Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano

Conteúdos do 7º Ano Proporcionalidade directa Semelhança de Figuras Conhecer melhor os números Equações (está abordado nos conteúdos de 8º ano) Do Espaço ao Plano Estatística (está abordado nos conteúdos de 8º ano)

Vamos analisar as duas situações seguintes: Proporcionalidade directa Vamos analisar as duas situações seguintes: I II

I II Quando uma das grandezas é zero a outra também é zero. Quando uma das grandezas é zero a outra também é dois. Existe proporcionalidade directa, porque a razão entre as grandezas é constante. A constante de proporcionalidade directa é 2. Não existe proporcionalidade directa, porque a razão entre as grandezas não é constante. Expressão Analítica

Representação gráfica de cada situação II Unindo os pontos obtém-se uma recta que passa pela origem. Unindo os pontos obtém-se uma recta que não passa pela origem. Existe proporcionalidade directa, porque a representação gráfica é uma recta que passa pela origem. Não existe proporcionalidade directa, porque a representação gráfica não é uma recta que passa pela origem.

Proporcionalidade directa Definição: Duas grandezas x e y são directamente proporcionais se a razão entre os seus valores correspondentes, tomados pela mesma ordem, é constante. Quando umas das grandezas é zero a outra também é zero. A representação gráfica de uma situação de proporcionalidade directa é uma recta que passa pela origem. A expressão analítica de uma situação de proporcionalidade directa é , onde k é a constante de proporcionalidade directa.

5 % de 120 chocolates são _______ Percentagens 5 % de 120 chocolates são _______ 5 x 120 = 6 100 6 chocolates em 50 são ___% 50------- 100%  x = 6 x 100 =12% 6 -------- x 50

Resolução de problemas envolvendo Percentagens 1- O preço de um sofá é de 300€, sem IVA. Sabendo que o IVA é 20%, quanto é o valor, em euros, do IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá? 20% de 300 = 300 x 20 = 60 euros 100 300 + 60 = 360 O preço final do sofá é 360 euros. 2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de desconto? Euros % 56 ------------------ 100 42 ------------------- x x = 42 x 100 = 75% 56 100 – 75% = 25% O desconto foi de 25%.

Semelhança de Figuras Fig. 3 Fig. 2 Fig. 1 Fig. 4 As figuras 1 e 2 – têm a mesma forma e as mesmas dimensões: são geometricamente iguais. As figuras 1 e 3 – têm a mesma forma, mas a figura 3 tem maiores dimensões. A figura 3 é uma ampliação da figura 1. As figuras 1 e 4 – têm a mesma forma, mas a figura 4 tem menores dimensões. A figura 4 é uma redução da figura 1.

Geometricamente iguais Semelhança de Figuras Figuras Semelhantes Redução Geometricamente iguais Ampliação - mesma forma - mesma dimensão - mesma forma - menor dimensão - mesma forma - maior dimensão Dois Polígonos são Semelhantes quando têm os ângulos geometricamente iguais e os lados correspondentes directamente proporcionais.

Semelhança de Figuras Se a razão de semelhança for: maior que 1, obtemos uma ampliação; menor que 1, obtemos uma redução; igual a 1, obtemos uma figura geometricamente igual à original.

Conjuntos numéricos IN IN0 Z Q Completa com os símbolos ; ; ;  -3 -56 -12 -4 IN - Conjunto dos números Naturais IN = {1;2;3;4;5;6…} IN0 - Conjunto dos números Inteiros IN0 ={0;1;2;3;4;5;6…} Z - Conjunto dos números Inteiros relativos Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…} Q- Conjunto dos números racionais Q = z U { números fraccionários} Completa com os símbolos ; ; ;  -1 ….. IN 1,4 ….. Z -3 …… Z- 0 …… IN 3 …… IN 4 …… Z- IN…… Z 2,3 …… Q

Classificação de Quadriláteros

Ângulos Verticalmente Opostos Se dois ângulos têm o vértice em comum e os lados de cada um dos ângulos estiverem no prolongamento dos lados do outro ângulo, então chamam-se ângulos verticalmente opostos. Os ângulos AOB e COD são verticalmente opostos. Os ângulos AOC e BOD também são verticalmente opostos. Ângulos opostos formados por duas rectas que se cruzam.

Ângulos de Lados Paralelos Na figura abaixo os dois ângulos têm os lados paralelos e são ambos ângulos obtusos (a sua amplitude é maior do que 90º e menor do que 180º). Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais.

Posição relativa de dois Planos

Posição relativa de uma recta a um plano

Posição relativa de duas Rectas

Conteúdos do 8º Ano Ainda os números Teorema de Pitágoras Semelhança de triângulos Notação científica Funções Estatística Lugares geométricos

Equações 3x+5=2-x+4 Sou equação 3+(5-2-4) = 3+1 Não sou equação EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras . 3x+5=2-x+4 Sou equação 3+(5-2-4) = 3+1 Não sou equação 1º membro 2º membro termos: ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x incógnita: x termos com incógnita: 3x ; - x ; termos independentes: -2 ; -4

Equações 6 SOLUÇÃO 5 SOLUÇÃO Equações equivalentes: Solução de uma equação: é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira 6 SOLUÇÃO 5 SOLUÇÃO Equações equivalentes: Mesmo conjunto solução

Resolver uma equação é determinar a sua solução. Equações sem parênteses e sem denominadores Resolver uma equação é determinar a sua solução. Numa equação podemos mudar termos de um membro para o outro, desde que lhes troquemos o sinal Num dos membros ficam os termos com incógnita e no outro os termos independentes efectuamos as operações. Dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita. Conjunto solução Determinamos a solução.

