aplicações financeiras TEORIA DE GRAFOS & aplicações financeiras

CONCEITOS BÁSICOS: Grafo C Grafo orientado B D A

CONCEITOS BÁSICOS: H H Grafo não orientado ou digrafo Subgrafo Vértices adjacentes A Arestas adjacentes Laço H H Pseudografo B D Grau de um vértice Ponto isolado Arestas múltiplas Multigrafo E C Grafo conexo Grafo desconexo Componente Ponte G F

CONCEITOS BÁSICOS: A Caminho B D E C G F

CONCEITOS BÁSICOS: A Circuito B D C E G F

LEONHARD EULER (1707-1783)

CONCEITOS BÁSICOS: A Caminho de Euler B D C E G F

CONCEITOS BÁSICOS: A Circuito de Euler D C B

AS PONTES DE KÖNIGSBERG

SERÁ POSSIVÉL PERCORRER TODAS AS PONTES PASSANDO UMA ÚNICA VEZ POR CADA UMA DELAS? EULER PROVOU QUE NÃO

1º TEOREMA DE EULER Se um grafo possuir vértices de grau impar não possui nenhum circuito de Euler Se um grafo for conexo e todos os seus vértices forem de grau par então possui pelo menos um circuito de Euler

2º TEOREMA DE EULER Se um grafo possuir mais de dois vértices de grau impar então não possui nenhum caminho de Euler Se um grafo for conexo e possuir apenas dois vértices de grau impar então possui pelo menos um caminho de Euler.Qualquer que seja esse caminho ele terá de começar num desses vértices e terminar no outro

O número de vértices de grau impar tem de ser par 3º TEOREMA DE EULER A soma dos graus de todos os vértices de 1 grafo é igual ao dobro do seu número de arestas O número de vértices de grau impar tem de ser par

ALGORITMO Conjunto de regras mecânicas que, quando utilizadas correctamente, levam à resposta de um determinado problema

ALGORITMO DE FLEURY   Ver se o grafo é conexo e se todos os seus vértices são de grau par 1 2 Começar num vértice qualquer Percorrer uma aresta se : 3 Esta não for uma ponte para a parte não atravessada do grafo Não existir outra hipótese

ALGORITMO DE FLEURY Assinalar as arestas consoante a ordem com que forem percorridas 4 Quando não for possivel continuar, parar, o percurso esta terminado. 5

D E F P H O C I G N K L J M A B

D E D 6 E 5 F F 25 7 24 P H 19 P 18 H 4 3 8 2 O 11 O 12 C C I G I 23 G 15 16 K N K N 17 26 1 L 14 13 L J 20 J M M 22 9 10 21 A A B B

EULERIZAÇÃO DE GRAFOS

Como encontrar o percurso mais económico?? 6 vértices de grau ímpar A B C D E F G H I J K L Não tem nem caminho nem circuito de Euler

VÉRTICES DE GRAU Eulerização de grafos Como vamos fazer? PAR ÍMPAR A B H I J K L PAR Como vamos fazer? ÍMPAR

A B C D 7 arestas duplicadas E F G H 5 arestasduplicadas I J K L

TODOS OS VÉRTICES TÊM GRAU PAR B C D TODOS OS VÉRTICES TÊM GRAU PAR E F G H I J K L TEM UM CIRCUITO DE EULER

APLICANDO O ALGORITMO DE FLEURY, ENCONTRAMOS UM DOS MUITOS CIRCUITOS DE EULER SOBREPONDO O CIRCUITO AO GRAFO ORIGINAL A B C D A B C D E F H E F H G G L L I J I J K K

cicuito Caminho Semi-eulerização de grafos E A B C D H L K J I E F B C

CIRCUITO MAIS ECONÓMICO CAMINHO MAIS ECONÓMICO 1º-transformar os vértices de grau ímpar em vértices de grau par excepto 2 SEMI-EULERIZAR O GRAFO EULERIZAR O GRAFO 2º- Descobrir um circuito de euler no grafo eulerizado caminho 3º- sobrepor a este circuito o grafo original caminho

Exemplo:Recolha do lixo de um bairro

Exemplo:Recolha do lixo de um bairro O carro do lixo terá de repetir Algumas ruas já limpas Quantas? 9

Circuito (caminho ) de Hamilton Percorre todos os Vértices de um grafo Sem repetir nenhum

circuito de Euler Tem Não tem Não tem Tem Tem G A B circuito de Hamilton E C D F

Como sabemos se um grafo tem ou não um circuito (caminho) de Hamilton?

Por exemplo: etc Grafo com pontes Grafo completo bipartido n*n Tem circuitos Hamiltonianos Não tem nenhum circuito hamiltoniano etc

Grafos completos (n-1)! Circuitos hamiltonianos Grau de cada vértice: B Grau de cada vértice: n-1 E Nº total de arestas: C D Reportório completo de Circuitos Hamiltonianos (n-1)! Circuitos hamiltonianos

Fixando um vértice como referência,encontramos Todos os circuitos de Hamilton existentes no grafo A,B,C,D,A A,B,D,C,A A,C,B,D,A A,C,D,B,A A,D,B,C,A A,D,C,B,A B,C,D,A,B B,D,C,A,B B,D,A,C,B B,AC,D,B B,C,A,D,B B,A,D,C,B A B D C

Traveling Salesman Problems

Em que consiste este tipo de problemas? São essencialmente, problemas da vida real em que se pretende encontrar um percurso de menor valor

Exemplo1: “O problema das 5 cidades” 185€ 133€ B 152€ 200€ E 120€ 150€ 119€ 121€ 199€ C D 174€ Qual será a sequência menos expendiosa para o Sr.Francisco?

