PROF. ANDRÉ LUÍS MARQUES MARCATO E-mail: andre.marcato@ufjf.edu.br Introdução à Robótica PROF. ANDRÉ LUÍS MARQUES MARCATO E-mail: andre.marcato@ufjf.edu.br PPEE – Sala 206 – 2102 3460 Apresentação Número: 04 Cinemática Cinemática Direta Convenção de Denavit-Hartenberg

Cadeia Cinemática Cinemática Direta (1) Um manipulador é composto por uma série de corpos rígidos (elos ou links) conectados através de pares cinemáticos (juntas ou joints). Cadeia Cinemática

Cinemática Direta (2) A estrutura mecânica do manipulador é caracterizada por um número de graus de liberdade (degrees of freedom – DOFs) que determinam unicamente sua postura. Cada DOF é tipicamente associado a uma articulação e constitui uma variável junta. A idéia da cinemática direta é calcular o posicionamento completo do efetuador-final (ferramenta ou garra) como uma função de todas as variáveis junta.

Representação Convencional das Juntas

Exemplos de Juntas Industriais (1)

Exemplos de Juntas Industriais (2)

Descrição da Posição e Orientação da Ferramenta ne, se, ae são os vetores unitários do frame anexado à ferramenta. FRAME End-Effector Oe-xeyeze pe é o vetor posição da origem do frame anexado à ferramenta em relação a origem do frame de referência. FRAME Base Ob-xbybzb Teb é matriz de transformação unitária do end-effector em relação à base. q é o vetor (n x 1) das variáveis junta.

Convenção para Direcionamento do Oe Se a ferramenta for uma garra: a origem de Oe será no centro da garra o vetor unitário ae será escolhido na direção do objeto de abordagem o vetor unitário se é escolhido normal ao ae no plano das garras deslizantes o vetor unitário ne é escolhido normal aos outros dois (de forma que o frame Oe-xeyeze seja right-handed

Cinemática Direta (3) O primeiro passo para a realização da análise da cinemática direta de um manipulador é observar a sua estrutura.

Exemplo 2.4. (Braço Planar de Dois Elos)

Cadeia Aberta (1) Considere um manipulador em cadeia cinemática aberta, constituído por n+1 elos (links) conectados por n juntas (joints). O elo 0 é normalmente fixo (base). Será assumido que cada junta provê a estrutura mecânica com um grau de liberdade (correspondente à variável junta). Devem ser consideradas as relações cinemáticas entre cada conjunto de elos (links) consecutivos. Deve ser definido o sistema de coordenada anexado em cada link (0 até n). Então, a transformação de coordenadas descrevendo a posição e orientação do frame n em relação ao frame 0 é dada por:

Cadeia Aberta (2) Li-1 Ji Li J2 L1 Ji+1 L0 ou Base J1 Ln

Cadeia Cinemática Aberta (3) O cálculo da cadeia cinemática aberta é recursivo Este cálculo é implementado pelo produto simples das matrizes de transformação homogêneas, onde cada uma delas função de uma única variável junta.

Convenção de Denavit-Hartenberg Para calcular a equação cinemática direta para um manipulador em cadeia aberta, um método geral deve ser derivado para definir a posição e orientação de dois links consecutivos. O OBJETIVO É DETERMINAR DOIS FRAMES ANEXADOS A DOIS ELOS (LINKS) E CALCULAR A TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS ENTRE ELES

Convenção de Denavit-Hartenberg

Convenção de Denavit-Hartenberg Eixo da JUNTA conectando o ELO (i) com o ELO (i-1)

Convenção de Denavit-Hartenberg Passo 1: Escolha o eixo zi como sendo o eixo da junta (i+1) Passo 2: Localize a origem Oi na interseção do eixo zi com a normal comum entre os eixos zi e zi-1. Localize também a origem Oi’

Convenção de Denavit-Hartenberg

Definições não-únicas para o frame do elo CASO 1: para o frame 0, somente a direção do eixo z0 é especificada; logo O0 e x0 podem ser arbitrariamente escolhidos. CASO 2: Para o frame n, considerando que não existe a junta n+1, zn não é unicamente definido enquanto que xn deve ser normal ao eixo zn-1. Tipicamente, a junta n é de revolução o que faz com que o eixo zn esteja na mesma direção que zn-1. CASO 3: Quando dois eixos consecutivos são paralelos. A normal comum entre eles não é unicamente definida CASO 4: Quando dois eixos consecutivos se cruzam, a direção de xi é arbitrária CASO 5: Quando a junta i é prismática, a direção de zi-1 é arbitrária.

Parâmetros de Denavit-Hartenberg ai Distância entre Oi e Oi’ di Coordenada de Oi’ ao longo de zi-1 ai Ângulo entre os eixos zi e zi-1 sobre o eixo xi considerado positivo no sentido horário Ji Ângulo entre os eixos xi-1 e xi sobre o eixo zi-1 considerado positivo no sentido horário

Convenção de Denavit-Hartenberg Sempre Constantes: Dependem da Geometria do Manipulador Varia se a junta for prismática Varia se a junta for de revolução

Convenção de Denavit-Hartenberg Passo 1: Escolha o frame (i-1) Translade o frame escolhido ao longo do eixo zi-1 Rotacione o frame escolhido por Ji em torno do eixo zi-1

Convenção de Denavit-Hartenberg Passo 2: Translade o frame alinhado com i’ por ai ao longo do eixo xi’ Rotacione o frame escolhido por ai em torno do eixo xi’

Convenção de Denavit-Hartenberg Observe que a transformação do frame i para o frame i-1 é função somente da variável qi. qi é igual a Ji se a junta for de revolução qi é igual a di se a junta for prismática

Convenção de Denavit-Hartenberg Encontre e enumere consecutivamente os eixos das juntas; Defina as direções dos eixos z0, ..., zn-1 Escolha o frame 0, através da localização da origem sobre o eixo z0 e localização dos eixos x0 e y0 “right-handed”. Se possível, escolha o frame 0 coincidente com o frame base. Execute os sub-passos 1, 2, 3 para os frames i=1,..., n-1 Normal comum entre zi e zi-1, Oi. Se zi e zi-1 são paralelos e a junta i é de revolução: Posicione Oi de forma que di seja 0. Se a junta i é prismática, posicione Oi no limite mecânico. Escolha xi ao longo da normal comum, direção junta i para junta i+1 Escolha yi “right-handed”

Convenção de Denavit-Hartenberg Para Finalizar Escolha o frame n Se a junta n for de revolução, alinhe zn e zn-1 Se a junta n for prismática, escolha zn arbitrariamente xn e yn podem ser escolhidos de acordo com passo 3 Para i = 1, ..., n, construa uma tabela com os parâmetros ai, di, ai, Ji Baseado nos parâmetros definidos em 5, construa as matrizes de transformação homogênea: Calcule a transformação homogênea entre o frame n e o frame 0 Dado T0b e Ten, calcule a transformação homogênea entre a ferramenta e a base.

Braço Triplo Planar Frame 3 Link 3 Frame 2 Junta 3 Frame 1 Link 2

Braço Triplo Planar Considerando que todos os eixos de revolução são paralelos, a escolha mais simples para a direção de todos os eixos xi ao longo da direção dos links (x0 foi escolhido arbitrariamente). Todos eles no plano (x0,y0). Todos os parâmetros di são nulos e os ângulos entre os eixos xi, resultam diretamente nas variáveis junta. Os parâmetros DH são:

Braço Triplo Planar

Braço Triplo Planar