Redes ADSA António Câmara

Redes Método do caminho mais curto Localização de equipamentos Minimum spanning tree Carteiro chinês Caixeiro viajante Links

Redes Redes são sistemas de linhas (arcos) ligando pontos (nós). Exemplos: Vias de comunicação Sistemas de rega, abastecimento de água e drenagem Linhas de alta tensão Linhas telefónicas Percursos alternativos (no espaço e no tempo)

Método do caminho mais curto Dada uma rede de n nós (1, 2, …, n) correspondente a cada arco (i, j) existe um número dij0 (distância, custo, tempo) O problema consiste em determinar o comprimento do caminho mais curto e o percurso desse caminho entre a origem, nó 1, e o nó de destino, nó n

Método do caminho mais curto 2 9 3 2 6 6 7 3 1 3 3 1 4 5 3 4

Método do caminho mais curto Determinar o caminho mais curto do nó 1 ao nó 6 Aplicação do método de Dijsktra: Atribuir um rótulo a todos os nós que pode ser temporário ou permanente Um rótulo temporário representa um limite superior na distância mais curta do nó 1 e aquele nó Um rótulo permanente é a distância mais curta entre o nó 1 e aquele nó

Método do caminho mais curto L(0)= [0, 3, 7, 4, , ] * * rótulo permanente L(1)= [0, 3, 7, 4, , ] * * Para cada um dos restantes nós, calcule-se um número igual à soma do rótulo permanente do nó 2 e a distância do nó 2 ao nó j

Método do caminho mais curto Compare-se este número com o rótulo temporário do nó j. O menor destes números passa a ser o novo rótulo do nó j. Exemplo: Para o nó 3, min (3+2, 7)= 5 L(2)= [0, 3, 5, 4, , 12] * * * Usa-se agora o rótulo permanente do nó 4 como âncora.

Método do caminho mais curto Calculam-se os novos rótulos temporários dos nós 3, 5 e 6 L(3)= [0, 3, 5, 4, 7, 12] * * * * O nó 3 assume assim um rótulo permanente L(4)= [0, 3, 5, 4, 7, 11] * * * * * Usando o rótulo permanente do nó 5, mudamos o nó 6 para 10

Método do caminho mais curto L(5)= [0, 3, 5, 4, 7, 10] * * * * * * Para determinar a sequência de nós no caminho mais curto do nó 1 ao nó 6 opera-se no sentido inverso O nó j precede o nó 6 se a diferença entre os rótulos permanentes dos nós 6 e j iguala o comprimento do arco j a 6 Percurso solução 6-5-4-1

Método do caminho mais curto Localização de infraestruturas lineares: Afectar os arcos de índices reflectindo custos e/ou impactes ambientais Método de Dijkstra pode ser aplicado em sistemas raster (pixeis são nós da rede) e vectoriais Método dos k-caminhos mais curtos pode ser aplicado para gerar alternativas

Método do caminho mais curto Enumeração de alternativas em planeamento de usos do solo Célula 1 Célula 2 Célula3 Uso1 Uso 1 Uso 1 Nó fict. Uso 2 Uso 2 Uso 2 Nó fict. Uso 3 Uso 3 Uso 3

Localização de equipamentos Método do caminho mais curto pode ser utilizado na localização de dois tipos de equipamentos: Equipamentos que convém localizar minimizando a distância média desses equipamentos à população que os utiliza. Exemplo: serviços não urgentes como os correios

Localização de equipamentos Equipamentos que convém localizar minimizando a máxima distância desses equipamentos aos potenciais utilizadores. Exemplo: serviços de urgência como os quartéis de bombeiros e hospitais

Localização de equipamentos Representar as possíveis localizações como nós Indicar para esses nós os valores da procura anual (pj) Comprimentos dos arcos reflectem as distâncias entre os locais Método de solução: Calcular a matriz dij

Localização de equipamentos A distância total percorrida anualmente pelos potenciais utilizadores de um local i e residentes num local j pode ser expressa pela matriz [pj x dij] Pode-se então estimar as distâncias total e média percorridas por todos os potenciais utilizadores da região se o equipamento se localizar no nó I, calculando o somatório pj.dij e depois dividindo por pj

Minimum spanning tree Uma “spanning tree” é uma árvore de um grafo G que contém o conjunto completo de nós N de G. A “minimum spanning tree” é a árvore de todas as possíveis “spanning trees” de G com a distância total mínima Aplicação no desenho de “pipelines” e redes de drenagem

