Aula de Monitoria – Prova 1 2012.1 – Gisely Melo Para Computação Aula de Monitoria – Prova 1 2012.1 – Gisely Melo

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Livro! 1) Notas sobre crescimento de função – 180 2) Notas sobre Indução – 263 3) Notas sobre Definições Recursivas – 295 4) Contagem – 335 5) inclusão-exclusão – 499 6) Teorema binomial, Triângulo de Pascal (permutações) - 355 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Contagem exemplo 1 QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COMEÇAM E TERMINAM COM BITS IGUAIS 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 1 32 1/0 * Esse valor vai depender do primeiro, logo nessa posição só vai ter uma opção: A QUE FOI COLOCADA NO PRIMEIRO QUADRADO Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Contagem exemplo 2 QUANTAS CADEIAS DE 8 BITS PODEMOS FORMAR DE MODO QUE ELAS SEJAM PALÍDROMOS? 2 X 2 X 2 X 2 X 1 X 1 X 1 X 1 16 CADEIAS 1/0 . Essas ultimas quatro posições vão procurar saber o que a correspondente a ela colocou... Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Contagem Encontre a quantidade de inteiros positivos que são menores ou iguais a 100 que ñ são divisíveis por 5 e por 7. Calcularemos primeiro a quantidade de inteiros positivos: De 1 até 100 100 números Por 5 Por 7 Depois Calcularemos a quantidade de inteiros positivos divisíveis por 5 e por 7: {35, 70} = 2 números Resposta 100 – 2 = 98 Por 5 e por 7 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Contagem |A1 U A2 U A3|= |A1| + |A2| + |A3| − |A1 ∩ A2| − |A2 ∩ A3| − |A1 ∩ A3| + |A1 ∩A2 ∩ A3|....???????????? Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Contagem Exemplo: 1) Quantas cadeias de tamanho 8 ou começam com o bit 1, ou terminam com 2 bits 00? 1 1/0 |A| = 2 7 1/0 |B| = 2 6 1 1/0 |A∩B| = 2 5 (A U B) = |A| + |B| - |A∩B| Essa opção já esta incluída em A e em B 2 7 + 2 6 − 2 5 = 192 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Contagem Exemplo : questão 5 da lista de vocês: QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COM 4BITS “1” JUNTOS EXISTEM? Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Contagem Exemplo: QUANTAS CADEIAS DE 5 BITS COMEÇAM OU TERMINAM COM ”00”? Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Contagem Provar que a quantidade de subconjuntos de um conjunto finito S é 2 |𝑠| ..... existem 2 |𝑠| cadeias de bits de tamanho | S |. Logo, | P(S) |= 2 |𝑠| Cada elemento pode estar presente ou não no conjunto das partes. Temos duas possibilidades pra cada um Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Casa dos pombos Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Casa dos pombos 5) Qual o número mínimo de pessoas que deveríamos agrupar para garantir que pelo menos 2 nasceram no mesmo mês e com a mesma letra inicial do nome? JANEIRO FEVEREIRO MARÇO ABRIL MAIO JUNHO JULHO AGOSTO SETEMBRO OUTUBRO NOVEMBRO DEZEMBRO A B C D E F G H I J K L M Q R S T U V W X Y Z No pior caso, se tivermos 26*12=312 pessoas em todos os meses do ano, portanto, se adicionarmos mais uma sempre haverá alguma outra pessoa que nasceu no mesmo mês e seu nome tem a mesma letra inicial. Resposta 312 + 1 = 313 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Casa dos pombos 6) Entre 100 pessoas quantas pelo menos nasceram no mesmo mês? Eu vou dividir 100 por 12 pra ver quantos grupos de 12 certinho eu consigo formar Depois percebo que da 8,333333 ? Resposta Função teto de: 8,333 = 9 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Mas Rafael Acevedo e João Pedro Existem... Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Mas Rafael e João Existem... Na cabeça deles, a resposta era 8 e isso fez com que os dois ficassem no meu pé depois da aula. Tô mentindo? eheheh Vamo FINGIR que eles estão certos e imagina que a resposta é 8 beleza? ? Multiplica ai 8 por 12, da quanto 96 né? Mas são 100 pessoas. Aonde vão parar aos outras 4? Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Mas Rafael e João Existem... É só imaginar que já tem 12 grupos com 8 pessoas fechados ta ligado? 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas +1 +1 janeiro fevereiro março abril maio junho 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas +1 +1 julho agosto setembro outubro novembro dezembro E as 4 que estão perambulando por ai? Elas vão ter que entrar em algum mês desse ai. Vamo colocar cada uma em um mês diferente. Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Mas Rafael e João Existem... É só imaginar que já tem 12 grupos com 8 pessoas fechados ta ligado? 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas +1 +1 janeiro fevereiro março abril maio junho 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas 8 pessoas +1 +1 julho agosto setembro outubro novembro dezembro Essas 4 pessoas a mais são justamente a parte decimal do 8,333 sacaram? Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Aritmética Modular! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Dizemos que a ≡ b(mod m) se e somente se Aritmética Modular! 16 mod 5 Dizemos que a ≡ b(mod m) se e somente se a mod m = b mod m. 7 ≡ 2(mod 5) Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Aritmética Modular! 10) Indique o inverso de:   a) 4 mod 9 b) 3 mod 5 c) 7 mod 17 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Teorema Chinês... Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Teorema Chinês! 11) Indique as soluções para os seguintes sistemas a) X ≡ 3 (mod 9) X ≡ 4 (mod 7) X ≡ 2 (mod 5) Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Teorema Chinês! M = m1 X m2 X m3 Mk = M/mk X ≡ a1 (mod m1) X ≡ a2 (mod m2) X ≡ a3 (mod m3) M1.Y1 ≡ 1(mod m1) M2.Y2 ≡ 1(mod m2) M3.Y3 ≡ 1(mod m3) X = a3 . M1. Y1 + a2.M2.Y2 + a3.M3.Y3(mod M) Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Teorema Chinês! LOCALIZANDO OS VALORES DAS VARIÁVEIS NO SISTEMA: a) X ≡ 3 (mod 9) X ≡ 4 (mod 7) X ≡ 2 (mod 5) m1 = 9 m2 = 7 m3 = 5 a1 = 3 a2 = 4 a3 = 2 M1 = m2.m3 = 35 M2 = m1.m3 = 45 M3 = m2.m1 = 63 M = m1 X m2 X m3 M = 315 X = a1 . M1. Y1 + a2.M2.Y2 + a3.M3.Y3(mod M) Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Teorema Chinês! SÓ FALTAM OS INVERSOS 35.Y1 ≡ 1(mod 9) 45.Y2 ≡ 1(mod 7) 63.Y3 ≡ 1(mod5) M1.Y1 ≡ 1(mod m1) 35.Y1 ≡ 1(mod 9) Primeiro veja qual o numero Z, tal que Z é o RESTO da divisão de 35 por 9 nesse caso Z = 8 (8) .Y1 ≡ 1(mod 9) 9 = 8.1 + 1 1= 9 – 1.8 O INVERSO NÃO PODE SER UM NUMERO NEGATIVO. PORTANTO MESMO EU TENDO ACHADO (-1), PRA O NUMERO FICAR POSITIVO EU SOMO 9..... O INVERSO NESSE CASO VAI SER: Y1 = 8 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Teorema Chinês! M3.Y3 ≡ 1(mod m3) 63.Y3 ≡ 1(mod5) Primeiro veja qual o numero Z, tal que Z é o RESTO da divisão de 63 por 5 nesse caso Z = 3 (3) .Y2 ≡ 1(mod 5) 5 = 3.1 + 2  2 = 5 -1.3 (equação 1) 3 = 2.1 + 1  1 = 3 -1.2 (equação 2) Substituindo a equação1 na 2 temos: 1 = 3 – 1.[5 -1.3] 1 = 3 -1.5 +1.3 1= -1.5 + 2.3 OBSERVE: o resultado já é positivo, logo eu não somo mais nada e esse já é o meu inverso Y3 = 2 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Teorema Chinês! Agora que temos todos os valores necessários, podemos aplicar na fórmula: a1 = 3 a2 = 4 a3 = 2 M1 = 35 M2 = 45 M3 = 63 M = 315 Y1 = 8 Y2 = 5 Y3 = 2 X = a1 . M1. Y1 + a2.M2.Y2 + a3.M3.Y3(mod M) X = {3 . 35. 8 + 4.45.5 + 2.63.2}(mod 315) X = 840+ 900 + 252(mod 315) X = 1992(mod 315) X = 102 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Teorema Chinês! X ≡ 5 (mod 11) X ≡ 3 (mod 7) X ≡ 2 (mod 3) Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Crescimento de Função! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

