AULÃO REVISÃO DE MATEMÁTICA 2009 PROF THIAGO MORETI 1

THIAGO DE CASTRO MORETI GRADUADO EM MATEMÁTICA PELA UNIASSELVI PÓS-GRADUANDO EM METODOLOGIAS INOVADORAS DO ENSINO DA MATEMÁTICA. PROFESSOR DO COLÉGIO FAYAL E ESCOLAS ELITE. ATUANTE EM CURSINHOS, PREPARATÓRIOS PARA CONCURSOS, NO ENSINO MÉDIO E FUNDAMENTAL. OPSSSS!!!

O QUE VEM POR AÍ...

IMPORTANTE INSTITUIÇÃO INSCRIÇÕES PROVAS ACAFE 05/10 A 10/11 22/11 IFES 09/10 A 25 /11 28/11 UFSC 15/09 A 21/10 19/12, 20/12 E 21/12 UFPR 24/08 A 30/09 29/11 – 1ª FASE. 12/12 E 13/12 – 2ª FASE UDESC 01/09 A 01/10 01/11 – 1ª FASE 29/11 – 2 ª FASE UFRGS 20/09 A 04/10 10/01, 11/01, 12/01 E 13/01/2010 USP 28/08 A 11/09 22/11 – 1ª FASE 03 A 05/01/2010 - 2ª FASE ENEM 15/06 A 19/07 05/12 E 06/12

DICAS IMPORTANTES...

Cuidado com a alimentação nos dias das provas...

PERSEVERANÇA DISCIPLINA CONCENTRAÇÃO PLANEJAMENTO MOTIVAÇÃO

A VAGA É SUAAAAA!!!

VAMOS ENTÃO, AOS CONTEÚDOS...

MATEMÁTICA BÁSICA

PORCENTAGEM É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Podemos representar a porcentagens de outras formas:  

16) Um cofre contém apenas anéis e brincos, de ouro ou de prata 16) Um cofre contém apenas anéis e brincos, de ouro ou de prata. Sabe-se que 80% dos anéis são de prata e 10% das jóias são brincos. A porcentagem de jóias desse cofre que são anéis de ouro é: R: d a)90 % b)63 % c)30 % d)18 % RESPOSTA: d

REGRA DE TRÊS SIMPLES Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplo: Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? 1º) montando a tabela: Área (m2) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x

Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Solução: montando a tabela: EXEMPLO: Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x

Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

REGRA DE TRÊS COMPOSTA A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias

EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU ax² + bx + c = 0 Fórmula de Bháskara:  = b² - 4ac  

REGRA DAS TETINHAS

EX: X² - 5X + 6 = 0 a = 1 b = -5 c = 6 POR BHASKARA:

PELAS TETINHAS:

FUNÇÕES

Domínio, Contradomínio e Imagem Observe o diagrama a seguir: Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão: f={(1,2),(2,3),(3,4)} O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f. D(F)=X O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f. C(F)=Y Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f: f(1)=2. Ainda, f(2)=3 e f(3)=4. Logo o conjunto das imagens de f e dado por: Im(f)={2,3,4}

Função injetora: A função é injetora quando elementos diferentes de A correspondem a elementos diferentes de B. Função sobrejetora; A função é sobrejetora quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A, isto é, quando o conjunto imagem for igual ao contradomínio da função. Im(f) = CD(f). Função bijetora: É toda função de A em B que é simultaneamente, injetora e sobrejetora.

Sinal de uma função de 1º grau:

EXEMPLO: Um botânico registrou o crescimento de uma planta, em centímetros, durante cinco meses. Os resultados estão apresentados no gráfico a seguir. Considerando que o eixo y marca a altura da planta (em centímetros) e o eixo x, o mês em que foi feita a medida, pode-se afirmar que: a) y = 1,4x. b) y = 3 + 1,4x. c) y - 1,4 = 3x. d) y + 3x = 1,4. e) y = 3x.

ACAFE CFS 2003) Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ R$ 5,00, o lucro final será dado em função das x unidades vendidas. É correto afirmar que: a) se forem vendidas 100 unidades, o lucro será de R$ 280,00. b) haverá um prejuízo, se ele vender 50 unidades. c) haverá um lucro de R$ 315,00, se ele vender 109 unidades. d) haverá um lucro entre R$ 100,00 e R$ 180,00, se o número de unidades vendidas estiver entre 65 e 83. L(X) = 5 . X – 230 C) L(109) = 5.109 – 230 = 315

