Universidade da Beira Interior AULA 11 MODELAÇÃO BIDIMENSIONAL DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE CHEIA COM FRENTE ABRUPTA João Leal (UBI) 2006 IST, Lisboa

MODELO CONCEPTUAL (morfodinâmico) Universidade da Beira Interior MODELO CONCEPTUAL (morfodinâmico) Depth average theory NOTA:

EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO Variáveis dependentes Universidade da Beira Interior EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO MORFODINÂMICO Vectores de fluxo Variáveis dependentes Variáveis dependentes Termos de fonte cota da sup. livre caudal mássico por unidade de largura cota do fundo equivalente aos sedimentos acumulados na coluna de água

Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK O esquema (MacCormack, 1969) foi desenvolvido e implementado no âmbito da dinâmica de gases. A sua facilidade de implementação aliada a uma precisão de segunda ordem faz com que seja um dos esquemas mais utilizados na modelação numérica de ondas de cheia. O esquema numérico de MacCormack é explícito e constitui a variante de dois passos mais popular do esquema de Lax-Wendroff. Pertence à classe dos métodos de passo fraccionado (“fractional-step”) e garante uma aproximação de segunda ordem no tempo e no espaço.

ESQUEMA DE MACCORMACK 1D Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 1D Diferenças Finitas Previsão Correcção Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas, respectivamente, nos passos de previsão e de correcção

ESQUEMA DE MACCORMACK 1D Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 1D

ESQUEMA DE MACCORMACK 2D Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 2D Diferenças Finitas Previsão Correcção Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas, respectivamente, nos passos de previsão e de correcção e também nos fluxos segundo x (F) e segundo y (G)

ESQUEMA DE MACCORMACK 2D Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 2D

CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD De acordo com o teorema de Godunov, a utilização de um esquema de ordem superior à primeira produz oscilações espúrias na presença de descontinuidades. SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE RIEMANN esquema primeira ordem (Godunov) simula mal (“adoça”) as descontinuidades esquema de segunda ordem (MacCormack) Simula bem as descontinuidades mas apresenta oscilações numéricas

CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD A tentativa de eliminar as oscilações numéricas resultantes dos termos de ordem superior deu origem aos esquemas TVD que garantem que a variação total das sucessivas soluções numéricas não aumenta no tempo, ou seja, Esta propriedade garante que não se geram novos mínimos ou máximos locais e que os mínimos e máximos locais existentes não são decrescentes ou crescentes, respectivamente. esquema de MacCormack sem TVD esquema de MacCormack com TVD

CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Porém, o teorema não garante a unicidade da solução fraca obtida, podendo obter-se soluções sem significado físico (espúrias). Para que tal não aconteça é necessário garantir a satisfação da condição de entropia: esquema de MacCormack sem condição de entropia (choque não físico)

CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD A condição de entropia desenvolvida por Harten e Hyman (1983) escreve-se

ESTABILIDADE NUMÉRICA Universidade da Beira Interior ESTABILIDADE NUMÉRICA O esquema de MacCormack, tal como todos os esquemas explícitos, tem que verificar a condição de estabilidade de Courant-Friedrichs-Lewy. Esta condição impõe o tamanho dos passos de cálculo da seguinte forma: Passo de tempo Número de Courant Valor máximo das características no instante de tempo anterior

ESCOLHA DAS VARIÁVEIS DEPENDENTES Universidade da Beira Interior ESCOLHA DAS VARIÁVEIS DEPENDENTES Na resolução numérica de sistemas de equações às derivadas parciais em que a solução apresente descontinuidades (choques) é necessário ter em atenção que as variáveis dependentes devem ser escolhidas de forma ao sistema ser fisicamente conservativo. Note-se que para o sistema ser matematicamente conservativo bastará escreve-lo na forma conservativa Porém isso, por si só, não garante que o sistema é fisicamente conservativo.

Universidade da Beira Interior Exemplo: Eqs. de Saint-Venant 1D para canais horizontais prismáticos com secção rectangular e sem atrito variáveis conservativas variáveis primitivas NOTA: ambos os sistemas são matematicamente conservativos mas o segundo não é fisicamente conservativo.

Formulações conservativas VS. não-conservativas Universidade da Beira Interior Admitindo que a solução dos sistemas contém um choque Condições de Rankine-Hugoniot: são aplicáveis a soluções descontínuas de sistemas de leis de conservação hiperbólicos  com

Formulações conservativas VS. não-conservativas Universidade da Beira Interior Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema com variáveis conservativas 

Formulações conservativas VS. não-conservativas Universidade da Beira Interior Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema com variáveis primitivas 

Formulações conservativas VS. não-conservativas Universidade da Beira Interior facilmente se demonstra que CONCLUSÃO: Soluções numéricas baseadas nas variáveis primitivas dão velocidades dos choques erradas (menores do que a real), tanto mais erradas quanto maior for a força do choque

Universidade da Beira Interior Exemplo:

condição de entropia de Harten e Hymen Limitador de fluxo de Van Leer Universidade da Beira Interior MODELO NUMÉRICO conservação da massa da mistura Conservação da quantidade de movimento da mistura nas direcções x e y correção TVD aproximações de Roe condição de entropia de Harten e Hymen Limitador de fluxo de Van Leer conservação da massa de sedimentos viscosidade artificial de Jameson

VISCOSIDADE ARTIFICIAL Universidade da Beira Interior VISCOSIDADE ARTIFICIAL A introdução da viscosidade artificial no esquema de MacCormack traduz-se, tal como na metodologia TVD, na introdução de um termo de correcção que pode ser visto como um termo de dissipação artificial, mas ao contrário do TVD não é auto-adaptativo.

