Geometria Euclidiana revisitada A reta de Euler Leonhard Euler (1707-1783) João Lucas Marques Barbosa Universidade Federal do Ceará lucas@sbm.org.br

A reta m é chamada de bissetor perpendicular do segmento AB. Seja AB um segmento Seja M o ponto médio de AB Trace a reta m perpendicular a AB passando pelo ponto M M A B m A reta m é chamada de bissetor perpendicular do segmento AB. ..

Seja P um ponto dessa reta. Trace PA e trace PB Segue-se que PA = PB P M A B m Portanto, os pontos do bissetor de um segmento são eqüidistantes de suas extremidades. ..

PA=PB Inversamente, Na figura abaixo suponha apenas que: m Seja M o ponto médio de AB. Trace a reta m por P e M Então AMP = BMP. Portanto, m e AB são perpendiculares Logo m é o bissetor perpendicular ao segmento AB ..

Provamos portanto o seguinte teorema: Teorema: O bissetor perpendicular ao segmento AB é constituído dos pontos eqüidistantes de A e de B.

PO e MO são bissetores perpendiculares Corolario: Os bissetores perpendiculares aos lados de um triângulo se encontram em um ponto. A PO e MO são bissetores perpendiculares Logo: CO = AO = OB P, M, B, são pontos médios P M O C B N O ponto O é eqüidistante dos 3 vértices. Por isto é chamado de cincuncentro do triângulo. ..

Proposição: As alturas dos vértices de um triângulo se encontram em um ponto. As alturas do triângulo original são o bissetores perpendiculares do triângulo gigante!! Tal ponto é chamado de ORTOCENTRO do triângulo Logo se interceptam!! Trace as 3 alturas do triângulo Os 4 triângulos são congruentes!! Por cada vértice trace uma reta paralela ao lado oposto

Uma CEVIANA é um segmento ligando um vértice de um triângulo ao lado oposto.

Teorema de Cevas: Seja ABC um triângulo, X um ponto de AB, Y um ponto de BC e Z um ponto de CA. As cevianas AY, CX e BZ se encontram em um ponto se e somente se: A X Z B C Y

Trace retas m e n paralelas a AY Z Prolongue CX até D em m X P D Prolongue BZ até E em n C B Y A A E Z X P P D C B

n m A E Z X P D C B Y E P D P C C B B Y Y

Multiplique estas igualdades termo a termo para obter n m A E Z X P D C B Y Multiplique estas igualdades termo a termo para obter Cancelando obtém-se

Portanto, provamos que: X Z B C Y Portanto, provamos que: Se as cevianas AY, CX e BZ se encontram em um ponto então:

Vamos agora provar que: Então, pelo que já provamos: Vamos agora provar que: Dado um triângulo ABC em que AY, BZ e CX são cevianas, se e, portanto, Logo: Logo: então as cevianas se encontram em um ponto. A PROVA: Escolha um ponto W em BC de modo que AW, BZ e CX se encontrem. Z X B C Y Y = W W

Uma Mediana é uma ceviana ligando um vértice ao ponto médio do lado oposto. AM = MB C M B

Proposição: As três medianas de um triângulo se encontram em um ponto. AY, BZ e CX são as três medianas, logo: X Z C Y B Portanto: Pelo Teorema de Cevas AY, BZ e CX se interceptam

O Ponto de encontro das Medianas é chamado BARICENTRO do triângulo Corolário: A distância do baricentro a cada vértice é 2/3 do comprimento da mediana. A Y X O C B Z

CX e BY são duas medianas e O é o Baricentro. Prova: CX e BY são duas medianas e O é o Baricentro. O Ponto de encontro das Medianas é chamado BARICENTRO do triângulo P é o ponto médio de CO. Trace YP Q é o ponto médio de BO. Trace XQ Trace YX e PQ Corolário: A distância do baricentro a cada vértice é 2/3 do comprimento da mediana. Observe que AXY e ABC são semelhantes Observe que OQP e OBC são semelhantes A XY = (1/2) BC XY paralelo a BC Y X O PQ = (1/2) BC PQ paralelo a BC Q P C B Z XO = PO = CP YXQP é um paralelogramo

Teorema: Dado um triângulo ABC, seja U o circuncentro, S o baricentro e O o ortocentro. Então os pontos U, S e O estão sobre uma mesma reta (a qual é denominada reta de Euler). Alem disto, eles estão situados na reta na ordem U, S, O e estão espaçados de modo que SO = 2 SU.

O mesmo argumento repetido a partir de cada lado demonstra que: o ponto O esta na perpendicular baixada de A ao lado CB e esta na perpendicular baixada de B ao lado AC. M = ponto médio de AB C U = circuncentro de ABC MU é perpendicular a AB S = Baricentro de ABC Prolongue US até o ponto O de modo que SO = 2 SU U Portanto O é o ortocentro de ABC S Lembre que SC = 2 SM O Portanto: SUM e SOC são semelhantes E o teorema fica demonstrado A B Logo: MU e CO são paralelos M Conclusão: O ponto O esta na perpendicular baixada de C ao lado AB

Terminamos!! Muito Obrigado

João Lucas Barbosa lucas@mat.ufc.br