PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA INTRODUÇÃO Professor: D.Sc. Dalessandro Soares Vianna dalessandrosoares@yahoo.com.br dalessandro@ucam-campos.br dalessandro@pesquisador.cnpq.br

Agradecimentos O material apresentado durante este curso é baseado nas notas de aula dos professores: Edwin Benito Mitacc Meza e Fermín Alfredo Tang Montané, professores do programa de Mestrado em Pesquisa Operacional e Inteligência Computacional da Universidade Candido Mendes - Campos.

A disciplina busca possibilitar ao Aluno: Objetivos A disciplina busca possibilitar ao Aluno: Fornecer conhecimentos de Pesquisa Operacional para a formulação e solução de problemas associados ao mundo real.

O que é Pesquisa Operacional? A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais, tendo como foco a tomada de decisões. Historicamente a PO foi utilizada pela primeira vez com fins bélicos. Como o nome indica, PO é a pesquisa das operações, ou seja, é a investigação das operações ou atividades de uma organização. A natureza da organização pode ser financeira, industrial, militar, governamental, etc.

Um Breve Histórico de PO 1939-1945: Durante a 2a Guerra Mundial, as gerências militares britânica e americana empregaram uma abordagem científica para tratamento de problemas de gerenciamento de recursos escassos (tropas, munição, remédios etc.), de forma eficaz. Os cientistas empregados tinham que pesquisar as operações militares e as atividades dentro de cada operação para sugerir alternativas viáveis. Um conjunto de métodos e modelos matemáticos aplicados à resolução de complexos problemas nas operações (atividades) de uma organização 1947 : Início do interesse das indústrias na utilização das técnicas desenvolvidas na área militar, para auxiliar no planejamento e controle da produção ...2007 : Hoje em dia, as técnicas de pesquisa operacional estão sendo aplicadas em diferentes áreas do mundo real.

Quais são os ramos mais importantes desenvolvidos na PO? Os ramos da PO Quais são os ramos mais importantes desenvolvidos na PO? PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA Programação Linear (LP) Problemas de distribuição de recursos. Problemas de transporte Problemas de planejamento da produção Problemas de corte de materiais, etc. Programação Não Linear Programação Dinâmica Programação Inteira Otimização Global

Quais são os outros ramos da PO? Análise Estatística Teoria de Jogos Teoria de Filas Organização do tráfego aéreo Construção de barragens, etc. Simulação Gestão de estoques, etc.

Pesquisa Operacional: A Ciência de Decisão Uma decisão pode ser Classificada em estruturada se envolve uma serie de fatores que possam ser quantificados, e logo equacionados; Pesquisa Operacional é uma ferramenta de apoio à decisão estruturada; Alguns problemas são surpreendentemente equacionáveis!!!

Principais Passos na PO para a solução de um problema Modelagem Equipe de PO Formulação Solução Avaliação Decisão Domínio Definição do Problema Mundo Real Implementação

1º Passo: Formulação (1) É muito difícil procurar uma solução “certa” para um problema mal formulado !!! Primeiramente a equipe de PO deve formular corretamente o problema em estudo. O problema deve ser analisado a partir de um sistema integrado, onde interatuam várias componentes, todas elas interdependentes, para o qual é preciso obter uma solução ótima que satisfaça a todas elas.

1º Passo: Formulação (2) Para formular corretamente um problema de PO é preciso definir corretamente: os objetivos que se pretendem alcançar com a resolução do problema. as restrições (limitações) existentes no sistema em geral, definidas pelas relações de interdependências entre as componentes integrantes do sistema.

O que é um modelo ? 2º Passo: Construção do Modelo Matemático Um modelo é uma representação simplificada de uma situação da vida real. Um modelo reflete a essência do problema, representando as relações de interdependência existentes entre todas as componentes da situação em estudo.

O que é um modelo Matemático ? Um modelo matemático é uma representação simplificada de uma situação da vida real, formalizado com símbolos e expressões matemáticas. Um exemplo da Física: Espaço = velocidade x tempo A modelagem matemática de um problema possibilita uma melhor compreensão da essência do mesmo !!!

Modelo Matemático de um Problema de Otimização Um modelo matemático de um Problema de Otimização é definido por: um número N de decisões a ser tomadas, denominadas variáveis de decisão; uma função matemática, que representa a medida da vantagem (desvantagem) da tomada de decisão denominada função objetivo; um conjunto de restrições associadas às variáveis de decisão denominadas restrições do modelo; um conjunto de constantes (coeficientes) da função objetivo e das restrições denominadas parâmetros do modelo.

2º Passo: Construção do Modelo Matemático A PO estrutura e formula um problema de otimização da vida real dentro dum modelo matemático que reflete a essência do problema, de forma que as decisões (soluções) obtidas, possam ser aplicadas na situação real.!!!

3º Passo: Resolução Determinar uma Solução Uma vez realizada a formulação matemática do problema, é preciso aplicar métodos e algoritmos desenvolvidos para a resolução do correspondente modelo de PO. Para isto podem ser utilizados os softwares disponíveis para a resolução de modelos de PO. Se o modelo foi corretamente formulado, a solução obtida pode ser uma boa aproximação da solução a implementar na situação real. “Pode ser” em lugar de “é”. Qualquer modelo, como representação do problema, possui um certo grau de incerteza, motivado fundamentalmente pelas simplificações efetuadas. Realmente uma solução ótima do modelo pode estar longe de ser a solução ótima na situação real.

