ORIGEM E EVOLUÇÃO Por: Rosa Canelas NÚMEROS COMPLEXOS ORIGEM E EVOLUÇÃO Por: Rosa Canelas

NAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU Os Babilónios em 1700 AC já conheciam regras para resolver equações do 2º grau. Os gregos demonstraram essas regras e conseguiram, por processos geométricos, obter raízes irracionais. Na Itália do século XV (1494) Luca Pacioli ensinou em verso a regra para resolver equações do 2º grau e afirma que não há regras para resolver as do 3º grau.

Cronologia I Nos séculos XVI e XVII ainda não eram considerados números os negativos e os irracionais. Menos ainda os números complexos.

NAS EQUAÇÕES DO 3º GRAU Scipione Ferro (cerca de 1515) descobriu uma regra para resolver as equações do 3º grau. Mas não publicou, embora tenha confiado a sua descoberta aos seus colegas Annibale Della Nave (mais tarde seu genro e sucessor na cadeira de Matemática em Bolonha) e a António Maria Fiore. A este último apenas forneceu a fórmula mas não a demonstração.

NAS EQUAÇÕES DO 3º GRAU Nicolo Fontana (Tartaglia(Tartamudo)) 1499-1557 Fiore desafia Tartaglia para uma disputa matemática onde inclui 30 problemas do 3º grau. Tartaglia descobre uma fórmula e vence Fiore.

FÓRMULA DE CARDANO Cardano atrai Tartaglia a Milão e aí, mediante promessa de guardar segredo, Tartaglia, em verso, dá-lhe a fórmula mas não a demonstração. Em 1542, Cardano e Ferrari visitaram Bolonha e obtiveram de Della Nave permissão de examinar os manuscritos deixados por Ferro.

COMO SURGEM OS NÚMEROS COMPLEXOS? Os algebristas antigos (gregos, hindus e árabes) já tinham percebido o caso embaraçoso de b2-4ac ser negativo, mas sempre que isso acontecia os problemas não tinham solução. Mas é ao usarem a fórmula para resolver as equações do 3º grau que surgem, em passos intermédios raízes de números negativos em problemas com solução.

UM EXEMPLO Seja v o volume dum cubo de aresta x e v´ o de um paralelepípedo rectângulo cuja área da base é 3 e cuja altura é igual à aresta do cubo; determine x de modo tal que v = v´ + 1. Como v = x3 e v´= 3x, o problema leva à equação x3 = 3x +1.

RESOLVENDO O EXEMPLO x = 3 ½ + - ¾ + 3 ½ - - ¾ Pela fórmula de Cardano: x = 3 ½ + - ¾ + 3 ½ - - ¾ A resolução depende do cálculo de – ¾ , que não existe, mas o problema não é impossível.

POR QUE RAZÃO NÃO É IMPOSSÍVEL? Quando x é pequeno v é menor que v´+1, mas à medida que x aumenta, v aproxima-se de v´+1 e ultrapassa-o, logo deve haver uma solução para a equação x3 = 3x+1. Observe a tabela ao lado. x v = x3 v´+1=3x+1 1 4 2 8 7

Cronologia II Gaspar Wessel em 1797 faz a representação geométrica dos números complexos Jean Robert Argand em 1806 apresentou a mesma ideia que Wessel e ficou com o seu nome ligado ao plano complexo.

Cronologia III Em 1629 Girard utiliza o símbolo Em 1794 Euler usa o símbolo i pela 1ª vez. Em 1637 Descartes usa os termos real e imaginário. Em 1832 Gauss introduz a designação “número complexo”.

Cronologia IV Ludovico Ferrari (1522-1560) encontrou uma fórmula para as equações do 4º grau. Ruffini(1765-1822) fez uma demonstração incompleta de que não existia uma fórmula que permitisse resolver equações do 5º grau. Evariste Galois (1811-1832) demonstrou que não pode ser encontrada uma fórmula que permita resolver equações de grau igual ou superior a 5.

Conjunto dos números complexos Número complexo: Conjunto dos números complexos:

Números complexos Representação algébrica de números complexos: z = a + bi, com a, b e i2=-1 z = a + bi lê-se parte real de z é a lê-se o coeficiente da parte imaginária de z é b Parte real Parte imaginária