Médias Aritmética Geométrica Harmônica Quadrática

Média aritmética simples Definição Dado um conjunto de n observações x1, x2,..., xn, a média aritmética simples é definida como

Qual é o total da folha de pagamento? 7200 Exemplo: Considere os seguintes dados fictícios referentes aos salários de 8 funcionários de uma empresa: 700, 700, 820, 820, 820, 820, 1500 e 3200. Qual é o total da folha de pagamento? 7200 Qual é o número de empregados? 6

Salário médio 700 + 700 + 820 + 820 + 820 + 820 + 1500 + 3200 8 =8560 8 = 1070

interpretação física: 1070 + 1070 8560 cada um dos 8 empregados ganha 1200

700 + 700 + 820 + 820 + 820 + 820 + 1500 + 3200 8 Existe outra forma, mais simples (curta) de escrever esta expressão? 2.700 + 4.820 + 1.1500 + 1.3200 8 2.700 + 4.820 + 1.1500 + 1.3200 2 + 4 +1 + 1

2.700 + 4.820 + 1.1500 + 1.3200 2 + 4 +1 + 1 Calculada desta forma, a média é conhecida como média aritmética ponderada ou Simplesmente média ponderada. Os números 2, 4, 1 e 1 são conhecidos como Pesos.

Σ Definição: A média aritmética ponderada de um conjunto de dados é dada pela razão entre o somatório dos produtos entre cada número e seu peso e o produto dos pesos. Em outras palavras, dada uma distribuição x1, x2, ..., xn, com pesos p1, p2, ..., pn, a média aritmética ponderada é dada por: Σ i =1 n pi.xi pi = p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn = p1 + p2 + ... + pn

Consideremos, agora, as idades de um grupo de pessoas: 24 29 36 45 25 29 37 51 26 31 38 53 26 35 42 55 Calcule a idade média deste grupo.  

Os salários dos funcionários do departamento de Recursos Humanos, cujos valores (em R$) são os seguintes: 6300 5700 4500 3800 3200 7300 7100 5600 6400 7000 3700 6500 4000 5100 4500 Calcule o salário médio.

Calcule a nota média para os dados da tabela

Média Geométrica Utilizada em situações que envolvem taxas de crescimento ou taxas de retorno, como taxas de juros, a utilização

Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses.

Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1 Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos aumentos teremos: 1000.20% = 200 1000 + 200 = 1200 1200.12% = 144 1200 + 144 = 1344 1344.7% = 94,08 1344 + 94,08 = 1438,08

Qual é o percentual médio mensal de aumento desta categoria? Isto é qual é o percentual que, aplicado 3 vezes sucessivas transforma o primeiro valor no último?

Se você pensar em termos de média, teremos: 20 + 12 + 7 = 39 = 13% 3 3 Então, teríamos: 1000.13% = 130 1000 + 130 = 1130 1130.13% = 146,9 1130 + 146,9 = 1276,9 1276,9.13% = 166 1276,9 + 166 = 1442,9 Note que a média aritmética não leva à transformação esperada.

formam uma progressão geométrica. Assim: O que acontece neste exemplo é que os salários, após a aplicação de cada porcentagem formam uma progressão geométrica. Assim: a = 1000 1 a = a . q n 1 n – 1 a = 1200 2 a = a . q 4 1 4 – 1 a = 1344 3 1438,08 = 1000 . q 3 a = 1438,08 4 q 3 1438,08 = 1,438,08 1000 =

q 3 1438,08 = 1,438,08 1000 = q 3 1,2 . 1,12 . 1,07 = 1,2 . 1,12 . 1,07 q = 3 q é o valor que estamos procurando, e é conhecido como média geométrica.

Assim, para o problema inicial, bastaríamos fazer: aumento salarial de 20% salário . 1,20% aumento salarial de 12% salário . 1,12% aumento salarial de 7% salário . 1,07% Média dos = aumentos Média geométrica 1,2 . 1,12 . 1,07 3 =

Exercício: Você deseja que a taxa média de crescimento dos salários de um trabalhador por um período de três anos. Suponha que os salários do trabalhador aumentou da seguinte forma: 5 por cento no 1º ano, 3 por cento no 2º ano, 4 por cento no 3º ano.

Exercício: Encontre a média geométrica de cada uma das sequências abaixo: a) 2 e 8 b) 2; 2 e 4 b) 1; 6; 8 e 9

Média Harmônica

120 80 240 2,5 = 240 _ 1,5 + 1 Tempo de ida: = 1,5 120 Tempo de volta: = 240 _ 1,5 + 1 Tempo de ida: = 1,5 96 = 120 Tempo de volta: = 1 = 240 _ 120 + 120 80 120 Velocidade média na trajetória: 240 2,5 = 96 = 240 _ 120 + 120 80 120

= 240 _ 120 + 120 80 120 = 240 _ 120 1 _ + 1 _ 80 120 Dois números = 2 _ 1 + 1 _ 80 120 Média Harmônica: inverso da média aritmética do inverso dos números. Inverso dos números

Média quadrática A média quadrática dos números x1, x2, ..., xn é definida por q = isto é, a média quadrática é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos números.

Por exemplo, a média quadrática dos números 1 e 7 é = 5 q =

Exercícios Determine a média geométrica dos números: 1; 2 e 4 b) 1; 2; 4; 8

Determine a média quadrática dos números: 2; 3; 6 b) 4; 9; 10

Determine a média harmônica dos números: 2; 4 3; 6; 9