Decomposição de funções racionais PRÓPRIAS Se 𝑓 𝑥 = 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) é racional própria e 𝑄 𝑥 = 𝑥− 𝑥 1 𝑥− 𝑥 2 ⋯(𝑥− 𝑥 𝑛 ) com 𝑥− 𝑥 𝑖 ≠ 𝑥− 𝑥 𝑗 𝑠𝑒 𝑖≠𝑗, então existem constantes (únicas) 𝐴 1 , 𝐴 2 ,⋯, 𝐴 𝑛 tais que 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) = 𝐴 1 𝑥− 𝑥 1 + 𝐴 2 𝑥− 𝑥 2 +⋯+ 𝐴 𝑛 𝑥− 𝑥 𝑛 .

Sobre fatoração de termos quadráticos Lembre-se de que: 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=𝑎(𝑥− 𝑥 ′ )(𝑥− 𝑥 ′′ ) em que 𝑥 ′ 𝑒 𝑥′′ são as raízes do polinômio de segundo grau, ou seja, fazem com que 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 Exemplo: 𝑥 2 −5𝑥+6= 𝑥−2 .(𝑥−3) 𝑥 2 −12𝑥+35= 𝑥−5 .(𝑥−7)

Sobre soma e produto das raízes do trinômio 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 Lembre-se de que para 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0, sendo 𝑥 ′ 𝑒 𝑥′′ as raízes então 𝑥 ′ + 𝑥 ′′ =− 𝑏 𝑎 𝑒 𝑥 ′ . 𝑥 ′′ = 𝑐 𝑎 Exemplo: encontrar, mentalmente, as raízes de 𝑥 2 −14𝑥+48=0. Procure por dois números 𝑥 ′ 𝑒 𝑥′′ tais que 𝑥 ′ + 𝑥 ′′ =14 𝑒 𝑥 ′ . 𝑥 ′′ =48 Não é difícil perceber que: 𝑥 ′ =6 e 𝑥 ′′ =8.

Exemplo 1 Decompor em frações parciais 2𝑥+5 𝑥 2 −10𝑥+21 1ª providência: fatorar o denominador Para tal, precisamos de conhecer suas raízes, ou seja, números que fazem com que 𝑥 2 −10𝑥+21=0

Exemplo 1 Decompor em frações parciais 2𝑥+5 𝑥 2 −10𝑥+21 1ª providência: fatorar o denominador Procure dois números que adicionados dê 10 e multiplicados dê 21. Não é difícil. _____+_____=10 _____×_____=21

Exemplo 1 Decompor em frações parciais 2𝑥+5 𝑥 2 −10𝑥+21 1ª providência: fatorar o denominador Procure dois números que adicionados dê 10 e multiplicados dê 21. Não é difícil. 3+7=10 3×7=21

Exemplo 1 Decompor em frações parciais 2𝑥+5 𝑥 2 −10𝑥+21 1ª providência: fatorar o denominador Assim, as raízes do polinômio que está no denominador são: 𝑥 ′ =3 e 𝑥 ′′ =7. Desse modo, 𝑥 2 −10𝑥+21= 𝑥−3 .(𝑥−7)

Exemplo 1 Decompor em frações parciais 2𝑥+5 𝑥 2 −10𝑥+21 2ª providência: Escrever a fração original com o denominador fatorado. 2𝑥+5 𝑥 2 −10𝑥+21 = 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7)

Exemplo 1 Decompor em frações parciais 2𝑥+5 𝑥 2 −10𝑥+21 3ª providência: Escrever a decomposição genérica 2𝑥+5 𝑥 2 −10𝑥+21 = 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7) = 𝐴 𝑥−3 + 𝐵 𝑥−7

Exemplo 1 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7) = 𝐴 𝑥−3 + 𝐵 𝑥−7 Você deve descobrir os valores das constantes A e B. Há pelo menos três formas de fazer isso. 1ª Solução: encontre o mínimo múltiplo comum no primeiro membro e compare o polinômio do numerador da fração da esquerda com o polinômio do numerador da direita.

