Visualização 3D: Projeções - Aula 6 - Visualização 3D: Projeções

Visualização 3D Modelo geométrico Imagem Pipeline de visualização Modificado de M.M. Oliveira

Visualização 3D Projeção ortográfica x projeção perspectiva y y z câmera y x z câmera y x z Projeção ortográfica x projeção perspectiva

Projeções paralelas e perspectiva

Projeções Pontos em Rn  Rn-1 Projeção definida por linhas projetoras ou projetantes partem de um centro de projeção atravessam cada ponto que define um objeto e interceptam uma superfície de projeção

Projeções Usualmente em Computação Gráfica: projeções planares: superfície de projeção é plana projeções geométricas: linhas projetoras são representadas por retas Tipos (Paralela ou Perspectiva) A B A B Centro de projeção no infinito Paralela A B A B Centro de projeção Perspectiva

Taxonomia das projeções Projeções geométricas planares Paralela Perspectiva Ortográfica Oblíqua 1 ponto Elevações Cavaleira Cabinet Axonométrica 2 pontos Isométrica 3 pontos

Projeção Paralela Ortográfica Caso mais simples de projeção paralela 3D (x,y,z) 2D (x,y) (x,z) (y,z)

Projeção Paralela Ortográfica Oblíqua Axonométrica Isométrica Cavaleira Cabinet Elevações Especificada pela direção de projeção e não por um ponto Centro de projeção no infinito Oblíqua Ortográfica A A A A’’ Centro de projeção no infinito B B B B Centro de projeção no infinito

Tipos de projeção: paralela X Z Y SRC Projeção paralela ortográfica P’= projeção de P = (x,y,z) no plano XY P’= (x,y,0) Paralela

Projeção Paralela Ortográfica Y Projetante Z SRC X Y P’= (xc, yc, 0) P = (xc, yc,zc) Z

Vistas ortográficas Mais comuns Front-elevation Side-elevation Plan-elevation Direção de projeção paralela a um dos eixos principais (x, y, z) Plano de projeção perpendicular ao eixo

Projeções paralelas ortográficas axonométricas Plano de projeção NÃO é perpendicular a um dos eixos principais Amostra várias faces do objeto ao mesmo tempo É preservado o paralelismo entre as linhas Não são preservados ângulos entre as linhas Distâncias podem ser medidas ao longo dos eixos principais (considerando fatores de escala)

Isométrica Projeção axonométrica mais comum Normal do plano de projeção equidistante aos 3 eixos principais Ângulos com os eixos são preservados Apenas 8 direções satisfazem essa condição Normal x y Plano de projeção y 120º 120º 120º x z x Ângulos entre os 3 eixos são iguais

Projeções paralelas ortográficas

Projeção paralela oblíqua Normal ao plano de projeção difere da direção de projeção Normalmente, o plano de projeção é perpendicular a um dos eixos principais Usada frequentemente em ilustrações de livros (fácil de desenhar) x z y Plano de projeção Normal Paralela ao eixo x

Projeção paralela oblíqua

Geometria de projeções oblíquas y Plano de projeção: x,y Direção de Projeção : ângulo entre a linha projetada e a direção de projeção  é o ângulo com a horizontal Comprimento L depende do ângulo  e da coordenada z do ponto a ser projetado: tan =z/L L = z/(tan ) = z.l onde l é o inverso de tan  xp = x + L.cos  = x + z.l.cos  yp = y + L.sin  = y + z.l.sin  L.sin  (xp,yp)  L x  (x,y,z) (x,y,0) L.cos  Don’t worry too much about this diagram – the properties of the projections are important. z Hearn & Baker pag 442

Geometria de projeções oblíquas Algumas projeções típicas  = 90o (projeção ortográfica) =30o ou 45o (tan =1) (projeção cavaleira) =63.4o (tan =2) (projeção cabinet)

Projeção paralela oblíqua A direção de projeção determina o fator de redução das arestas perpendiculares ao plano de projeção 1 1 a 1/2 a 1 1 1 Cabinet Cavaleira

Perspectiva Primeira pintura em perspectiva Trinity with the Virgin, St. John and Donors Masaccio, 1427

Projeção perspectiva Definição: Propriedades: plano de projeção e centro de projeção Propriedades: tamanho da projeção de um objeto varia inversamente com a distância ao centro de projeção Linhas paralelas, em geral, não são projetadas paralelamente Ângulos só são preservados nas faces paralelas ao plano de projeção Distâncias não são preservadas

Perspectiva z x y Plano de projeção Normal Paralela ao eixo x

Projeção perspectiva X Z Y SRC Projetante Centro da Projeção

Projeção perspectiva Linhas paralelas a um eixo principal convergem para o ponto de fuga de um eixo (onde o eixo intercepta o plano de projeção) Perspectiva é classificada conforme o número de pontos de fuga Corresponde ao número de eixos interceptados pelo plano de projeção y y x x z z

1-point perspective Plano de projeção corta apenas um eixo

1-point perspective A painting (The Piazza of St. Mark, Venice) done by Canaletto in 1735-45 in one-point perspective.

2-point perspective y z x Plano de projeção

2-point perspective

3-point perspective

3-point perspective City Night, 1926 Georgia O'Keefe Acrescenta pouco em relação a perspectiva com 2 pontos de fuga y z x Plano de projeção

Projeção perspectiva – caso mais simples Centro de projeção na origem, Plano de projeção em z=d. Plano de projeção y P(x,y,z) x Pp(xp,yp,d) z d

Projeção perspectiva – caso mais simples x P(x,y,z) xp z d y yp y P(x,y,z) x z Pp(xp,yp,d) d z P(x,y,z) d

Ponto como matriz coluna (pós-multiplicação) Escalas, Rotações Translações x’ y’ z’ w’ a d g dx b e h dy c f i dz 0 0 0 1 x y z 1 = Projeções Determinar a matriz perspectiva.

Projeção perspectiva . x’ y’ z’ w 1 1/d x y z 1 = Atenção! 1 1/d x y z 1 . = Atenção! Esta formulação é para centro de projeção na origem. w = z/d XP = x’ / w YP = y’ / w ZP = z’ / w = d