BCC101 Matemática Discreta I CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/7/2017 BCC101 Matemática Discreta I Lógica de Predicados Rex Page 1

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/7/2017 O que é um Predicado? Predicado Coleção parametrizada de proposições Exemplos: P(x): x é par D(x,y): x é divisível por y Tipicamente uma proposição diferente para cada x P(2) é True P(5) é False D(10,5) é True D(20,3) é False Domínio (ou universo de discurso) Conjunto de valores que as variáveis podem assumir Deve ser especificado explicitamente Especifica uma propriedade de um objeto ou uma relação entre objetos

Conjunto verdade de um Predicado Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/7/2017 Conjunto verdade de um Predicado Seja P(x) um predicado e suponha que P(x) tem domínio D O conjunto verdade de P(x) é o conjunto dos xD tais que P(x) é True { x D | P(x) } Exemplo P(x): 5<x<9 e D=Z { x D | P(x)} = {6,7,8}

 — Quantificador Universal, (para todo) Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/7/2017  — Quantificador Universal, (para todo) x p(x) É uma fórmula se p(x) é uma fórmula True se p(x) é True para cada valor de x no Domínio False se existe algum valor de x no Domínio tal que p(x) é False Exemplo – P(x): x é primo D = {2,5,11} - x P(x) é True x P(x) significa P(2)  P(5)  P(11) D = {3,6,9} - x P(x) é False Contra-exemplos: P(6) e P(9) D = N = {0, 1, 2, … } - x P(x) é False x P(x) significa P(0)  P(1)  P(2)  … “” provê uma maneira de escrever fórmulas que teriam um número infinito de símbolos na Lógica Proposicional

 — Quantificador Existencial, (existe) Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/7/2017  — Quantificador Existencial, (existe) x p(x) É uma fórmula se p(x) é uma fórmula True se p(x) é True para algum valor de x no Domínio False p(x) é False para todo valor de x no Domínio Exemplo – P(x): x é primo D = {3,6,9} - x P(x) é True x P(x) significa P(3)  P(6)  P(9) D = {6,9,15,28} - x P(x) é False x P(x) significa P(6)  P(9)  P(15)  P(28) D = N = {0, 1, 2, … } - x P(x) é True x P(x) significa P(0)  P(1)  P(2)  … “” provê uma maneira de escrever fórmulas que teriam um número infinito de símbolos na Lógica Proposicional

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/7/2017 Universo Vazio Qual o significado de x p(x) se o universo de discurso é vazio? x p(x) é True Isso é compatível com o fato de que o  é uma generalização do ∧ e a identidade do ∧ é true. Qual o significado de ∃x p(x) se o universo de discurso é vazio? ∃x p(x) é False Isso é compatível com o fato de que o ∃ é uma generalização do ∨ e a identidade do ∨ é false.

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/7/2017 Exercícios Seja P(x): x == x2 e suponha que o universo é o conjunto dos números inteiros. Qual é o valor verdade de cada uma das afirmações a seguir: x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) P(0) P(1) P(2) P(-1) P(y)

Fórmulas com vários quantificadores Seja N o domínio de discurso N = {0, 1, 2, 3, … } e se R (x,y ) = “x < y”. Q1: O que significa x y R (x,y ) ? Todo número x admite um número maior y Verdadeiro ou falso? Q2: O que significa y x R (x,y ) ? Algum número y é maior que todo x Inverter a ordem dos quantificadores  e  em uma fórmula pode alterar seu sifnificado

Fórmulas com vários quantificadores x.y. p(x,y) é True se p(x,y) é True para todo par (x,y) em DxD Exemplo (D = N): xy y=x+1 -> x < y é True x. y. p(x,y) é True se, para cada x∈D, é possível escolher um y∈D tal que p(x,y) é True Exemplos (D = N): x y y ≥ x é True y.x. p(x,y) é True se existe um determinado y∈D, tal que p(x,y) é True, para todo x∈D Exemplo (D = N): y x y ≥ x é False y. x. p(x,y) é True se existe um par (x,y) ∈ DxD tal que p(x,y) é True Exemplo(D = N): y x y ≥ x é True

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/7/2017 Exercícios Seja Q(x,y): x+y == x-y e suponha que o universo é o conjunto dos números inteiros. Qual é o valor verdade de cada uma das afirmações a seguir: Q(1,1) Q(2,0) y Q(1,y) x Q(x,2) y Q(2,y) x Q(x,y) x y Q(x,y) x y Q(x,y) x y Q(x,y) y x Q(x,y) y x Q(x,y)

Lógica de Predicados – sintaxe formal 11/28/06 Lógica de Predicados – sintaxe formal termo ::= var | func (termo1, …, termon) n ≥ 0 Termos denotam objetos do Domínio formula ::= true | false |pred (termo1, …, termon) n ≥ 0 |(¬ formula) |(formula ∧ formula) |(formula ∨ formula) |(formula -> formula) |(formula <-> formula) |(var. formula) |(var. formula) Fórmulas denotam valores lógicos (T ou F) Precedência dos operadores

Lógica de Predicados - semântica Termos denotam objetos do domínio Termos Domínio = N 2 5 3 6 4 49 constantes 2 5 variáveis x y funções aplicadas a termos x+2 (y+1)2

Lógica de Predicados - semântica Fórmulas denotam valores lógicos A interpretação depende dos valores de x e y -- x e y são variáveis livres x=3, y=6 Fórmulas Bool T F T ou F? x > y (x > y) -> (y+1 = 3) x x=3 x x+3=2y A interpretação não depende do valor de x! -- x é uma variável ligada A interpretação não depende do valor de x, mas depende do valor de y! -- x é uma variável ligada e y é livre

Variáveis livres e ligadas variável ligada variável livre escopo de escopo de escopo de ocorrência ligada ocorrência livre

Traduzindo para Lógica de Predicados Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/7/2017 Traduzindo para Lógica de Predicados G(x,y): x gosta de y João gosta de Maria João gosta de todo mundo Todo mundo gosta de João Maria gosta de alguém Maria não gosta de ninguém Todo mundo gosta de alguém Ninguém gosta de todo mundo João gosta de todo mundo de quem Maria não gosta G(João,Maria) y G(João,y) x G(x,João) y G(Maria,y) ¬y G(Maria,y) x y G(x,y) x y ¬G(x,y) y ¬G(Maria,y)→G(João,y)

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/7/2017 Exercícios Traduza a seguinte sentença para a Lógica de Predicados: Todo número par maior que 2 é a soma de 2 primos ∀x. par(x) ∧ x>2 → ∃y.∃z. primo(y) ∧ primo(z) ∧ x=y+z