Aula de Matemática Conteúdo da aula: COMETA 15 de setembro de 2010 – prof. Neilton Satel Conteúdo da aula: Revisão de PA e Função do 2º grau
♫ Além do horizonte ♫ Além do horizonte deve ter Algum lugar bonito pra viver em paz Onde eu possa encontrar a natureza Alegria e felicidade com certeza Lá nesse lugar o amanhecer é lindo Com flores festejando mais um dia que vem vindo Onde a gente pode se deitar no campo Se amar na relva escutando o canto dos pássaros Aproveitar a tarde sem pensar na vida Andar despreocupado sem saber a hora de voltar Bronzear o corpo todo sem censura Gozar a liberdade de uma vida sem frescura Se você não vem comigo, tudo isso vai ficar No horizonte esperando por nós dois Se você não vem comigo, nada disso tem valor De que vale o paraíso sem o amor? Além do horizonte existe um lugar Bonito e tranqüilo Pra gente se amar Composição: Roberto e Erasmo Carlos.
Revisão de Matemática - professor Neilton Satel Estude o conteúdo prestando muito atenção a cada detalhe do enunciado das questões. Lembre-se que todas as questões têm o mesmo valor, portanto não gaste tempo demais com nenhuma delas. Quando isto acontece, geralmente você fica nervoso e erra até o que sabia. A seguir tem algumas resoluções de algumas questões feitas em sala e comentários do professor. Bons estudos!
Dada a equação f(x)= x² - 2x – 3 encontre a soma de suas raízes Resolução: Fazendo ax² + bx + c = 0 (zeros ou raízes da equação) a =1 b = -2 c = -3 . Soma das raízes da equação do 2º grau: S = - b / a S = - (-2) / 1 S = 2 Produto das raízes da equação do 2º grau: P = c / a P = - 3 / 1 P = 3 ax² + bx + c = 0 x² - 2x – 3 =0
Resposta este é o gráfico da questão anterior: Podemos observar que as coordenadas do vértice são V = (1, -4). As raízes da equação são R1 = - 1 e R2 = 3 A imagem desta função do 2º é y = {yR / y≥ - 4} observe que a imagem da função do 2º grau é a projeção do gráfico sobre o eixo oy. Observe ainda que equação tem a concavidade para cima pois o valor de a > 0 de (ax² + bx + c = 0)
Dada a equação representada no gráico abaixo, encontre a soma de suas raízes Resolução: Esta ficou fácil de mais! É só somar: – 1 + 3 = 2 Resposta: Portanto a soma das raízes da equação do 2º grau representada neste gráfico é 2
Dada a equação f(x)= x² - 2x – 3 encontre as coordenadas do vértice. Resolução: Fazendo ax² + bx + c = 0 (zeros ou raízes da equação) a =1 b = -2 c = -3 . X do vértice da equação do 2º grau: X vértice = - b / 2a X (v)= - (-2) / 2.1 X (vértice) = 1 Y do vértice da equação do 2º grau: Y vértice = - ∆ / 4a Y (v) = - (16) / 4.1 Y (vértice) = -4 ax² + bx + c = 0 x² - 2x – 3 =0
Dada a equação f(x)= x² - 2x – 3 encontre as coordenadas do vértice. X (vértice) = 1 Y (vértice) = -4 Podemos observar que as coordenadas do vértice são V = (1, -4).
OU
01. Ache a soma dos sessenta primeiros termos da PA (2, 5, 8, ...). Resolução Cálculo de a60: a60= a1 + 59r a60 = 2 + 59 · 3 a60 = 2 + 177 a60 = 179 Cálculo da soma: S60 = 5.430 Resposta: 5.430
Artifícios de Resolução Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PA, é possível, através de artifícios de resolução, tornarmos o procedimento mais simples: PA com três termos: (x – r), x e (x + r), razão igual a r. PA com quatro termos: (x – 3r), (x – r), (x + r) e (x + 3r), razão igual a 2r. PA com cinco termos: (x – 2r), (x – r), x, (x + r) e (x + 2r), razão igual a r.