3º Passo: Resolução Análise de Sensibilidade Neste passo é incorporada outro tipo de análise denominada "análise de sensibilidade e pós-otimização" em que é abordado o comportamento da solução ótima quando são efectuadas pequenas alterações em certos parâmetros do modelo. Para isto, é preciso determinar quais são os parâmetros do modelo que mais influenciam a solução ótima (denominados parâmetros “sensíveis”).

4º Passo: Avaliação Neste passo serão avaliados, o modelo escolhido e as soluções obtidas. Dependendo das conclusões da avaliação, será determinado o próximo passo a seguir: se a avaliação é satisfatória: proceder à tomada de decisão, que prepara as condições para a implementação da solução obtida na situação real. se a avaliação é não satisfatória: proceder à reformulação, remodelagem e resolução do novo modelo, a partir dos resultados obtidos no processo de avaliação e também na análise de pós-otimização

5º Passo: Tomada de Decisão Uma vez concluída satisfatoriamente a etapa de avaliação, é preciso elaborar um relatório bem documentado que possibilite a implementação da situação obtida na situação real. Este relatório deve incluir: o modelo escolhido uma metodologia bem detalhada com todos os passos que sejam necessários seguir para a implementação da solução obtida.

6º Passo: Implementação Neste passo efetua-se a implementação das soluções obtidas usando a metodologia elaborada. No processo de implementação é preciso envolver ativamente à administração e todos os componentes da organização que atuam no sistema em estudo.

Conclusões A formulação e resolução de modelos matemáticos para os Problemas de Otimização representam apenas uma parte de todo o processo que envolve um estudo de Pesquisa Operacional. Os outros passos aqui mencionados, também são de grande importância para o sucesso da resolução do problema em estudo.

Planejamento Social !!!!! Exemplo: Vamos seguir um exemplo de um problema para ser modelado. É um problema corriqueiro, que já aconteceu com algum de vocês. Planejamento Social !!!!!

Exemplo: Considere que você está saindo com duas namoradas: Ana Paula Arosio e Scheila Carvalho.

Exemplo: Considere que você está saindo com dois namorados: Prof. Tang e Prof. Edwin.

Qual é a decisão? Se você pudesse, estou certo, planejaria sair com as duas ao mesmo tempo, e a todo tempo, acertei? Mas, sair com as duas ao mesmo tempo não dá. Elas não aceitariam sair com você juntas. Ciumentas! E, sair todo dia também não dá. Você não tem dinheiro (entre outras coisas) para sair todo dia. Para garantir a sua felicidade, considerando estes problemas desagradáveis, você precisa decidir quantas vezes na semana sair com cada uma!

A decisão Chamemos assim: a quantidade de vezes que você vai sair com a Ana por semana; a quantidade de vezes que você vai sair com a Scheila por semana;

Variáveis de decisão O que nós criamos, e , são as chamadas Variáveis de Decisão; As variáveis de decisão são aqueles valores que representam o cerne do problema, e que podemos escolher (decidir) livremente; Veja que, a princípio, você pode sair quantas vezes quiser com Ana Paula e com Scheila

Problemas Financeiros Entretanto, existe um pequeno problema: Ana é chique e gosta de lugares caros. Uma noite com ela custa R$180,00; Scheila é mais simples, gosta de passeios baratos. Sair com ela custa só R$100,00. Mas a sua renda semanal é de apenas R$ 800,00! Como fazer para garantir que você não vai se endividar?

Garantindo a mesada Se você sai com a Ana vezes no mês, e cada vez gasta R$180,00, então você gasta R$ 180 por mês!; Fazendo o mesmo raciocínio para Scheila obtemos o seguinte:

Problemas com o Relógio As diferenças entre as duas não são apenas no volume de gastos: Scheila é muito agitada. Cada vez que você sai com ela gasta em média 4 horas do seu precioso tempo; Quando sai com Ana, que é mais sossegada, você gasta apenas 2 horas.

Garantindo os estudos Considere que os seus afazeres profissionais/escolares só lhe permitem 20 horas de lazer por semana; Usando a notação anterior, como fazer para garantir que não vai extrapolar este tempo?

Pensando em tudo junto: Restrições FALTA UM OBJETIVO !!!!!!!!

Objetivo É preciso pensar no objetivo final. O que eu quero, para obter a maior felicidade? Algumas opcões: Sair a maior quantidade de vezes por semana possível;

Objetivo Suponha que você gosta da Sheila duas vezes mais do que gosta da Ana; Assim, você pode criar um índice que representa sua preferência:

Criamos dos modelos diferentes!!!

Resolução: primeiro objetivo 5 10 x1 x2 180x1 + 100x2 <= 800 (2, 4) Resultado Inteiro Ótimo = 6 2x1 + 4x2 <= 20 x1 + x2 = 0 (2.3, 3.8) Resultado Ótimo = 6,1

Objetivo: problemas de otimização Em problemas reais de otimização busca-se maximizar ou minimizar uma quantidade específica, chamada objetivo, que depende de um número finito de variáveis de entrada; As variáveis de entrada podem ser: Independentes uma das outras Relacionadas umas com as outras por meio de uma ou mais restrições

Programação Matemática Um problema de programação matemática é um problema de otimização no qual o objetivo e as restrições são expressas como funções matemáticas e relações funcionais.

Programação Linear Um problema de programação matemática é linear se a função objetivo e cada uma das restrições forem lineares das respectivas variáveis de entrada

Modelagem matemática

Modelar o seguinte problema Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranja a R$20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a R$10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a R$30,00 de lucro por caixa. De que forma ele deverá carregar o caminhão para obter o lucro máximo?