Exemplo 1 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7) = 𝐴 𝑥−3 + 𝐵 𝑥−7 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7) = 𝐴 𝑥−7 +𝐵(𝑥−3) 𝑥−3 .(𝑥−7) Já que os denominadores já são iguais, resta pedir que sejam iguais também os numeradores. Assim, devemos ter: 2𝑥+5=𝐴 𝑥−7 +𝐵 𝑥−3 ∀𝑥∈ℝ

Exemplo 1 2𝑥+5=𝐴 𝑥−7 +𝐵(𝑥−3) Agora, desenvolvendo o membro direito ficaremos com: 2𝑥+5=𝐴𝑥−7𝐴+𝐵𝑥−3𝐵 2𝑥+5=(𝐴+𝐵)𝑥−7𝐴−3𝐵

Exemplo 1 2𝑥+5=(𝐴+𝐵)𝑥−7𝐴−3𝐵 Comparando os polinômios passaremos a ter o seguinte sistema: 𝐴+𝐵=2 −7𝐴−3𝐵 =5 Observe que esse sistema 2x2 apareceu porque tínhamos um denominador com DOIS FATORES LINEARES DISTINTOS. Se o número de fatores fosse quatro, o sistema seria 4x4. Sabe resolver um sistema assim? Um pouco trabalhoso, não? Vamos continuar com a resolução.

Exemplo 1 𝐴+𝐵=2 −7𝐴−3𝐵 =5 Vamos multiplicar ambos os membros por 3? Ficaremos com: 3.𝐴+3.𝐵=3.2 −7𝐴−3𝐵 =5 ⇔ 3𝐴+3𝐵=6 −7𝐴−3𝐵 =5 Adicionando as duas equações teremos: 3𝐴−7𝐴=6+5 −4𝐴=11⇒𝐴=− 11 4 .

Exemplo 1 𝐴+𝐵=2 −7𝐴−3𝐵 =5 Agora, como 𝐴=− 11 4 , substituindo esse valor na primeira equação (por exemplo) ficaremos com: − 11 4 +𝐵=2⇔𝐵=2+ 11 4 = 19 4 . Assim, 𝐴=− 11 4 𝑒 𝐵= 19 4

Exemplo 1 Desse modo, 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7) = 𝐴 𝑥−3 + 𝐵 𝑥−7 ⇔ 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7) = − 11 4 𝑥−3 + 19 4 𝑥−7 e a decomposição está feita.

Exemplo 1 Qual é o problema ou a limitação desse procedimento? Fica muito trabalhoso se estiver diante de situações onde o denominador é um polinômio com três ou mais fatores distintos. O sistema passa a ser 3x3, 4x4, 5x5 etc. É possível resolver esses sistemas? Claro que sim. O método de escalonamento está aí para isso, mas, se possível, vamos usar um caminho com menos espinhos.

Exemplo 1 Do slide 12 temos que 2𝑥+5=𝐴 𝑥−7 +𝐵 𝑥−3 ∀𝑥∈ℝ 2ª Solução: Consiste em fazer uso do “∀𝑥∈ℝ” e do fato de que existe uma única solução (não vamos discutir o porquê disso... Teremos fé ;-))

Exemplo 1 Do slide 12 temos que 2𝑥+5=𝐴 𝑥−7 +𝐵 𝑥−3 ∀𝑥∈ℝ 2ª Solução: Ora, se a relação é válida para TODO número real, em particular deve valer para alguns valores que escolheremos a dedo. Qual seria um bom valor para colocar no lugar do “x”?

Exemplo 1 Do slide 12 temos que 2𝑥+5=𝐴 𝑥−7 +𝐵 𝑥−3 ∀𝑥∈ℝ 2ª Solução: A ideia é deixar apenas um parâmetro. Por exemplo: se queremos descobrir o valor de “A”, então a parcela que está com o “B” deve anular e isso acontece se “𝑥=3”. Assim, fazendo 𝑥=3, ficaremos com:

Exemplo 1 Do slide 12 temos que 2𝑥+5=𝐴 𝑥−7 +𝐵 𝑥−3 ∀𝑥∈ℝ [𝑥=3] 2.3+5=𝐴 3−7 +𝐵 3−3 ⇔ 11=𝐴 −4 +𝐵 0 Não importa qual é o valor de “B”, o produto “𝐵.0=0” sempre e assim,

Exemplo 1 11=𝐴 −4 +0 de onde vem que 𝐴=− 11 4 . De volta a mesma expressão: 2𝑥+5=𝐴 𝑥−7 +𝐵 𝑥−3 ∀𝑥∈ℝ podemos encontrar o valor de “B” se a parcela com o “A” se anular e isso ocorrerá se 𝑥=7. Daí,

Exemplo 1 2𝑥+5=𝐴 𝑥−7 +𝐵 𝑥−3 ∀𝑥∈ℝ [𝑥=7] 2.7+5=𝐴 7−7 +𝐵 7−3 ⇔ 14+5=𝐴 0 +𝐵 4 19=0+4𝐵 de onde vem que 𝐵= 19 4

Exemplo 1 Desse modo, temos mais uma vez, 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7) = 𝐴 𝑥−3 + 𝐵 𝑥−7 ⇔ 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7) = − 11 4 𝑥−3 + 19 4 𝑥−7 e a decomposição está feita.