Exemplo: Determinar os números a, b e c cuja soma é igual a 15, o produto é igual a 105 e formam uma PA crescente.3 Resolução: Fazendo a = ( b – r ) e c = ( b + r) e sendo a + b + c = 15, teremos: (b – r) + b + (b + r) = 15 3b = 15 b = 5. Assim, um dos números, o termo médio da PA, já é conhecido. Dessa forma a seqüência passa a ser: (5 – r), 5 e (5 + r), cujo produto é igual a 105, ou seja: (5 – r) · 5 · (5 + r) = 105 52 – r2 = 21 r2 = 4 r = 2 ou r = –2. Sendo a PA crescente, ficaremos apenas com r = 2. Finalmente, teremos a = 3, b = 5 e c = 7.
05 UFBA 98 – 1ª fase – Durante 15 dias, um automóvel é submetido a testes de desempenho mecânico. No primeiro dia ele percorre 40 km; no segundo, 60 km; no terceiro, 80 km; e assim sucessivamente, até o último dia, quando percorre x km. Calcule x/10. Questão de PA ( progressão aritmética ) onde pede para calcular o 15º termo... a n = a1 + ( n – 1 ) R a 15 = a1 + ( 15 – 1 ) R ou a 15 = 40 + 14.60 a 15 = 320 RESPOSTA: x / 10 = 32
06. ( UESSBA – Irecê-BA ) Numa progressão aritmética, a soma do segundo termo com o quarto é igual a 34, e o quinto termo é 27. Com base nessa informação, pode-se concluir que a razão dessa progressão é igual a 01) 7 02) 5 03) 3 04) 2 05) 1
a2 + a4 = 34 a1 + R + a1 + 3R = 34 2a1 + 4R = 34 ou a1 + 2R = 17 como a5 = 27 a5 = a1 + 4R = 27 E resolvendo o sistema de equações do 1º Grau, vem: LOGO 2R = 10 E R = 5
06. ( UESSBA – Irecê-BA ) Numa progressão aritmética, a soma do segundo termo com o quarto é igual a 34, e o quinto termo é 27. Com base nessa informação, pode-se concluir que a razão dessa progressão é igual a 01) 7 02) 5 03) 3 04) 2 05) 1
07. Em um progressão aritmética (PA), a4 + a7 = 24 e a6 + a10 = 34 07. Em um progressão aritmética (PA), a4 + a7 = 24 e a6 + a10 = 34. Calcule o seu 20º termo. a4 = a1 + 3R a7 = a1 + 6R a6 = a1 + 5R a10 = a1 + 9R a4 + a7 = 24 a1 +3R + a1 + 6R =24 a4 + a7 = 24 2a1 +9R =24 a6 + a10 = 34 a1 +5R + a1 + 9r =34 a6 + a10 = 34 2a1 +14R =34
E só resolver o sistema: a4 + a7 = 24 2a1 +9R =24 a6 + a10 = 34 2a1 +14R =34 2a1 +14R =34 2a1 +14R =34 E finalmente: a20 = a1 + 19R -2a1 -9R =- 24 a20 = 3 + 19.2 5R =10 R =2 a20 = 3 + 38 2a1 +14R =34 a20 = 41 2a1 +14.2 =34 a1 =3
08 UFBA 98 – 1ª fase – Durante 15 dias, um automóvel é submetido a testes de desempenho mecânico. No primeiro dia ele percorre 40 km; no segundo, 60 km; no terceiro, 80 km; e assim sucessivamente, até o último dia, quando percorre x km. Calcule x/10. Questão de PA ( progressão aritmética ) onde pede para calcular o 15º termo... a n = a1 + ( n – 1 ) R a 15 = a1 + ( 15 – 1 ) R ou a 15 = 40 + 14.60 a 15 = 880
OU
an = a1 +( n – 1) R an = 19 +( n – 1) 4 an = 19 + 4n – 4 an = 15 + 4n Os 492 convites é a soma dos termos dessa PA. OU 2 Sn = (a1 + an ) n 2 . 492 = ( 19 + 15 + 4n) n 2 . 492 = 34 n + 4n2 492 = 17n + 2n2 2 . 12 2 + 17 . 12 492 Então n = 12
07. A soma dos n primeiros termos da PA ( 2n +1, 2n +3, ... ) é:
FIM