninguém sabe como a natureza pode ser assim”. Richard Feynman (1918-1988) Prêmio Nobel de Física 1965

1.1 - A mecânica dos objetos microscópicos Mecânica clássica - Mecânica dos objetos macroscópicos: Leis de Newton. Partículas ou corpúsculos. Física corriqueira, intuitiva. Física das ondas: Ondas sonoras, eletromagnéticas. Difração e interferência. Mecânica quântica: Mecânica dos objetos microscópicos (átomos e elétrons, por exemplo). Se comportam em muitas situações como partículas e em outras como ondas. Mecânica quântica: teoria abstrata ou aplicada? Invenções que só foram possíveis por causa da mecânica quântica: computador, laser, energia nuclear, imagens de ressonância magnética, etc. Em 2000, a revista Scientific American estimou que 1/3 do produto interno bruto dos EUA estava ligado à mecânica quântica!

1.2 - A experiência de fenda dupla com projéteis http://www.physik.uni-muenchen.de/didaktik/Computer/Doppelspalt/dslit.html Descrição Simulação Projéteis chegam em pacotes idênticos Projéteis não apresentam interferência

P1 P12 P2 http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/DoubleSlit/DoubleSlit.html

1.3 - A experiência de fenda dupla com ondas Detetor móvel I1 I12 Fonte I2 Anteparo x x Ondas podem ter qualquer intensidade: contínua, não discreta. Ondas mostram interferência:

Interferência construtiva (=0): Casos especiais: Interferência construtiva (=0): Interferência destrutiva (=): x d1 1 d2 2

Elétrons chegam em pacotes idênticos: são como “bolinhas”! 1.3 - A experiência de fenda dupla com elétrons Supondo que o impacto de um elétron no detetor produza um som de “clique”: Todos os “cliques” são idênticos. Os “cliques” acontecem de forma bastante errática. O instante de chegada dos elétrons parece ser imprevisível. Nunca escutamos dois “cliques” simultaneamente, ou seja, os elétrons chegam um de cada vez. Elétrons chegam em pacotes idênticos: são como “bolinhas”! Podemos medir a probabilidade ou taxa média de chegada do elétron em uma certa posição x. Simulação

Elétrons apresentam interferência!!! Detetor móvel P1 P12 Fonte de elétrons P2 Para elétrons: Anteparo x x Decididamente, elétrons NÃO são como “bolinhas”…

Resumo Projéteis chegam em pacotes idênticos e não apresentam interferência: Ondas podem ter qualquer intensidade e apresentam interferência: Elétrons chegam em pacotes idênticos e apresentam interferência! Dualidade onda-partícula: Elétrons às vezes se comportam como ondas, outras vezes como partículas

1.4 - A luz como partícula: O Efeito Fotoelétrico Hertz (1886) Millikan (1914) Nobel 1923 Lenard Corrente vs. voltagem para luz de mesma frequência mas intensidades diferentes Elétrons são emitidos com energia cinética máxima: Potencial de retardo ou potencial de corte

Problemas com a teoria clássica: V0 em função da frequência da luz  Problemas com a teoria clássica: Intensidade: Energia máxima dos elétrons emitidos deveria depender da intensidade da onda eletromagnética. Frequência: Efeito fotoelétrico deveria ocorrer para qualquer frequência. Tempo de atraso: Para luz suficientemente fraca, o elétron só poderia ser emitido quando acumulasse energia suficiente da onda, que deveria ser absorvida de forma contínua. Nenhum tempo de atraso jamais foi detectado. V0 0 Frequência de corte  Tmax = 0 , elétrons não são mais arrancados do eletrodo

A hipótese do fóton - Albert Einstein, 1905 (Nobel 1921) Energia da luz é quantizada em “pacotes” (fótons) de valor E = h, onde h = 6,63×10-34 J.s é a constante de Planck O fóton carrega também momento linear: Energia é transferida de forma discreta, através de processos individuais de colisões entre 1 fóton e 1 elétron W W W : função trabalho (propriedade do material)

Inclinação da reta fornece a constante de Planck! Fótons com energia h < W não vão conseguir arrancar elétrons do metal: h 0= W V0 Inclinação da reta fornece a constante de Planck! Millikan obteve h = 6,57×10-34 J.s 0 

Aplicação: célula fotoelétrica

1.4 – Ondas de matéria Como obter P12? Use a matemática das ondas! Associar uma onda ao elétron: Louis de Broglie (Tese de Doutorado, 1924; Nobel 1929) Mesmas relações sugeridas por Einstein para fótons: Exemplo: elétron com energia cinética de 100 eV, qual o comprimento de onda?

Verificação experimental: difração de elétrons por cristais (Davisson-Germer e Thomson, 1927; Nobel 1937) Microscopia eletrônica de transmissão de alta resolução Davisson Thomson “J. J. Thomson (pai) mostrou que o elétron é uma partícula, G. P. Thomson (filho) mostrou que o elétron é uma onda” Nanopartícula de CdSe

Por que as propriedades ondulatórias da matéria não são notadas no dia-a-dia? Problema: qual o comprimento de onda de um objeto de 1 kg movendo-se a 10 m/s?