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES simplificação de expressões com parênteses: Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses trocando os sinais dos termos que estão dentro Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses mantendo os sinais que estão dentro. Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses, aplicando a propriedade distributiva.

Como resolver uma equação com parênteses. Eliminar parênteses. Agrupar os termos com incógnita. Efectuar as operações Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita Determinar a solução, de forma simplificada. C.S =

EQUAÇÕES COM DENOMINADORES Começamos por reduzir todos os termos ao mesmo denominador. Duas fracções com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais. Podemos tirar os denominadores desde que sejam todos iguais.

Sinal menos antes de uma fracção O sinal menos que se encontra antes da fracção afecta todos os termos do numerador. Esta fracção pode ser apresentada da seguinte forma Começamos por “desdobrar” a fracção que tem o sinal menos antes.(atenção aos sinais!) Reduzimos ao mesmo denominador e eliminamos os denominadores. 1 (2) (6) (3)

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores (3) (2) C.S.=

Mínimo múltiplo comum (m.m.c) Determina o m.m.c (12;30) 1º processo M12 = {0;12;24;36;48;60…} M30 = {0;30;60…} m.m.c = {60} 2º processo 12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c = 22 x 3 x5 = 60 Produto dos factores primos comuns e não comuns de maior expoente

Máximo divisor comum (m.d.c) Determina o m.d.c (12;30) 1º processo D12 = {1;2;3;4;6;12} D30 = {1;2;3;5;6;10;15;30} M.d.c (12;30)= {6} 2º processo 12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 M.d.c (12;30) = 2 x 3 = 6 Produto dos factores primos comuns com menor expoente

mmc e mdc Texto Lugar geométrico «…de tanto em tanto…» mmc «…dividir/repartir/agrupar…» mdc

Teorema de Pitágoras c2 h h2= c12+c22 c1 Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. c2 h h2= c12+c22 c1 Determinação da hipotenusa Determinação de um cateto x2 + 92 = 152 x2 + 81 = 225 x2= 225 - 81  x2 = 144  x =12 V x=-12 x2 = 52 + 122  x2 = 25 + 144 x2 = 169  x = 13 V x=-13 x 15 x 12 9 5

Semelhança de triângulos Critérios de semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se: Tiverem dois ângulos geometricamente iguais (aaa) Tiverem os três lados correspondentes directamente proporcionais (lll) Tiverem dois lados directamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual (lal)

Semelhança de triângulos Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos 1. Determina a altura da árvore. Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes? Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB. Determinação da altura da árvore. sombra altura 5,2 = h 1,6 0,8  h = 5,2 x 0,8 1,6  h = 2,6 m A altura da árvore é de 2,6 metros. 3,6 + 1,6 = 5,2 m

Semelhança de triângulos Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então: A razão entre os perímetros de A e B é r. A Razão entre as áreas de A e B é r2. PB:PA= r AB:AA =r2

Regras operatórias das potências Multiplicação Com a mesma base 2-2 x 27 = 25 Com o mesmo expoente (-2)3 x (-7)3 = 143 Divisão Com a mesma base 2-2 : 27 = 2-9 Com o mesmo expoente (-24)3 : 63 = (-4)3 Potencia de potência (23)5 = 215 Potencia de expoente nulo (-8)0 = 1 Potencia de expoente inteiro negativo 5-1 = 1 5

Notação Científica Definição: Diz-se que um número está escrito em notação cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se: a x 10n , com 1≤a<10 Ex: Escreve os seguintes números em notação cientifica 253 x 10-3 ; 6769800 ; 0,0000008 ; 76,9 x 105 = 2,53 x 10-1 ; =6,7698 x 106 ; = 8 x 10-7 ; = 7,69 x 106 Operações com números escritos em notação científica Multiplicação (2,1 x 10-3) x (2 x108) = (2,1 x2) x (10-3 x 108) = 4,2 x 105 Divisão (8,04 x 10-7) : ( 4,02 x 105) = 2,02 x 10-12

Funções Formas de definir uma função: Definição: Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos em que a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada. Formas de definir uma função: Por um diagrama Por uma tabela Por uma expressão analítica Por um gráfico

Funções definidas por um diagrama Ex. Funções Ex. Não são funções A f B 1 2 3 4 -1 -2 -3 1 2 3 -1 -7 -2 -4 -3 Df = {1;2,3} D’f = {-1;-2,-3} Objectos: 1;2,3 Imagens: -1;-2;-3 A – Conjunto de Partida B – Conjunto de chegada f ( 2 ) = -2 f ( x ) = -x 1 2 -1 2

