Medidas de posição  Estudando as distribuições de  frequência,  percebe-se que existe uma  posição de  concentração dos valores, que podem estar mais concentrados no início, no meio ou no  final da distribuiçã. Para  isto se faz necessário conhecer  as  mais  importantes  medidas  de posição, que são as medidas de tendência central: a média, a mediana e a moda. 

Medidas de tendência central As medidas de  tendência central são  assim chamadas por  indicarem um ponto em  torno do qual se concentram os dados. Este  ponto tende a ser o centro da distribuição dos  dados,. 

Moda (Mo)    É o valor que mais se repete em uma sequência de dados.  Considere a seguinte série:  1, 3, 4, 4, 4, 6, 8, 32  Como o valor que aparece com maior frequência é o “ 4” , ele é o valor modal, ou simplesmente  a moda.   O  uso  da  moda  é  mais  indicado  quando  se  deseja  obter,  rapidamente,  uma  medida  de  tendência central. Um outro aspecto que favorece a utilização da moda é que seu valor não é  afetado pelos valores extremos do conjunto de dados analisado.

Uma série numérica pode ser:  Amodal: quando nenhum valor se repete;  Modal: quando um valor se repete;  Bimodal: quando dois valores se repetem;  rimodal: quando três valores se repetem;  Polimodal: quando mais do que três valores se repetem. 

Mediana (Md)  A mediana é o valor que ocupa a posição central da série de observações, dividindo  o conjunto em duas partes  iguais.  Obs.:  50% dos valores são maiores ou  iguais ao  valor da mediana  50% dos valores são menores ou iguais ao valor da mediana.  a mediana é o valor  tal que separa o conjunto de dados em dois subconjuntos de mesma  quantidade de elementos.

Se  a  quantidade  de  dados  for  ímpar,  a  mediana  é  simplesmente  o  valor  central,   1, 5, 8, 9, 12, 17, 20   quantidade ímpar de dados: a mediana = 9. De um modo geral, a mediana é o termo: n + 1 2 n = 7 => 7 + 1 = 4, ou seja, a mediana é o quarto termo 2

  se  a quantidade de dados for par a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais. 1, 5, 8, 9, 12, 17, 20, 22  quantidade par de dados: a mediana = 9 + 12 = 10,5 2 De um modo geral, a mediana é o termo: n + n +1 2 2 2 Média aritmética dos termos (n/2) e (n+1)/2 8 + 8 +1 2 2 = 4 + 5 2 2 ou seja, a mediana é a média aritmética entre o 4º e 5º termo n = 8 =>

Obs:  A mediana é utilizada sempre que há  valores extremos que afetam muito a média.  Exemplo: Abaixo estão os  salários dos funcionários de um escritório:  R$1.000,00,  R$1.000,00,  R$1.500,00,  R$2.000,00,  R$3.000,00  mediana:   média:   R$1.500,00 R$1.700,00

Considere a contratação de mais um funcionário  com salário de R$10.000. R$1.000,00   R$1.000,00  R$1.500,00,  R$2.000,00  R$3.000,00   R$10.000,00  mediana:   média:   R$1.750,00 R$3.083,33

1)  Uma escola deseja verificar o aproveitamento de 6 de seus alunos da 5ª série. Calcule  a média, a mediana e a moda, e classifique a série conforme a moda.  Notas: 7,0   3,5   2,5   6,5   9,0   3,5  2)  Classifique as série de acordo com a característica modal, indicando os valores.  a) 12, 13, 13, 14, 15, 17, 17, 19  b) 56, 58, 60, 60, 60, 62, 65

 Medidas Separatrizes  São outras  medidas  de  posição.    Quartis  Assim como a mediana divide  os dados  coletados  em  dois  grupos com  a  mesma quantidade de elementos, os  quartis dividem o  conjunto de valores  em  quatro  subconjuntos de mesma quantidade de elementos.

Assim, temos três quartis:  1)  O primeiro quartil  (Q1) é o valor situado de  modo  tal que um quarto  (25%) dos dados  são menores que ele, e o restante (75%) é maiorque ele.  2)O segundo quartil (Q2) é evidentemente igual a mediana. Q2 = Md.  3)  O terceiro quartil (Q3) é o valor situado de modo tal que três quartos (75%) dos dados  são menores que ele, e o restante (25%) é maior que ele. 

Determine o terceiro quartil do conjunto B = {2,6,4,12,8,10,20,18,7} Encontre Q1 e Q3 dos conjuntos amostrais:   A= {6,9,7,7,4,3,2,9,9,10,18} B= {10,13,23,12,4,8,6,24,12,25,21,7} C= {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

Uma empresa emprega 450 trabalhadores Uma empresa emprega 450 trabalhadores. Sabendo-se que os salários correspondentes ao primeiro e terceiro quartil são, respectivamente, 300 e 800 reais, encontre o número de empregados que percebem salários entre esses valores.

Os dados a seguir representam as notas em Economia (numa escala de 0 a 40) de 20 ingressantes em um curso de pós-graduação em Finanças: 5, 10, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 27, 28, 28, 28, 28, 30. (a) Calcule a média e a mediana desses valores.

Os dados a seguir correspondem ao tempo de execução de uma tarefa (em minutos) para uma amostra de 26 funcionários de uma certa seção: 13, 45, 23, 46,12, 42, 47, 47, 12, 51, 11, 11, 13, 13, 40, 13, 14, 11, 12, 18, 46, 39, 22, 16, 15 e 50. Determine a média, mediana e os quartis desse conjunto de dados e interprete os valores obtidos.