Os Postulados da Mecânica Quântica 2.1 – A Função de Onda Uma partícula quântica é descrita por uma função de onda (r,t), que: Contém toda a informação sobre a dinâmica da partícula É uma função complexa É unívoca, finita e contínua Tem derivadas unívocas, finitas e contínuas

(Na maior parte dos exemplos, vamos nos restringir a uma dimensão, por simplicidade) Exemplo: partícula livre (não sofre a ação de forças). Momento linear é constante. Função de onda deve reproduzir os postulados de de Broglie:

Interpretação probabilística da função de onda Max Born 1926 (Nobel 1954) Se, no instante t, é feita uma medida da localização da partícula associada à função de onda (x,t), então a probabilidade P (x,t)dx de que a partícula seja encontrada entre x e x+dx é igual a *(x,t) (x,t)dx. Note que P (x,t) é real e não-negativa, como toda probabilidade… “Deus não joga dados com o universo” (Albert Einstein) “Einstein, pare de dizer a Deus o que fazer” (Niels Bohr)

V(x,t): energia potencial 2.2 – A Equação de Schroedinger (Schroedinger 1926, Nobel 1933) V(x,t): energia potencial

Relação de dispersão  (k) Exemplo: partícula livre (V=0)

2.3 – Operadores Quânticos A cada grandeza física corresponde um operador matemático, que opera na função de onda. Quando aplicamos um operador a  e obtemos de volta a própria  multiplicada por uma constante, diz-se que  é uma autofunção do operador, com autovalor igual à constante obtida. Quando isso acontece, diz-se que a grandeza física associada tem valor bem definido, com incerteza nula. Assim, a  da partícula livre é uma autofunção do operador momento, com autovalor ħk.

A  da partícula livre também é uma autofunção do operador energia, com autovalor ħ.

Note que a equação de Schroedinger pode ser escrita em termos dos operadores:

2.4 – Valores Esperados Em geral, o resultado de uma medida de uma certa grandeza física tem uma natureza aleatória: não pode ser previsto com total certeza. Pergunta: qual o valor esperado ou valor mais provável (do ponto-de-vista estatístico) do resultado de uma medida?

2.5 – A Equação de Schroedinger independente do tempo

Exemplos de aplicação da Equação da Schroedinger em 1D 3.1 – Partícula livre (revisão) k E Qualquer energia positiva é permitida (energia varia de forma contínua)

3.2 – Poço de potencial infinito V   Região proibida L x

n : número quântico  V x L Região proibida E1 E2 E3 n = 1 n = 2 n = 3 L  Região proibida E1 E2 E3 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4  (x)

Comentários de validade geral: Partículas que estão confinadas a uma região do espaço têm um espectro discreto de energias, ou seja, têm energias quantizadas Matematicamente, isto decorre das condições de contorno impostas nas extremidades (como numa corda vibrante) Quanto maior o número de zeros (nós) da função de onda, maior a energia do estado Exemplo em nanotecnologia: Poços quânticos semicondutores

Efeito túnel: Atravessando barreiras 3.3 – Potencial degrau, barreira de potencial e efeito túnel Efeito túnel: Atravessando barreiras P = 100 % Barreira 100% - P P < 100 %

Potencial degrau V V0 E E < V0 1 2 x

Encontrar B, C e D em termos de A

Barreira de potencial e Efeito Túnel V x V0  (x) Existe uma probabilidade de encontrar o elétron na região classicamente proibida V x  (x) a incidente refletido transmitido Se a barreira for suficientemente pequena (largura a) o elétron poderá ser transmitido (tunelar) com uma certa probabilidade: EFEITO TÚNEL Simulações: http://www.neti.no/java/sgi_java/WaveSim.html

“Efeito túnel” em ondas clássicas: Ondas evanescentes Reflexão interna total http://wwwhome.math.utwente.nl/~hammerm/Metric/Illust/parcoreM.html Acoplamento entre guias de onda

Aplicação em nanotecnologia: STM (scanning tunneling microscope) Visualização e manipulação de átomos

Heinrich Rohrer (à esquerda) e Gerd K. Binnig (direita), cientistas do IBM's Zurich Research Laboratory, na Suíça, receberam o Prêmio Nobel de Física de 1986 por seu trabalho no desenvolvimento do microscópio de varredura por tunelamento.

STM Visualizando átomos Superfície de Níquel Superfície de Silício (IBM Research Labs, California) Superfície de Silício (Naval Research Lab, Wash DC, USA)

Apresentação de Rodrigo Capaz Referências: “Materiais e Dispositivos Eletrônicos”, Sergio M. Rezende, Editora Livraria da Física – Seções 2.3, 2.4, 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4. “Física Quântica”, Eisberg e Resnick, Editora Campus - Seções 2.2, 2.3, 2.5, 2.4, Cap. 3, 5.1 a 5.5, 6.1, 6.2, 6.3, 6.5, 6.8 e 6.9 “Lectures on Physics”, Feynman, Vol. 1, Cap. 37 (interferência com fenda dupla) Problemas: Rezende 2.8, 2.9, 2.12, 2.13, 3.2, 3.6, 3.7. 3.9, 3.10 Reproduza os cálculos realizados nesta aula. Apresentação de Rodrigo Capaz