Exemplo 1 Do slide 11 temos que 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7) = 𝐴 𝑥−3 + 𝐵 𝑥−7 3ª Solução: Consiste em fazer uso do “∀𝑥∈ℝ” e do fato de que existe uma única solução logo na igualdade inicial depois que deixar o parâmetro que quer encontrar seu valor “desacompanhado” da variável “x”.

Exemplo 1 Do slide 11 temos que 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7) = 𝐴 𝑥−3 + 𝐵 𝑥−7 Veremos que chegaremos no seguinte: 𝐴= 2𝑥+5 𝑥−7 𝑥=3 = 2.3+5 3−7 = 11 −4 =− 11 4 𝐵= 2𝑥+5 𝑥−3 𝑥=7 = 2.7+5 7−3 = 19 4

Exemplo 1 Do slide 11 temos que 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7) = 𝐴 𝑥−3 + 𝐵 𝑥−7 Vejamos como: [A] Para descobrir o valor de “A” multiplicamos ambos os membros pelo DENOMINADOR de [A]. Ficamos então com:

Exemplo 1 2𝑥+5 .(𝑥−3) 𝑥−3 .(𝑥−7) = 𝐴(𝑥−3) 𝑥−3 + 𝐵(𝑥−3) 𝑥−7 Cancelando os termos idênticos ficaremos com 2𝑥+5 𝑥−7 =𝐴+ 𝐵(𝑥−3) 𝑥−7 Agora, pense em uma escolha boa para o valor que vai atribuir ao “x”. Deve ser tal que a parcela que está com o “B” seja anulada. Logicamente, devemos fazer 𝑥=3. Ficaremos então com:

Exemplo 1 2𝑥+5 𝑥−7 𝑥=3 =𝐴+ 𝐵 𝑥−3 𝑥−7 𝑥=3 de onde vem (já que a última parcela é nula) que 2𝑥+5 𝑥−7 𝑥=3 =𝐴 Ou seja, 𝐴= 2𝑥+5 𝑥−7 𝑥=3 = 2.3+5 3−7 = 11 −4 =− 11 4

Exemplo 1 Do slide 11 temos que 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7) = 𝐴 𝑥−3 + 𝐵 𝑥−7 Vejamos como: [B] Para descobrir o valor de “B” multiplicamos ambos os membros pelo DENOMINADOR de [B]. Ficamos então com:

Exemplo 1 2𝑥+5 .(𝑥−7) 𝑥−3 .(𝑥−7) = 𝐴(𝑥−7) 𝑥−3 + 𝐵(𝑥−7) 𝑥−7 Cancelando os termos idênticos ficaremos com 2𝑥+5 𝑥−3 = 𝐴(𝑥−7) 𝑥−3 +𝐵 Agora, pense em uma escolha boa para o valor que vai atribuir ao “x”. Deve ser tal que a parcela que está com o “A” seja anulada. Logicamente, devemos fazer 𝑥=7. Ficaremos então com:

Exemplo 1 2𝑥+5 𝑥−3 𝑥=7 = 𝐴(𝑥−7) 𝑥−3 𝑥=7 +𝐵 de onde vem (já que a primeira parcela é nula) que 2𝑥+5 𝑥−7 𝑥=7 =𝐵 Ou seja, 𝐵= 2𝑥+5 𝑥−3 𝑥=7 = 2.7+5 7−3 = 19 4

Exemplo 1 Desse modo, temos mais uma vez, 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7) = 𝐴 𝑥−3 + 𝐵 𝑥−7 ⇔ 2𝑥+5 𝑥−3 .(𝑥−7) = − 11 4 𝑥−3 + 19 4 𝑥−7 e a decomposição está feita.

Tudo de bom. Luís Cláudio LA Simples assim... Tudo de bom. Luís Cláudio LA

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