A letra c denota uma constante qualquer Crescimento de Função! Abaixo há uma lista de classes de funções que são bastante utilizadas para análise de algoritmos, por ordem decrescente de crescimento de funções. NOTAÇÃO NOME O(xx) ordem exponencial O(x!) Ordem fatorial O(cx) O(xc) Ordem polinomial O(x · log x) ordem linear-logarítmica O(x) ordem linear O(log x) ordem logarítmica O(1) ordem constante A letra c denota uma constante qualquer Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Crescimento de Função! PROPRIEDADES: Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

O resto é derivada deles... Crescimento de Função! 1 <= log n <= n <= n log n <= n2 <= 2n <= n! <= nn O resto é derivada deles... n! 2n n2 n log n n log n 1 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Fica sendo o big-O aquele que possuir maior expoente. Crescimento de Função! Fica sendo o big-O aquele que possuir maior expoente. g(x) = 3x2 + 70x5 = x2 + x5 = x5 Retire todas as Constantes f(x): 3x2 + 9 f(x): x2 O(x2) reduzir os expoentes... h(x) = 3x2 + 70x5 + 10 x12/x4 = x2 + x5 + x12/x4 = x2 + x5 + x8 = x8 O(x8) O(x5 ) ampliar os expoentes... r(x) = 3x2 + 70x5 + 5(x6 . x4) r(x) = x2 + x5 + (x6 . x4) = x2 + x5 + (x10) = (x10) O(x10) Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Crescimento de Função! Outro exemplo.... (𝐧𝐥𝐨𝐠𝐧+𝟏) 𝟐 + (𝐥𝐨𝐠𝐧+𝟏)( 𝐧 𝟐 +𝟏) = 𝒅𝒆𝒔𝒆𝒏𝒗𝒐𝒍𝒗𝒆𝒏𝒅𝒐… (𝒏𝒍𝒐𝒈𝒏) 𝟐 + 𝟐 𝒏𝒍𝒐𝒈𝒏 +𝟏 +𝒍𝒐𝒈𝒏. 𝒏 𝟐 [(𝒏 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝒏)+𝟐𝒏𝒍𝒐𝒈𝒏+𝟏+𝒍𝒐𝒈𝒏. 𝒏 𝟐 ] O( (𝒏 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝒏)+𝟐𝒏𝒍𝒐𝒈𝒏+𝟏+𝒍𝒐𝒈𝒏. 𝒏 𝟐 ) = O( 𝒏 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝒏) Mas se ele pedisse o valor de a para O( 𝒙 𝒂 ) Ai você arredondaria pra cima O( 𝒏 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝒏) = O( 𝒏 𝟐 .𝒍𝒐𝒈𝒏.𝒍𝒐𝒈𝒏) = Arredondando... O( 𝒏 𝟐 .𝒏.𝒏) O( 𝒏 𝟒 ) a = 4 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Crescimento de Função! Outro exemplo.... ((𝐱) 𝐱 +𝟓). (𝐱!+𝐱)= 𝒅𝒆𝒔𝒆𝒏𝒗𝒐𝒍𝒗𝒆𝒏𝒅𝒐… (𝒙) 𝒙 . (𝒙!) Vejam: nesse caso, sabemos que (𝒙) 𝒙 ganha de x! Mas a resposta vai ser O( 𝒙 𝒙 .𝒙!) Por que a gente não pode eliminar um membro de um produto, só se for soma que a gente desconsidera, ou se o membro for uma constante.. Mas se ele pedisse o valor de a para O( 𝒙 𝒂 )? A gente não pediria... Essas funções são as maiores, como a gente ia chegar em X elevado a alguma coisa? Certo? Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

O( (𝒙) 𝒙 . 𝒙! . 𝒍𝒐𝒈𝒙 . 𝒙 𝟐 )) ((𝐱) 𝐱 . 𝐱! . 𝐥𝐨𝐠𝐱 . 𝑥 2 ) Crescimento de Função! Ai tu pode se perguntar: e se a equação for um produto bem grande ? Não simplifica nada... Se for um produto NÃO MEXAM NELE Exemplo: ((𝐱) 𝐱 . 𝐱! . 𝐥𝐨𝐠𝐱 . 𝑥 2 ) O big-O disso é: O( (𝒙) 𝒙 . 𝒙! . 𝒍𝒐𝒈𝒙 . 𝒙 𝟐 )) Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

O (𝐱 𝐱! ) (𝐱 𝐥𝐨𝐠𝐱 ) + (𝐱 𝐱! ) Crescimento de Função! Outro exemplo.... Quem ganha? Quem cresce mais rápido é quem tem o coeficiente que cresce mais rápido.. No caso a resposta seria: O (𝐱 𝐱! ) Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

𝐝𝐮𝐯𝐢𝐝𝐚 𝐝𝐞 𝐮𝐦 𝐩𝐞𝐫𝐢𝐨𝐝𝐨 𝐩𝐚𝐬𝐬𝐚𝐝𝐨: Crescimento de Função! 𝐝𝐮𝐯𝐢𝐝𝐚 𝐝𝐞 𝐮𝐦 𝐩𝐞𝐫𝐢𝐨𝐝𝐨 𝐩𝐚𝐬𝐬𝐚𝐝𝐨: E se aparecer um sinal de menos na equação, como vamos proceder? o BIG–O é pra estimar o tempo que um algoritmo leva pra ser realizado.. Essas equações que vocês veem, é como se fosse a “soma dos tempos”. E não faz sentido aparecer tempo negativo na equação... Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely Tem mais ó... Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely

A questão diz que f e g são sobrejetoras, e pergunta se fog também é!