Aspectos Geométricos do Electromagnetismo Provas de Agregação: Lição de Síntese Carlos R. Paiva Professor Associado do IST IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Sumário da lição de síntese Equações de Maxwell e de Maxwell-Boffi: meios electromagnéticos Álgebra geométrica do plano euclidiano Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional Primeira formulação geométrica do electromagnetismo Meios anisotrópicos Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski Segunda formulação geométrica do electromagnetismo Efeito Doppler Meios em movimento IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Enquadramento e objectivos Esta lição insere-se no programa de Fotónica – disciplina do mestrado integrado em engenharia electrotécnica e de computadores do IST. Os alunos (hipotéticos) a que esta lição se destina são os alunos típicos de Fotónica. No entanto faz-se aqui uma síntese que seria – do ponto de vista pedagógico – demasiado concentrada para uma aula teórica normal dessa unidade curricular. Esta lição de síntese poderia, no entanto, ser utilizada após as aulas teóricas e práticas de Fotónica correspondentes a estes assuntos enquanto revisão de conjunto. Alternativamente constitui um seminário sinóptico sobre álgebra geométrica e suas aplicações em electromagnetismo, tendo em vista aplicações em óptica e fotónica. Abarcam-se, de uma forma integrada, dois capítulos de Fotónica: Os meios anisotrópicos; A óptica relativista. O tema central é a formulação geométrica do electromagnetismo através da linguagem matemática das álgebras geométricas (de Clifford) em duas abordagens: Primeira parte – na álgebra geométrica do espaço tridimensional euclidiano; Segunda parte – na álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski. Além do objectivo explícito de ensinar as matérias referidas, existe (em paralelo) um objectivo implícito: adopta-se uma formulação que é independente de qualquer sistema particular de coordenadas. Trata-se, portanto, de uma perspectiva sintética, que trata os objectos geométricos de forma abstracta – por oposição a uma perspectiva estritamente algébrica, reduzida à simples manipulação das respectivas componentes. IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Equações de Maxwell e equações de Maxwell-Boffi (1) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Equações de Maxwell e equações de Maxwell-Boffi (2) Nas equações de Maxwell-Boffi apenas aparecem os campos eléctrico e magnético. Ignoram-se os campos auxiliares de excitação (eléctrica e magnética). Todas as fontes do campo electromagnético (quer as livres quer as ligadas entre si e que constituem os «materiais») são tidas em consideração. Nas equações de Maxwell aparecem, além dos campos principais (eléctrico e magnético), os campos auxiliares de excitação (eléctrica e magnética). As únicas fontes do campo electromagnético são as cargas livres (em repouso ou em movimento). As equações de Maxwell-Boffi ignoram a existência de meios materiais: o único meio é o vácuo. Os meios materiais são estranhos à ontologia destas equações. Trata-se de uma perspectiva reducionista; corresponde à visão fundamental da física teórica. As equações de Maxwell admitem a existência de meios materiais. Trata-se de uma perspectiva fenomenológica; corresponde à visão da engenharia electrotécnica e da física aplicada. É esta a perspectiva aqui adoptada. IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra vectorial de Gibbs IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra Geométrica do Plano Euclidiano Parte I Álgebra Geométrica do Plano Euclidiano IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do plano euclidiano (1) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do plano euclidiano (2) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do plano euclidiano (3) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do plano euclidiano (4) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do plano euclidiano (5) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do plano euclidiano (6) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do plano euclidiano (7) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do plano euclidiano (8) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra Geométrica do Espaço Tridimensional Euclidiano Parte II Álgebra Geométrica do Espaço Tridimensional Euclidiano IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Os quaterniões de Hamilton IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (1) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (2) Nota: O produto externo exige uma métrica. IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (3) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (4) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (5) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (6) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Primeira formulação geométrica do electromagnetismo (1) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Primeira formulação geométrica do electromagnetismo (2) Nota: Doravante, para simplificar a escrita das equações, omite-se o índice «0». Trabalha-se, portanto, com amplitudes complexas. IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Primeira formulação geométrica do electromagnetismo (3) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (1) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (2) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (3) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (4) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (5) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Propagação de ondas electromagnéticas em cristais não-magnéticos IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Propagação de ondas electromagnéticas em cristais uniaxiais (1) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Propagação de ondas electromagnéticas em cristais uniaxiais (2) ordinária onda extraordinária IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra Geométrica do Espaço-Tempo Plano de Minkowski Parte III Álgebra Geométrica do Espaço-Tempo Plano de Minkowski IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Postulados de Einstein e métrica de Lorentz (1) P1: Todos os referenciais de inércia são equivalentes. P2: A velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais de inércia. IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Espaço quadrático que modela o espaço-tempo de Minkowski (1) O espaço-tempo de Minkowski é o modelo físico do espaço quadridimensional (plano) onde têm lugar os acontecimentos da teoria da relatividade restrita. IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Espaço quadrático que modela o espaço-tempo de Minkowski (2) Um espaço linear (ou vectorial) dotado de uma forma quadrática diz-se um espaço quadrático. IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (1) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (2) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (3) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (4) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (5) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (6) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (7) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Diagramas de Minkowski (1) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Diagramas de Minkowski (2) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (1) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (2) Os bivectores de Faraday e de Maxwell são os bivectores fundamentais do campo electromagnético descrito no espaço-tempo de Minkowski. Os quatro bivectores que entram na composição desses dois bivectores fundamentais são bivectores auxiliares e correspondem aos vectores usuais do electromagnetismo no espaço tridimensional euclidiano. Os dois bivectores fundamentais representam o campo electromagnético de forma independente do observador considerado. Os bivectores auxiliares, porém, dependem do observador considerado. A descrição baseada nos bivectores fundamentais é, deste modo, superior à descrição do electromagnetismo no espaço tridimensional euclidiano. IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (3) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (4) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (5) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Efeito Doppler (1) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Efeito Doppler (2) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Meio isotrópico simples no espaço-tempo de Minkowski IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Meio isotrópico simples em movimento (1) Um meio isotrópico simples (assim classificado no seu referencial próprio) é, do ponto de vista do laboratório (onde é visto em movimento), como um meio bianisotrópico. IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Meio isotrópico simples em movimento (2) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Meio isotrópico simples em movimento (3) IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese

Comentários finais O estudo dos meios anisotrópicos (e bianisotrópicos) ganha uma nova formulação, mais geométrica, através da álgebra linear no âmbito da álgebra geométrica do espaço tridimensional (linear algebra done right). A óptica relativista e a teoria do electromagnetismo revelam a sua verdadeira estrutura no quadro do espaço quadridimensional de Minkowski através da álgebra geométrica do espaço-tempo (spacetime algebra). Em ambos os casos a álgebra geométrica conduz a uma formulação independente de qualquer sistema de coordenadas – o que permite: Maior generalidade e maior flexibilidade. Uma libertação da física aplicada em relação à álgebra vectorial de Gibbs, na qual o tempo é necessariamente tratado de forma separada do espaço (como um add on). Uma linguagem apropriada para a formulação sintética da álgebra linear onde determinantes e operadores lineares são analisados de forma independente da linguagem matricial que os prende, necessariamente, a sistemas particulares de coordenadas. Ao contrário do que defende Hestenes, uma formulação pré-métrica da electrodinâmica clássica tem de recorrer às formas diferenciais e não à álgebra geométrica pois esta última tem um métrica built in. IST, 1 de abril de 2017 Lição de Síntese