7-(Cfs bombeiro 2005). Um fabricante vende um produto por R$ 0,80 a unidade. O custo total do produto consiste numa taxa fixa de R$ 55,00 mais o custo de produção de R$ 0,30 por unidade. É correto afirmar que o fabricante: r: c a) deve vender 50 unidades do produto para não ter lucro nem prejuízo. b) se vender 100 unidades do produto terá um lucro de R$ 80,00. c) deve vender 110 unidades do produto para não ter lucro nem prejuízo. d) se vender 100 unidades do produto terá um prejuízo de R$ 50,00. L(X) = (0,8 – 0,3) . X – 55 L(X) = 0,5 . X – 55 C) L(110) = 0,5 . 110 – 55 = 55 – 55 = 0

LOGARÍTMOS

PROPRIEDADES:

MUDANÇA DE BASE: EXEMPLOS: Dados log2=0,3 e log3=0,4, calcule: a) log6

b) log9 c) log5 d)

P.A. E P.G. Fórmula do termo geral de uma P. G.: Fórmula da soma dos termos de uma P. G.: SOMA DOS TERMOS DE UMA P. G. INFINITA ( -1 < q < 1):

EXEMPLO: (CFS 2005) Numa estrada que liga a entrada de uma fazenda até a sua sede existem duas palmeiras, uma a 8 metros da entrada e outra a 260 metros. O proprietário deseja plantar, entre elas, outras cinco palmeiras, com a mesma distância entre elas. A distância, em metros, entre as palmeiras, é de: a) 54 b) 42 c) 50,4 d) 36 Como são 2 árvores + 5 árvores, totalizamos 7 árvores, o que determina então 6 “espaços”. Portanto temos: 260 – 8 = 252 m 252m / 6 espaços = 42 m

cfs 2003)Uma indústria produziu 74 cfs 2003)Uma indústria produziu 74.400 unidades de certo produto num período de 5 anos. Supondo que a produção tenha dobrado a cada ano, o número de unidades produzidas nos dois primeiros anos, foi de: a) 7400 b) 7200 c) 4800 d) 3600 X + 2x + 4x + 8x + 16x = 74400 31x = 74400 x = 2400 R: 2400 + 4800 = 7200

GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL Lembrando da Relação de Euler: V + F = A + 2 Os vértices, as arestas e as faces de um sólido geométrico.

Sólidos importantes: Chamamos paralelepípedo a este prisma.  Todas as suas faces têm a forma de retângulos.Tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces. Este sólido geométrico chama-se  cubo.  É um prisma em que todas as faces têm a forma de quadrados.Este sólido geométrico tem: 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.

Este sólido geométrico denomina-se pirâmide triangular porque a sua base é um triângulo. Tem 4 vértices, 6 arestas, 4 faces e 1 base. Chamamos pirâmide quadrangular a este sólido pois tem um quadrado na sua base. Tem 5 vértices, 8 arestas, 5 faces e 1 base.

A base da pirâmide pentagonal é um pentágono. Tem 6 vértices, 10 arestas, 6 faces e 1 base. A esfera é um sólido geométrico limitado por uma superfície curva. A sua forma é esférica; não tem bases, não tem vértices e não tem arestas.

O cone está limitado por uma superfície curva O cone está limitado por uma superfície curva. Tem uma base na forma de circunferência e tem 1 vértice. O cilindro está limitado por uma lateral curva. Tem duas bases iguais na forma de circunferência e nenhum vértice.

Fórmulas importantes das figuras planas: S = π.r²

  Área Total Volume Prisma Cilindro At = Al + 2Ab V = Ab . h Pirâmide Cone At = Al + Ab V = (Ab . h)/ 3 Esfera 4 π r2 (4 π r3) /3

Se a vírgula vai para: Aumenta o expoente Diminui o expoente NOTAÇÃO CIENTÍFICA Forma de apresentação de números ou muito pequenos ou muito grandes. Consiste em apresentar esses número como um produto de um número compreendido entre 1 e 10 por uma potência de base 10. Exemplos: 47300 = 4,73 x 104; 1 MIL = 10³ 0,000000021 = 2,1 x 10-8. 1 MILHÃO = 1 BILHÃO = Se a vírgula vai para: Aumenta o expoente Diminui o expoente

Algumas conversões 1 dm³ = 1 litro 1 l = 1 000 cm³ 1 cm³ = 1 ml 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 l 1 km = 1000 m / 1 km² = 1000000 m² 1 m = 100 cm / 1 m² = 10000 cm ² 1 m³ = 1000000 cm ³ 1 dm = 10 cm / 1 dm² = 100 cm ²

(SIMULADO ENEM) Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Dadas estas informações, analise as afirmações abaixo e assinale a alternativa correta: I - Existem 60 átomos nessa molécula. II - Essa molécula é constituída por 180 ligações entre seus átomos. III – A figura mostra uma das formas alotrópicas do Carbono, estrutura esta do diamante. IV – Este poliedro possui 60 vértices, 32 faces e 90 arestas. Esta correto o que se afirma somente em: I e II. b) II e III. c) I e III. d) II e IV. e) I e IV

