RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E CRIATIVIDADE Metodologia de resolução de problemas como uma atividade de investigação Antonio Carlos Brolezzi   http://www.brolezzi.com.br/cogeae/ brolezzi@usp.br

Por isso, vamos ver o que podemos fazer com o seguinte problema: Os problemas não-rotineiros são bem importantes para a aprendizagem da matemática completa, não aquela constituída apenas de fórmula e definições, mas aquele que ajuda a resolver problemas. Por isso, vamos ver o que podemos fazer com o seguinte problema: Uma camponesa necessitava de 5 litros de água para fazer uma receita de pães. Utilizando apenas suas duas jarras de barro sem marcas, uma para 7 litros e outra para 3 litros, como conseguiu trazer da fonte apenas a quantidade de água que desejava?    

Uma camponesa necessitava de 5 litros de água para fazer uma receita de pães. Utilizando apenas suas duas jarras de barro sem marcas, uma para 7 litros e outra para 3 litros, como conseguiu trazer da fonte apenas a quantidade de água que desejava?    

Uma camponesa necessitava de 5 litros de água para fazer uma receita de pães. Utilizando apenas suas duas jarras de barro sem marcas, uma para 7 litros e outra para 3 litros, como conseguiu trazer da fonte apenas a quantidade de água que desejava?    

George Polya propõe várias técnicas de resolução de problemas George Polya propõe várias técnicas de resolução de problemas. Uma delas é a de transformar o problema em outro, eventualmente mais fácil de se resolver. Por exemplo: Uma camponesa necessitava de 4 litros de água para fazer uma receita de pães. Utilizando apenas suas duas jarras de barro sem marcas, uma para 7 litros e outra para 3 litros, como conseguiu trazer da fonte apenas a quantidade de água que desejava? Parece uma coisa a toa, mas trata-se de uma ferramenta desenvolvida resolvendo um problema simples que pode ser aplicada na resolução de outros problemas mais complexos. Outro exemplo, se a camponesa quisesse 1 litro, o que poderia fazer?    

Claro, poderia jogar fora os 4 litros e começar a tentar de novo. Ou então, jogar o de 4 litro no de 3 (devidamente esvaziado, claro) e então, obteria 1 litro. Mas sempre pode começar de novo. Isso lembra a história do matemático...    

Essa idéia de transformar um problema em outro mais simples, de forma a que se possa desenvolver uma técnica para ser aplicada no problema original, é o que se chama de heurística. Heurística significa “a arte da descoberta”. Consiste em estratégias ou táticas de resolução de problemas. É a arte de inventar, de fazer descobertas. É possível também dizer uma heurística, ou as heurísticas, referindo-se às técnicas ou métodos, mesmo informais, que podem servir para se obter a solução de um problema. Heurística vem do grego εύρηκα (eureka) que significa “Eu descobri”!, a famosa frase de Arquimedes quando ele resolveu o problema da coroa do rei Hierão II de Siracusa.    

Conta-se que o rei mandou os ourives fazerem uma coroa para ele, mas ficou desconfiado de que tivessem porventura roubado um pouco do ouro dele, fazendo a coroa com uma mistura de ouro e prata. Mas, como descobrir isso? Bastava pesar a coroa, e comparar o peso com o que se espera que seria o peso do mesmo volume de ouro. O problema é como calcular o volume de uma coroa, com todas as suas reentrâncias e saliências. Arquimedes estava com este problema na cabeça, e fez algo que toda gente pode fazer também quando tem um problema difícil para resolver – ele foi tomar um banho. Não um banho qualquer, mas um belo banho de imersão.    

Ocorre que ele percebeu que a água da banheira derramou quando entrou nela. Pensou: o volume do líquido que sai da banheira deve ser equivalente ao volume do meu corpo – ou, pelo menos, da parte do corpo dele que estava dentro da água – considerando que ele não se afogou. O que entrou de corpo na água, é igual ao que saiu de água da banheira.    

Assim, segundo se conta, ele teve o vislumbre de que poderia resolver o problema da coroa do rei. Bastava mergulhá-la em um recipiente com água, e o que fosse deslocado de água, corresponderia ao volume da coroa. Claro, se a coroa flutuasse, também poderia perceber que não era feita de ouro, mas seria uma falsificação barata feita de plástico. Isso seria muito improvável, pois a história de Arquimedes se passa em 153 aC e o plástico foi inventado em 1890 (a coroa de plástico deve ter sido inventada depois, mas eu não sei a data exata). O mais provável é que a coroa tivesse sido falsificada com uma mistura de ouro e prata. Bem, isso não importa muito agora.    

E foi gritando pelas ruas de Siracusa: “Eureka! Eureka!” O que interessa é que se conta que Aquimedes, tão entusiasmado por ter resolvido um problema, saiu da banheira nu como estava e foi direto ao palácio do rei contar sua descoberta. E foi gritando pelas ruas de Siracusa: “Eureka! Eureka!” Quer dizer: “Descobri! Descobri!”    

  Quem relata esta história sobre Arquimedes é um arquiteto romano, Marcus Vitruvius Pollio, do século I a.C. Ele escreveu isso uns 200 anos depois do fato. Esta história pode muito bem não ser verdadeira, pois o método não funcionaria, devido a tensão superficial do líquido. Atribui-se a Arquimedes outros métodos de resolver o problema, pesando a coroa no ar e dentro da água.  

