Campus de Caraguatatuba Aula 8: Noções Básicas sobre Erros (2) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 10 Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 8: Noções Básicas sobre Erros (2)

Sistema Binário (1) No sistema binário, cada número é representado de uma forma única, mediante uma combinação de símbolos 0 e 1, que, representa uma combinação de “estados 1” e “estados 0” dos bits que formam um conjunto ordenado. Designa-se por bi cada bit deste conjunto ordenado, no qual o índice i corresponde ao número da casa que o bit está ocupando. Seguindo a lógica de que cada posição em número decimal vale 10 vezes mais que a posição imediatamente a sua direita e 10 vezes menos que a posição imediatamente a sua esquerda. No sistema binário cada casa vale 2 vezes mais que aquela que está imediatamente a sua direita e 2 vezes menos que a que está a sua esquerda. Desta forma, tem-se que, se o valor da primeira casa da direita for 20, a segunda valerá 20 x 2 = 21, e assim consecutivamente para a esquerda. Os valores das casas ficam claros no seguinte esquema a seguir.

Sistema Binário (2) Se b0, b1, b2,..., são os bits que se coloca em cada posição, a quantidade representada valerá:

Sistema Binário (3) Para evitar a representação mediante o somatório, adota-se a convenção de separar mediante vírgulas as casas b0 e b-1, de tal modo que a representação fique: Em que bi = 0 ou 1.

Sistema Binário (4) Exemplo 1: O número binário 10011,00 representa a seguinte quantidade

Sistema Binário (5) A partir do conhecimento sobre a base, pode-se saber quantos números ou caracteres podem ser representados de acordo com o número de bits utilizados. Sabe-se, por exemplo, que com um bit pode-se representar dois valores diferentes, 0 e 1. Se houver 2 bits, então se pode representar 4 diferentes valores com as combinações dos valores possíveis de cada bit. Isto é, chamando-se o primeiro bit de b1 e o segundo de b2, podemos ter todos valores possíveis da combinação de valores b1b2. Como tanto b1 quanto b2 podem assumir o valor 0 ou 1, tem-se as seguintes possíveis combinações, mostradas a seguir:

Sistema Binário (6)

Sistema Binário (7) Da mesma forma, caso se tenha 3 bits, pode-se combinar os valores destes três bits e obter-se 8 diferentes valores: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 e 111. Logo, pode-se concluir que, quando se tem 1 bit consegue-se representar 2 valores distintos (21 valores); Quando se tem 2 bits, consegue-se representar 4 valores distintos (22 valores). Quando se tem 3 bits, pode-se representar 8 valores diferentes (23 valores). Logo, para um número n de bits, pode-se representar 2n valores distintos. Com isso, com 8 bits pode-se representar 28 = 256 valores distintos.

Conversão de Bases (1) Conforme visto nos sistemas de numeração apresentados, cada um deles possui uma certa proximidade com os outros. Isto torna possível que valores representados em um dado sistema possam ser convertidos para outro sistema. Isto é necessário porque o ser humano trabalha no sistema decimal e o computador, no sistema binário. Por isso, deve-se poder converter valores decimais em valores binários. Da mesma forma, deve-se poder entender os dados gerados pelo computador, o que nos leva a converter valores binários em decimais. Como, muitas vezes valores hexadecimais são usados para representar dados a serem armazenados na memória, de forma a facilitar o trabalho do programador, também deve-se saber converter valores decimais para hexadecimais e valores hexadecimais para valores binários, que são os valores realmente armazenados na memória.

Conversão de Bases (2) O caminho contrário é igualmente importante. Converter valores de um sistema de numeração para outro é um processo chamado de conversão de bases. Os conceitos vinculados à conversão de base são necessários à construção dos computadores. Basicamente estes conceitos são usados para a construção de circuitos digitais que, juntamente com as chamadas portas lógicas são combinados formando o coração do processador, a ULA (Unidade Aritmética e Lógica), e todas as outras partes que o formam. Por meio de uma série de circuitos que fazem somas, subtrações, comparações, entre outros, os bits podem ser interpretados e arranjados da forma que se quiser.

Decimal X Binário (1) Método da Divisão Sucessiva divisor dividendo quociente resto Método da Divisão Sucessiva

Decimal X Binário (2) Exemplo 2: Transformar (197)10 em binário.

Decimal X Binário (3) Exemplo 3: Transformar (357)10 em binário. Faz-se a leitura de todos os restos da direita para esquerda, que fica da seguinte forma: 1 0 1 1 0 0 1 0 1

Decimal X Binário (4)

Multiplicação Sucessiva Decimal X Binário (5) Método da Multiplicação Sucessiva

Decimal X Binário (6) Exemplo 4: Transformar (0,1875)10 em binário.

Decimal X Binário (7) Exemplo 5: Transformar (0,1)10 em binário. ou

Decimal X Binário (8)

Decimal X Binário (9)

Decimal X Binário (10) Sintetizando, decimal para binário

Binário X Decimal (1) A conversão de binário em decimal corresponde simplesmente a utilizar a ideia vista anteriormente de associação de valores a cada posição (casa) do número a partir da base 2, de forma que cada posição mais à esquerda vale duas vezes mais que a anterior. O valor de cada posição é multiplicado pelo valor do bit da posição. Exemplo 6: Converter (11001)2 em decimal.

Binário X Decimal (2) Exemplo 7: Converter (01100001)2 em decimal.