CADA ÁTOMO REPRESENTA UM VÉRTICE E SUAS LIGAÇÕES SÃO AS ARESTAS. TEMOS ENTÃO: 12 FACES PENTAGONAIS: 12 X 5 = 60 ARESTAS 20 FACES HEXAGONAIS: 20 X 6 = 120 ARESTAS SOMAMOS AS ARESTAS: 120 + 60 = 180 MAS DIVIDIMOS POR 2 (SEMPRE): 180 / 2 = 90. Então temos: F = 12 + 20 = 32 A = 90 Por Euler: V + F = A + 2 V + 32 = 90 + 2 V = 60

EXEMPLO: Uma máquina fotográfica digital tem uma capacidade máxima que permite armazenar 120 fotos na memória, para que sejam reveladas no formato 20 centímetros por 30 centímetros. Ao optar-se por uma revelação no formato 10 centímetros por 15 centímetros, mantendo a mesma qualidade, é possível armazenar na memória dessa máquina: a) 120 fotos b) 160 fotos. c) 240 fotos. d) 360 fotos. e) 480 fotos.

20 CM 30 CM 10 CM 4 X 120 = 480 15 CM

BATEU O DESESPERO ????????

EXEMPLO: Uma pista de atletismo oficial tem um perímetro de 400m na raia interna e é formada por duas partes retas e por duas curvas de 180º (veja a figura a seguir). Cada parte reta tem 90m de comprimento. Assim, sabendo que o comprimento de uma circunferência é dado pela expressão c = 2R, o raio de curvatura da raia interna será de:

ANÁLISE COMBINATÓRIA Fatorial: Para resolver problemas de Análise Combinatória precisamos utilizar uma ferramenta matemática chamada Fatorial. Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo: n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 Exemplos: a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 b) 4! = 4.3.2.1 = 24.   Casos especiais: 0! = 1 1! = 1

Princípio fundamental da contagem – PFC No Brasil as placas dos veículos são confeccionadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? R: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. No Brasil, antes da alteração do sistema de emplacamento de automóveis, as placas dos veículos eram confeccionadas usando-se 2 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que podia ser licenciado neste sistema? R: 26.26.10.10.10.10 que resulta em 6.760.000.

QUANDO A ORDEM NÃO IMPORTA ARRANJO X COMBINAÇÃO QUANDO A ORDEM IMPORTA QUANDO A ORDEM NÃO IMPORTA

PERMUTAÇÃO SIMPLES: (UM TIPO ESPECIAL DE ARRANJO, MUITO UTILIZADO EM ANAGRAMAS) PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO:

Exemplos: Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA:   Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA? P = 5!/2! = 5.4.3 = 60 Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA? P = 5!/(3!.2!) = 5.4.3!/(3!.2) = 10

Considera-se as duas pessoas juntas como um único grupo: (ANEEL 2004)Dez amigos, entre eles Mário e José, devem formar uma fila para comprar as entradas para um jogo de futebol. O número de diferentes formas que esta fila de amigos pode ser formada, de modo que Mário e José fiquem sempre juntos é igual a: a) 2! 8! b) 0! 18! c) 2! 9! d) 1! 9! e) 1! 8!

P = 3/6= 1/2 = 0,5 = 50% PROBABILIDADES Por exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto: P = 3/6= 1/2 = 0,5 = 50%  

ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex- alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é: (A) 1/3. (B) 1/4. (C) 7/15. (D) 7/23. (E) 7/25

ESPAÇO AMOSTRAL: TOTAL DE FILHOS 1 FILHO X 7 MÃES = 7 CRIANÇAS 2 FILHOS X 6 MÃES = 12 CRIANÇAS 3 FILHOS X 2 MÃES = 6 CRIANÇAS TOTAL: 25 CRIANÇAS EVENTO: SER FILHO ÚNICO: 7 CRIANÇAS. PORTANTO: P = 7/25

MATRIZES DETERMINANTES DE ORDEM 3: REGRA DE SARRUS:

SISTEMAS LINEARES

REGRA DE CRAMER

Discutindo o sistemas, temos então: Possível e determinado: Possível e indeterminado: Impossível: e pelo menos um

SISTEMAS HOMOGÊNEOS D ≠ 0: O sistema é SPD (A admite apenas a solução trivial) D = 0: o sistema é SPI (A admite outras soluções, isto é, soluções próprias). A SI nunca ocorrerá, pois o sistema homogêneo é sempre possível

É isso aí, para vocês só desejo muito, mas muito sucesso !!!