Certo mesmo, é que Arquimedes publicou uma obra chamada Sobre Corpos Flutuantes em que dá o princípio da hidrostática, ou princípio de Arquimedes (lei do empuxo), que diz que todo corpo imerso, total ou parcialmente, num fluido em equilíbrio, sofre a ação de uma força vertical, para cima, aplicada pelo fluido. Essa força é denominada empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Observe que aqui se fala de força, e a história da coroa se refere apenas ao volume da água deslocada.    

O relato sobre Arquimedes mostra a forma como nossa se vê a resolução de problemas – a felicidade que nos vem de resolver um problema. Mas também mostra que a resolução de problemas pode vir de uma prática de distração – como tomar um banho. Nem sempre as circunstâncias nos permitem pensar diretamente sobre o problema, com toda a calma e tranqüilidade necessárias. Mas isso não necessariamente é ruim.    

Voltando ao filme cultural Duro de matar III, vemos uma cena em que um problema parecido com o da camponesa é resolvido sob grande tensão. Um dos enigmas é uma versão com dois potes transparentes em uma fonte de praça.    

O problema que parece ter inspirado o roteirista é o seguinte: Dois ladrões roubaram um garrafão cheio com 8 litros de vinho, sem marcas. Para dividi-lo, só tinham outros dois garrafões vazios sem marcas, um de 5 litros e outro de 3 litros. Como conseguiram fazer a divisão do vinho em partes iguais?    

Quando entramos nas técnicas de resolução de problemas, o que vemos é que os problemas se agrupam em famílias, e que para resolver um problema muitas vezes é necessário resolver outro semelhante.    

Um empresário inglês saía diariamente às 16 horas de sua firma Um empresário inglês saía diariamente às 16 horas de sua firma. Seu motorista chegava com seu carro pontualmente a essa hora no portão da empresa para transportar Mr. Holmes até sua residência. Um dia houve greve geral, e Mr. Holmes, não querendo avisar o motorista, saiu às 15 horas e foi andando a pé pelo caminho habitualmente percorrido pelo motorista. Encontraram-se em certo momento, e Mr. Holmes terminou o percurso de carro, chegando em casa meia hora mais cedo que de costume. Por quanto tempo Mr. Holmes andou a pé?    

Ao invés de ficar resolvendo por meio de tentativa e erro, acho melhor empregar a técnica de resolver um problema parecido. Este problema é muito parecido com o seguinte (que deve ser resolvido de forma tranqüila, espero): Todo dia, João vai trabalhar a pé e volta de bicicleta ou vai de bicicleta e volta a pé, levando sempre uma hora entre ida e volta. Se ele fosse e voltasse de bicicleta, levaria 30 minutos. Quanto tempo levaria se ele fosse e voltasse a pé?    

Isso é uma atividade fundamental na Matemática. É esse tipo de problema que eu considero mais interessante para desenvolver as heurísticas. Você é quem tem que construir os caminhos para poder resolver os problemas. É preciso fazer inferências sobre situações dinâmicas bem pouco claras. Isso é uma atividade fundamental na Matemática. Em um livro de geometria, encontrei exercícios muito interessantes para desenvolver esta capacidade de tirar conclusões a partir de enunciados incompletos ou ambíguos.    

O autor desse livro parece ser muito criativo e também entender bem que a atividade de elaborar demonstrações geométricas exige habilidades mais gerais ligadas às atividades de interpretação dos dados de um enunciado ou de uma situação qualquer. Ele começa o livro fornecendo ao leitor problemas cujo enunciado é tirado de um livro de fantasia, O Hobbit, de Tolkien.    

6. Leia o texto abaixo com atenção: — Excelente! — disse Gandalf, enquanto saía de trás de uma árvore e ajudava Bilbo a descer de um espinheiro. Então Bilbo entendeu. Fora a voz do mago que mantivera os trolls discutindo e brigando, até que a luz chegou e acabou com eles. O próximo passo foi desamarrar os sacos e libertar os anões. Estavam quase sufocados, e muito furiosos: não tinham gostado nada de ficar ali jogados, ouvindo os trolls fazendo planos de assá-los e esmagá-los e fazer picadinho deles. Tiveram de ouvir o relato de Bilbo sobre o que lhe acontecera duas vezes antes de ficarem satisfeitos. O Hobbit. J.R.R. Tolkien    

( ) 1. A voz do feiticeiro manteve os trolls brigando. Baseando-se exclusivamente no trecho acima, assinale as afirmações que se seguem com V (verdadeira), F (falsa) ou I (incerta). ( ) 1. A voz do feiticeiro manteve os trolls brigando. ( ) 2. Bilbo sabia o tempo todo o que estava acontecendo. ( ) 3. Os trolls planejavam o que iam fazer com os anões. ( ) 4. Os anões não conseguiam ouvir nada enquanto estavam dentro dos sacos. ( ) 5. Os anões não acreditaram logo em Bilbo. ( ) 6. O nome do feiticeiro era Gandalf. ( ) 7. Bilbo tinha trepado num arbusto espinhoso. ( ) 8. Gandalf estava escondido atrás de uma árvore. ( ) 9. Eram sete anões. ( ) 10. Trolls são horríveis criaturas noturnas.