Funções definidas por uma Tabela Seja a função g definida pela tabela seguinte Lado de um quadrado (L) 1 2 3 4 Perímetro do quadrado (P) 8 12 16 Dg = {1;2,3;4} D’g = {4;8;12;16} Objectos: 1;2,3;4 Imagens: 4;8;12;16 Variável independente: Lado do quadrado Variável dependente: Perímetro do quadrado g ( 2 ) = 8 g (x) = 4x

Funções definidas por uma expressão analítica Seja a função h definida pela seguinte expressão analítica h(x) = 2x -1 Calcular a imagem sendo dado o objecto h(3) = 2x3 - 1 h(3) = 5 Calcular o objecto sendo dada a imagem h(x) = 15 2x – 1 = 15  2x = 15 + 1  2x = 16  x = 8 (3;5) e (8;15) pertencem à recta que é gráfico da função h.

Funções definidas por um gráfico Variável independente: Peso Variável dependente: Custo j( … ) = 12 j(1) = ….. Tipo de função: Linear Expressão analítica: j(x) = 6x

Estatística – Recolha de dados Tipo de dados quantitativos qualitativos Exemplos: Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua. Representam a informação que não susceptível de ser medida, mas de ser classificação. Exemplo Exemplo Notas de Matemática, do 7ºF, no final do 2º período. Cor dos olhos dos alunos de uma turma . Podem ser castanhos, azuis ou verdes. Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP.

Estatistica - Contagem dos dados Que número calças? 37;41;38;39;42;37; 40;39;41;39;39;40; 39;39;40;39;38;36 36 1 37 2 38 2 39 7 40 3 41 2 42 1 Total 18

Estatística - Tabelas de frequências X 100% Número do sapato Frequência absoluta (f) Frequência relativa (fr) Fr em percentagem 36 1 1 : 18 = 0,06 6 % 37 2 2 : 18 = 0,11 11 % 38 2 2 : 18 = 0,11 11 % 39 7 7 : 18 = 0,39 39 % 40 3 3 : 18 = 0,16 16 % 41 2 2 : 18 = 0,11 11 % 42 1 1 : 18 = 0,06 6 % 1,00 100 % Total 18

Estatística - Gráficos de barras

Estatística - Pictograma = 1 aluno Estatística - Pictograma

Estatística - Gráficos circulares Frequência absoluta (f) Graus 36 1 20º 37 2 40º 2 40º 38 39 7 140º 40 3 60º 41 2 40º 42 1 20º Total 18 360º

Estatística – Medidas de tendência central Média Frequência absoluta (f) 36 1 37 2 38 39 7 40 3 41 42 Total 18 A média do número do sapato dos alunos é 39,1

Estatística – Medidas de tendência central Frequência absoluta (f) 36 1 37 2 38 39 7 40 3 41 42 Total 18 Moda - É o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos. Neste caso a moda é 39. Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana. (39 + 39) : 2 = 39 36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42

Lugares geométricos Uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo chamado centro da circunferência. O círculo é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a uma circunferência ou ao seu interior. exterior de uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam do centro da circunferência mais do que o seu raio.

Mediatriz de um segmento de recta Lugares geométricos Coroa circular: É o conjunto dos pontos do plano que se encontram a uma distancia maior ou igual a r1 ou menor ou igual a r2 de um ponto C. r2 r1 Mediatriz de um segmento de recta É o lugar geométrico dos pontos do plano que estão á mesma distância dos extremos do segmento de recta [AB]

Lugares geométricos Texto Lugar geométrico «…está a uma distância de um ponto fixo…» Circunferência «…está a uma distância inferior de um ponto fixo…» Círculo «…está à mesma distância…» Mediatriz «…está mais perto…»

Lugares geométricos Bissectriz de um ângulo A bissectriz é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados de um ângulo. circuncentro – Ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo. Incentro - Ponto de intersecção das bissectrizes dos lados de um triângulo. Baricentro – Ponto de intersecção das medianas de um triângulo

Lugares geométricos no espaço Superfície esférica e esfera Ao lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo chamado centro, dá-se o nome de superfície esférica. A esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que se encontram a igual ou menor distância de um ponto fixo chamado centro.

Lugares geométricos no espaço Plano mediador O plano mediador de um segmento de recta é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos extremos do segmento de recta. O plano mediador é perpendicular ao segmento de recta e contém o ponto médio desse segmento de recta.

 Monómios Semelhantes são os que têm a mesma parte literal. Num monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente e uma parte literal. Por exemplo: coeficiente parte literal Definições:  Monómios Semelhantes são os que têm a mesma parte literal. Exemplos: Monómios Simétricos são monómios semelhantes com coeficientes simétricos. Exemplos:

Adição algébrica de monómios e polinómios 4 A expressão simplificada do perímetro da figura é:

Vamos simplificar as seguintes expressões: Nota: Só podemos somar ou subtrair monómios semelhantes, ou seja, com a mesma parte literal. Vamos simplificar as seguintes expressões: a)

b) c)

d)

Potência de um monómio A expressão da área do quadrado é:

Produto de um monómio por um polinómio A expressão simplificada da área do rectângulo é: Fim