ESTATÍSTICA

UDIII - Relação Entre Duas ou Mais Variáveis ESTATÍSTICA UDIII - Relação Entre Duas ou Mais Variáveis Ass 02: Regressão Múltipla

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Calcular a equação de regressão múltipla de Y sobe X e Z utilizando o critério dos mínimos quadrados Grafar a relação de Y para X quando se mantém constante Z Usar o plano de regressão para fazer predições

SUMÁRIO 1- Introdução 2. O Modelo de Regressão 3. O Plano Ajustado de Mínimos Quadrados

1. Introdução A regressão múltipla nada mais é do que a regressão simples quando se tem em conta mais de um fator X. É a técnica adequada quando desejamos pesquisar o efeito simultâneo de vários fatores sobre Y. A regressão múltipla reduz a tendenciosidade que se verificaria no caso de uma regressão simples que não levasse em conta fatores estranhos.

Exemplo: Suponhamos que as observações sobre fertilizante e safra já estudadas anteriormente tivessem sido feitas em sete postos agrícolas diferentes em todo o país. Mantidas que fossem as condições do solo e a temperatura, ainda poderíamos perguntar se parte da flutuação de Y não seria explicada pela variação do nível pluviométrico nas diferentes áreas. Poderemos fazer melhor previsão se levarmos em conta tanto o fertilizante como o nível pluviométrico. Assim é que a tabela 1, a seguir, dá os níveis pluviométricos observados, juntamente com as observações originais sobre a safra e fertilizante.

Observações sobre Safra,Fertilizante e Tabela 1 Observações sobre Safra,Fertilizante e Nível Pluviométrico Nível Pluviométrico (pols) Fertilizante (lb/acre) Safra (bu/acre) 40 50 70 65 80 100 200 300 400 500 600 700 10 20 30

a) Na figura a seguir, atribua a cada ponto seu nível pluviométrico Z a) Na figura a seguir, atribua a cada ponto seu nível pluviométrico Z. Então, considerando apenas os pontos com baixo nível pluviométrico (Z=10), ajuste a olho uma reta. Repita então o experimento para os pontos com nível pluviométrico moderado (Z=20), e, finalmente, para os pontos com alto nível pluviométrico (Z=30).

Fertilizante (lb/acre) Fig 1- Como a safra depende de duas variáveis (fertilizante X e nível pluviométrico Z) SOLUÇÃO Y X 100 200 300 400 500 600 700 80 70 60 50 40 30 Z=30 20 30 20 20 Safra (bu/acre) Z=10 10 Fertilizante (lb/acre)

b) Supondo agora constante o nível pluviométrico, estime qual seria o coeficiente angular da safra por libra adicional de fertilizante. Ou seja, qual seria o aumento de safra por libra adicional de fertilizante? Solução Note-se que o maior coeficiente angular na Fig.1 é 10/200=0,05 para a reta Z=10, enquanto que o menor coeficiente angular é 10/300=0,033 para a reta Z=30: em média, tais coeficientes são de cerca de 0,04 bushels por libra de fertilizante.

Fertilizante (lb/acre) Fig 2- Aumento de safra por libra adicional de fertilizante (Z constante) Y X 100 200 300 400 500 600 700 80 70 60 50 40 30 Z=30 20 30 20 20 Safra (bu/acre) Z=10 10 Maior b=10/200=0,05 Menor b=10/300=0,033 b médio= 0,04 bu/lb Fertilizante (lb/acre)

c) Mantido constante o fertilizante, estime o aumento de safra por polegada adicional de nível pluviométrico. Solução Mantenhamos constante o fertilizante, no centro dos dados, por exemplo onde X=400. Uma reta tracejada mostra a distância vertical entre a reta correspondente ao nível pluviométrico Z=10 e a reta correspondente a Z=30 – cerca de 15 bushels. Como este aumento de 15 bushels decorre de um aumento de 20 polegadas do nível pluviométrico, isto significa que a chuva aumenta a safra em cerca de 15/20 bushels por polegada de nível pluviométrico.