VISCOSIDADE ARTIFICIAL Universidade da Beira Interior VISCOSIDADE ARTIFICIAL viscosidade artificial de Jameson (1981)

TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE Universidade da Beira Interior TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE O tratamento dos termos de fonte é um aspecto fundamental na resolução numérica de equações. Existem duas formas de tratar os termos de fonte: i) aplicação de um esquema de divisão (“splitting”ou “pointwise approach”); ii) aplicação de um esquema “upwind”. No caso do esquema MacCormack a primeira alternativa é mais fácil de implementar, dado que a segunda é facilmente implementada em esquemas que usam discretização upwind do vector do fluxo, mas a sua aplicação a esquemas centrados não é trivial.

TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE Universidade da Beira Interior TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE Discretização de derivadas no termo de fonte Na discretização dos termos de fonte existe ainda outro problema relacionado com a existência de derivadas parciais, como sejam os declives do fundo zb/x e zb/y, que necessitam ser discretizadas Propõe-se uma discretização “upwind” de acordo com a do vector fluxo

CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA A resolução de um sistema de equações às derivadas parciais através da aplicação de um esquema numérico a um domínio de cálculo finito exige a formulação de condições iniciais e de fronteira, que definem o contorno desse domínio.

CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA O número de condições físicas iniciais ou de fronteira a ser especificado em cada ponto do contorno do domínio de cálculo deve ser igual ao número de características que “entram” nesse ponto O esquema MacCormak-TVD é “upwind” no tempo, pelo que em cada ponto do contorno referente às condições iniciais entram todas as características do sistema de equações. Assim, não são necessárias condições iniciais numéricas, adoptando-se condições iniciais físicas do tipo:

CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA No que respeita às condições físicas em cada fronteira, a situação não é tão simples como a das condições iniciais, pois o número de características que entra em cada ponto do contorno depende do facto de a fronteira se situar a montante ou a jusante, à esquerda ou à direita. As condições físicas devem ainda, em cada ponto do contorno, ser estabelecidas de acordo com o tipo de informação (fase sólida ou fase líquida) propagada pelas características que entram nesse ponto. Assim, tem que se ter em conta a variação das características com o número de Froude

CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Parede de montante: três condições físicas referentes às características positivas: 1 e 4, associadas à fase líquida, e 3, associada à fase sólida uma condição numérica associada a 2 Parede de jusante: uma condição física referentes à característica negativa: 2, associada à fase líquida três condições numéricas associadas a 1 , 3 e 4

CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Parede lateral esquerda: três condições físicas referentes às características positivas: 1 e 4, associadas à fase líquida, e 3, associada à fase sólida uma condição numérica associada a 2 Parede lateral direita: uma condição física referentes à característica negativa: 2, associada à fase líquida três condições numéricas associadas a 1 , 3 e 4

CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Parede que constitui o alargamento: três condições físicas referentes às características positivas: 1 e 4, associadas à fase líquida, e 3, associada à fase sólida uma condição numérica associada a 2

Universidade da Beira Interior Instalação Experimental Planta do canal localizado no LNEC

Universidade da Beira Interior Condições iniciais foram realizados 2 tipos de ensaios: fundo fixo e fundo móvel (areia e pedra-pomes) Fundo de areia (baixa mobilidade) Fundo de pedra-pomes (elevada mobilidade) diâmetro mediano, d = 0.8 mm densidade, s = 2.65 diâmetro mediano, d = 1.3 mm densidade, s = 1.40

Resultados experimentais Universidade da Beira Interior Resultados experimentais AREIA Vista frontal

Resultados experimentais Universidade da Beira Interior Resultados experimentais PEDRA-POMES Vista frontal

Resultados numéricos: Universidade da Beira Interior Resultados numéricos: Cota da sup. livre, zs Componentes da velocidade, u(x) and u(y) AREIA zs Vista lateral u(x) u(y) Planta Planta

Resultados numéricos: Universidade da Beira Interior Resultados numéricos: Cota da sup. livre, zs Componentes da velocidade, u(x) and u(y) PEDRA-POMES zs Vista lateral u(x) u(y) Planta Planta

Universidade da Beira Interior Resultados numéricos Cota da sup. livre, zs T = 20 Pedra-pomes Areia Os resultados numéricos ajustam-se bem aos observados experimentalmente: A reflexão na parede lateral origina um ressalto hidráulico. O ensaio com pedra-pomes apresenta uma propagação longitudinal mais lenta

Componentes da velocidade, u(x) e u(y) Universidade da Beira Interior Resultados numéricos Componentes da velocidade, u(x) e u(y) T = 20 Areia Pedra-pomes u(x) u(y) Existe uma zona de recirculação, mais nítida no ensaio com pedra-pomes. A propagação transversal é mais rápida no caso da pedra-pomes.