José Garcia Vivas Miranda Fractais I      José Garcia Vivas Miranda

1º Dia Era uma vez... Que são Fractais; Conceitos; Fractais e a Natureza; Monstros Matemáticos; Como construir-los; Como caracteriza-los; Índices Fractais;

Histórico ... final século XIX e inicio do XX, Henrí Poincaré abre um caminho comum entre o simples (previsível) e o complexo (caótico)... Dinâmicas simples poderiam gerar formas complexas. ... em paralelo, matemáticos como, Cantor, Peano, Hilbert iniciaram mudanças profundas nos conceitos de topologia, os “Monstros matemáticos”... ... Richardson em 1961 se pergunta: “Quanto mede um costa litorânea”... (exemplo da fronteira ES-PT). ... 1975 Mandelbrot junta tudo ecunha o termo FRACTAL

TÓPICOS Era uma vez... Que são Fractais; Conceitos; Fractais e a Natureza; Monstros Matemáticos; Como construir-los; Como caracteriza-los; Índices Fractais;

CONCEITOS Definições formais: Que são fractais CONCEITOS Definições formais: “Um objeto é considerado fractal quando sua dimensão de medida é maior que sua dimensão topológica e menor que sua dimensão de imersão” Hausdorff “Um fractal é uma figura feita de partes similares ao todo de alguma forma” Mandelbrot

Idéia de autosemelhança Que são fractais Idéia de autosemelhança

Semelhança entre escalas (autosemelhança) Que são fractais Semelhança entre escalas (autosemelhança) Cada tipo de árvore tem um padrão de autosemelhança próprio.

Autosemelhança em estruturas naturais Que são fractais Autosemelhança em estruturas naturais

Autosemelhança em estruturas naturais Que são fractais Autosemelhança em estruturas naturais

Fractais e a Natureza NATUREZA

Exemplo de autosemelhança Fractais e a Natureza Exemplo de autosemelhança

Fractais estão por todas as partes. Nuvens; Montanhas; Árvores; Fractais e a Natureza Fractais estão por todas as partes. Nuvens; Montanhas; Árvores; Pulmões; Rochas; Coração; Chuvas; Música; Estrelas; Passag. do Ferry; Ruídos; etc..

Porque a Natureza escolheu esta forma de estruturar-se ? Fractais e a Natureza Porque a Natureza escolheu esta forma de estruturar-se ? Para responder temos que conhecer os Monstros Matemáticos.

TÓPICOS Era uma vez... Que são Fractais; Conceitos; Fractais e a Natureza; Monstros Matemáticos; Como construir-los; Como caracteriza-los; Índices Fractais;

Monstros Matemáticos O Conjunto de Cantor

Monstros Matemáticos A Curva de Koch

Monstros Matemáticos A Curva de Peano

(F-F++F-F)- (F-F++F-F)++ (F-F++F-F)- (F-F++F-F) Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings. ‘F’ == Passo a frente ‘+’ == Gira a direita de um ângulo A ‘-’ == Gira a esquerda de um ângulo A Exemplo da curva de Koch F (F – F ++ F – F) (F-F++F-F)- (F-F++F-F)++ (F-F++F-F)- (F-F++F-F) ... Gerador ‘F’  “F-F++F-F” Ângulo de 60º.

- COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings. Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings. F - ++

Técnica da substituição de strings parte II Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings parte II (Os fantasmas) ‘F’ == Passo a frente ‘+’ == Gira a direita de um ângulo A ‘-’ == Gira a esquerda de um ângulo A ‘X’ == Não faz nada ‘Y’ == Não faz nada Exemplo do dragão FX F X + Y F + F (X + Y F +) + (- F X - Y) F + ... Gerador ‘F’  ‘F’ ‘X’  “X+YF+” ‘Y’  “-FX-Y” Ângulo de 90º.

Técnica da substituição de strings parte II Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings parte II (Os fantasmas) Exemplo do dragão

Técnica da substituição de strings parte III Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings parte III (As Arvores) Exemplo da Arvore ‘F’ == Passo a frente ‘+’ == Gira a direita de um ângulo A ‘-’ == Gira a esquerda de um ângulo A ‘X’ == Não faz nada ‘Y’ == Não faz nada ‘[‘ == Salva posição corrente. ‘]‘ == Recupera posição corrente. Gerador ‘F’  “FF-[-F+F+F+F]+[+F-F-F] Ângulo de 22º.

Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Exemplo da Arvore

Conceito de simples  complexo Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR OBSERVAÇÃO Não sei se deu para perceber, mas até aqui todos as figuras são, perfeitamente DETERMINÍSTICAS!!!! Conceito de simples  complexo de Poincaré

Incluindo aleatoriedade. Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Incluindo aleatoriedade. A curva de Koch aleatória Ângulos aleatórios.

Incluindo aleatoriedade. Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Incluindo aleatoriedade. Arvore aleatória Ângulos aleatórios.

TÓPICOS Era uma vez... Que são Fractais; Conceitos; Fractais e a Natureza; Monstros Matemáticos; Como construir-los; Como caracteriza-los; Índices Fractais;

CARACTERIZANDO L = N(e) e e N(e) L 1 0,5 2 0,25 4 0,125 8 N(e) = 1/e Monstros Matemáticos CARACTERIZANDO Qual o comprimento da curva de Koch ? Mas antes, o que é comprimento ? L = N(e) e Se medimos o N(e) para diferentes escalas: e N(e) L 1 0,5 2 0,25 4 0,125 8 N(e) = 1/e

Fazendo o mesmo para áreas... Dimensão Fractal Fazendo o mesmo para áreas... L = N(e) e 2 N(e) = 1/e2

N(e) = 1/e1.26 E para a Curva de Koch ? Dimensão Fractal Que utilizar? Segmentos ou ladrilhos? Se utilizamos segmentos e = 1, N(e) = 1 e N(e) L 1 0,333 4 1,3 0,111 16 1,8 0,037 64 2,4 e = 1/3, N(e) = 4 e = 1/9, N(e) = 16 e = 1/27, N(e) = 64

Topologicamente a curva de Koch esta entre uma reta e um plano. Dimensão Fractal Juntando tudo... Topologicamente a curva de Koch esta entre uma reta e um plano. Generalizando... N(e) = 1/eD onde D é a dimensão Fractal do objeto Este método é conhecido como contagem de caixas. (box counting)

Calcular a dimensão fractal de sua assinatura!!! Método de contagem de caixas Calcular a dimensão fractal de sua assinatura!!! Calcular a dimensão fractal de uma imagem (programa Robson).

Porque a Natureza escolheu esta forma de estruturar-se ? Dimensão Fractal Porque a Natureza escolheu esta forma de estruturar-se ? Resp.: Uma questão de economia!!

Conceito topológico de Dimensão Dimensão Fractal Conceito topológico de Dimensão “Um objeto é considerado fractal quando sua dimensão de medida é maior que sua dimensão topológica e menor que sua dimensão de imersão” Hausdorff

Calcular a dimensão fractal de uma bolinha de papel!!! Prática, Calcular a dimensão fractal de uma bolinha de papel!!!

Construir um novo Fractal! Dimensão Fractal Dever de casa, Construir um novo Fractal! Pensar em um método para calcular D para papeis rasgados.