Fertilizante (lb/acre) Fig 3- Aumento de safra por polegada adicional de nível pluviométrico (X constante) Y X 100 200 300 400 500 600 700 80 70 60 50 40 30 Z=30 20 30 d=15 20 20 Safra (bu/acre) Z=10 10 Fertilizante (lb/acre)

d) Estime a safra no caso de o nível de fertilizante ser de 400 libras e o nível pluviométrico de 10 polegadas. Solução Na figura 1 utilizamos a reta correspondente a Z=10, no ponto onde X=400, obtendo uma safra = 55 bushels.

Fig 4- Estimativa da safra para X=400 libras e Z=10 polegadas Y X 100 200 300 400 500 600 700 80 70 60 50 40 30 Z=30 20 30 20 20 55 Z=10 10 X=400 lb; Z=10 pol Safra = 55 bu

Valor esperado de Y =  + X + Z 2. O Modelo de Regressão Devemos considerar agora a regressão da safra Y sobre duas variáveis independentes – fertilizante X e nível pluviométrico Z. Suponhamos que a relação seja da forma Valor esperado de Y =  + X + Z Geometricamente, esta equação é um plano tridimensional (Fig. 2)

Safra Y Y observado e Valor esperado de Y =  + X + Z Fertilizante X (X,Z) Nível Pluviométrico Z Fig.5 - Dispersão dos pontos observados em torno do verdadeiro plano de regressão

Naturalmente, a safra efetivamente observada é quase sempre diferente da previsão: a diferença é o erro aleatório. Assim, qualquer valor observado pode ser expresso como seu valor esperado mais um erro aleatório e : Y =  + X + Z + e Com as mesmas hipóteses sobre e do assunto anterior.

Y LZY LXY coef. ang.  coef. ang.   (intercepto) X Z Fig.6 - Um plano como malha de retas paralelas

 pode ser interpretado geometricamente como o coeficiente angular do plano quando nos deslocamos na direção X, mantendo Z constante. Costuma-se designar como efeito marginal do fertilizante X sobre a safra Y. Analogamente,  é o coeficiente angular do plano quando nos deslocamos na direção Z, mantendo X constante; é o efeito marginal de Z sobre Y.

2. O Plano Ajustado de Mínimos Quadrados Tal como na regressão simples, o problema é que o estatístico não conhece e verdadeira relação (o verdadeiro plano), devendo, por isso, ajustar um plano estimado, da forma a – intercepto do plano ajustado no eixo Y. b – coeficiente angular do plano ajustado, na direção de X com Z constante. c – coeficiente angular do plano ajustado, na direção de Z com X constante.

(Critério dos Mínimos Quadrados) Equações Estimadoras (Critério dos Mínimos Quadrados)

Cálculos para a Regressão Múltipla de Y sobre X e Z Tabela 2 Cálculos para a Regressão Múltipla de Y sobre X e Z Dados Desvios Produtos Y x X y Z z xy zy x2 z2 xz 10 20 30 40 50 70 65 80 100 200 300 400 500 600 700 -20 -10 10 5 20 -300 -200 -100 100 200 300 -10 10 6000 2000 1000 500 200 100 90000 40000 10000 100 3000 1000

Exemplo: Faça o gráfico da relação de Y para X dada por quando se mantém constante o nível pluviométrico em: i) Z=10; ii) Z=20; iii) Z=30 Solução:

Fertilizante (lb/acre) Fig.7 - A regressão múltipla ajusta os dados com retas paralelas Y X 100 200 300 400 500 600 700 80 70 60 50 40 30 Z=30 Z=20 Z=10 Safra (bu/acre) Fertilizante (lb/acre)

PRATIQUE COM OS EXERCÍCIOS . BOA SORTE!