Minimum spanning tree Algoritmo de Larson e Odoni: Inicie-se a construção da “minimum spanning tree” num nó i. Encontre-se o nó mais próximo de i, diga--se j, ligado a i. Se todos os nós estão ligados, pare-se. A “minimum spanning tree” está encontrada. Se não, avance-se para o passo seguinte. Encontre o nó no conjunto daqueles ainda isolados mais próximo de um nó ligado e ligue-o a esse nó

Minimum spanning tree Grafo inicial 7 B A 5 6 5 10 C G 9 7 7 6 9 5 5 D

Minimum spanning tree Começando em A, liga-se a G…. B A 5 6 5 C G 6 5 F E

Carteiro chinês O problema do carteiro chinês consiste em cobrir todos os arcos de uma rede partindo e chegando ao mesmo nó percorrendo uma distância total mínima Solução complica-se em redes mistas (incluindo arcos direccionados e outros não direccionados) Relevância em engenharia de ambiente na determinação de circuitos de remoção de recolha do lixo doméstico

Carteiro chinês Conceitos base: Nó ímpar- um nó de que parte ou em que chega um numero ímpar de arcos Teorema de Euler- um grafo G possui um circuito Euler (ou caminho Euler) se e só se possuir zero (ou exactamente dois) nós ímpares

Carteiro chinês Exemplos

Carteiro chinês Algoritmo de Larson e Odoni: Identifiquem-se todos os nós ímpares de um grafo G. Admita-se que o seu número é m. Encontre-se o “matching” mais curto dos m nós ímpares entre os dois nós que constituem cada um dos m/2 pares. Para cada um dos pares de nós ímpares no “matching” mais curto encontrado no passo anterior, adicionem-se ao grafo G as arestas do percurso mais curto entre os dois nós do par. Obtém-se assim um grafo G1 sem nós ímpares

Carteiro chinês Encontre-se um circuito Euler em G1. Este circuito é a solução do problema do carteiro chinês no grafo original G Exemplo 8 e d 5 5 6 6 c 5 5 8 b a

Carteiro chinês Alternativas Melhor solução: duplicar d-a e e-b Duplicar d-e e a-b Duplicar d-a e e-b Duplicar d-c, c-b, a-c e c-e Melhor solução: duplicar d-a e e-b

Caixeiro viajante O problema do caixeiro viajante consiste na definição de um circuito mais curto ligando nós, sabendo-se a matriz das distâncias entre esses nós Aplicação na recolha de lixos em locais específicos como no caso da recolha de lixos nos hospitais

Caixeiro viajante Algoritmo de Larson e Odoni Encontre-se a “minimum spanning tree” que cubra n nós. Chame-se a esta árvore T. Seja n0 o numero de nós impares dos n nós de T. Encontre-se o “matching” mais curto entre estes nós utilizando um algoritmo apropriado. Considere-se o grafo consistindo dos arcos incluidos no “matching” óptimo como M. Crie-se o grafo H consistindo da união de M e T.

Caixeiro viajante O grafo H é um grafo Euleriano porque não contém nenhum nó ímpar. Desenhe-se o circuito Euleriano começando e acabando no nó desejado. Este circuito é a solução aproximada do problema do caixeiro viajante.

Caixeiro viajante Exemplo: “Minimum spanning tree” 8 * 11 31 3 1 9 25 29 29 * 36 7 2 36 * * 10 34 5 27 * 4 * 6

Caixeiro viajante Construção do grafo H 8 * 11 31 3 1 9 25 29 29 * (29) 36 7 2 * 36 * 10 34 5 (43) 27 * 4 * 6 (71)

Caixeiro viajante Solução aproximada (duração total 371) 8 3 1 9 7 2 10 5 4 6

Caixeiro viajante Solução real (duração total 331) 8 3 1 9 7 2 10 5 4 6

TPC 3 Caminho mais curto de 1 ou 2 a 8 9 8 8 3 6 8 1 5 8 7 10 7 4 3 6

TPC 3 Encontrar a “minimum spanning tree” da seguinte rede Nós 1 2 3 4 1 - 15 25 40 2 15 - - 30 3 25 - - 17 4 40 30 17 -

TPC 3 Resolver o problema do carteiro chinês para o seguinte grafo c 7 5 d 9 b 4 7 8 8 e 4 7 a 9 f