Exemplo 2: “Exploração do nosso sistema solar" Mimas Io 4.7 0.6 5.2 5.7 5.1 8.2 0.8 3.6 Titan 5.6 8.1 5.9 3.1 Callisto 1.1 1.5 3.2 Terra Ganymede Qual será o percurso mais curto?

Método1: Fazer uma lista de todos os circuitos possíveis; Calcular o custo total de cada circuito; Escolher o circuito com menor custo.

Tabela1: Circuito Custo total Imagem Hamiltoniano em espelho 1 A,B,C,D,E,A 185+121+174+199+133= 812 A,E,D,C,B,A 2 A,B,C,E,D,A 185+121+120+199+152= 777 A,D,E,C,B,A 3 A,B,D,C,E,A 185+150+174+120+133= 762 A,E,C,D,B,A 4 A,B,D,E,C,A 185+150+199+120+119= 773 A,C,E,D,B,A 5 A,B,E,C,D,A 185+200+120+174+152= 831 A,D,C,E,B.A 6 A,B,D,E,C,A 185+200+199+174+119= 877 A,C,E,D,B,A 7 A,C,B,D,E,A 119+121+151+199+133= 722 A,E,D,B,C,A 8 A,C,B,E,D,A 119+121+200+199+152= 791 A,D,E,B,C,A 9 A,C,E,B,D,A 119+174+150+200+133= 776 A,D,B,E,C,A 10 A,C,E,B,D,A 119+120+200+150+152= 741 A,D,B,E,C,A 11 A,D,B,C,E,A 152+150+121+120+133= 676 A,E,C,B,D,A 12 A,D,C,B,E,A 152+174+121+200+133= 780 A,E,B,C.D.A

Circuito Hamiltoniano obtido: 185€ 133€ B 152€ 200€ E 120€ 150€ 119€ 121€ 199€ C D 174€ Circuito de menor custo : A, D, B, C, E, A Custo total: 152€+150€+121€+120€+133€ = 676€

Método 2: Começar em A; Partir para a cidade cujo custo é menor; Repetir o processo até retornar a A.

Circuito Hamiltoniano Obtido : 185€ 133€ B 152€ 200€ E 120€ 150€ 119€ 121€ 199€ C D 174€ Circuito : A, C, E, D, B, A Custo total do circuito : 119€+120€+199€+150€+185€=773€

O sr.Francisco expande o seu negócio. Usando o método 2 levará apenas alguns minutos a construir o circuito; Mas: Para usar o método 1 teremos de verificar : 9! = 362880 circuitos.

Como resolver esta situação? É-nos cedido um super computador capaz de construir: 10 bilões de circuitos por segundo 3.0 x 10^17 circuitos por ano

Tabela 2: Número Número de Tempo de vértices circuitos Hamiltonianos de pesquisa 16 1,307,674,368,000 2 minutos 17 2.1*1013 35 “ 18 3.6*1014 10 horas 19 6.4*1015 7 1/2 dias 20 1.2*1017 140 dias 21 2.4*1018 7 1/2 anos 22 5.1*1019 160 anos 23 1.1*1021 3500 anos 24 2.6*1022 82.000 anos 25 6.2*1023 2,000,000 anos O número de circuitos Hamiltonianos cresce desproporcionadamente à medida que acrescentamos um vértice.

Algoritmo ineficiente: O seu uso na prática é limitado, uma vez que só pode ser usado quando o número de vértices é pequeno. Exemplo: Método 1 – Algoritmo “ Força bruta”. Algoritmo eficiente: O número de passos necessários cresce em proporção ao tamanho do problema. Método 2 – Algoritmo “Vizinho mais próximo”.

Algoritmos Aproximados

Em que consiste um algoritmo aproximado? Usaremos o termo “algoritmo aproximado”para descrever qualquer algoritmo que produza soluções que estão, na maior parte das vezes, razoavelmente perto da solução perfeita.

Algoritmo3: O “vizinho mais próximo” repetido Partir de um determinado vértice e aplicar o algoritmo “vizinho mais próximo”; Calcular o custo total obtido; Repetir o processo para os vértices restantes; Escolher o circuito de menor custo; Rescreever , se necessário, esse circuito começando no vértice de referência.

Circuito Hamiltoniano de menor custo 185€ 133€ B 152€ 200€ E 120€ 150€ 119€ 121€ 199€ C D 174€ Circuito: A, E, D, B, C, A Custo total: 133€+199€+150€+121€+119€ = 722€

Algoritmo 4: “Aresta de menor valor” Começa-se na aresta de menor valor, qualquer que seja. Segue-se para a aresta de menor valor seguinte e assim sucessivamente, tendo em conta as seguintes restrições: a) Não permitir que os circuitos se formem(a não ser no final); b) Não permitir que três arestas se juntem num ponto; Quando não houver mais vértices para ligar, fechar o circuito.

Construção do circuito Hamiltoniano 185€ 133€ X B 152€ 200€ E X 120€ 150€ 119€ 121€ 199€ C D 174€ Circuito: A, C, E, B, D, A Custo total: 119€+120€+200€+150€ 152€ = 741€

Fim Trabalho realizado por: Ana Sofia Claro Luisa Maria da Cruz Félix Sara da Silva Nogueira Fim