Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração -noção de número -representação de números (computadores) -conversão de números -erros Sistemas de numeração e representação de números numa “máquina” digital Objectivo é compreender: História: -o homem primitivo a.C. Mesopotâmia: 60 (sistema de tempo) -romano: regras complicadas (valor posicional) -maias, aztecas e celtas da Europa:20 -árabes:10 (dedos) -mundo digital: 2 1

Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração Representação de números inteiros 942=9* * *10 0 Base 10: Base 10 número geral:N=(d n d n-1 …d 1 d 0 ) 10 =d n *10 n +d n-1 *10 n-1 …+ + d 1 * d 0 *10 0 Número geral: N=(d n d n-1 …d 1 d 0 ) b =d n *b n +d n-1 *b n-1 …+ + d 1 *b 1 + d 0 *b 0 2

Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração Representação de números reais 72,93=7* * * *10 -2 Base 10: Base 10 número geral:x=(d n d n-1 …d 0 d -1 d d -k ) 10 = =d n *10 n +d n-1 *10 n d 0 * d -1 * d -2 * …+ d -k *10 -k Número geral: x=(d n d n-1 …d 0 d -1 d d -k ) b = =d n *b n +d n-1 *b n d 0 *b d -1 *b -1 + d -2 *b -2 +…+ d -k *b -k 3

Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração da base b para a base 10: exemplo: Mudança da base de números inteiros N=(d n d n-1 …d 1 d 0 ) b =(d n ) 10 *(b) n 10 +(d n-1 ) 10 *(b) n-1 10 …+ + (d 1 ) 10 *(b) (d 0 ) 10 *(b) 0 10 (324) 6 =3*6 2 +2*6 1 +4*6 0 = =124 da base 10 para a base b: N=(d n d n-1 …d 1 d 0 ) b = =(d n *b n-1 +…+ d 2 *b 1 + d 1 *b 0 )*b + d 0 *b 0 divisão sucessivas por a base(b)= quociente+ o resto último dígito exemplo: (13) 10 =(1101) :2 da base b para a base c: base b base 10base c 4

Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração da base b para a base 10: exemplo: Mudança da base de números fraccionários x=(d -1 d -2 …d -k ) b =(d -1 ) 10 *(b) (d -2 ) 10 *(b) … + (d -k ) 10 *(b) -k 10 (.324) 6 =3* * *6 -3 = = da base 10 para a base b: b*x=b*(d -1 d -2 …d -k ) b = =d -1 + d -2 *b -1 + …... + d -k *b -k+1 multipl. sucessivas por a base(b)= parte inteira + parte fraccionária (primeiro dígito) exemplo:(0.625) 10 =(0.101) *2= *2= *2=1 0*2…... 5

Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração Notação científica Número de Avogadro: *10 23 ; 60*10 22 ; 0.6*10 24 Notação científica:mb t m- mantissa (normalizada quando b -1 < m <1) b- base t- expoente 6

Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração Representação de números em ponto flutuante Ponto flutuante: representação de números reais usando a notação científica com um número finito (p) para a mantissa e um número finito (q) para o expoente. FP(b,p,q): exemplo:FP(10.6.2) -”overflow”, “underflow” exemplo:Em FP(10.6.2), os números 0.1* e 0.1* não podem ser representados 7

Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração Ponto flutuante no computador (norma IEEE 754) -base binária: possível algarismos são 0 e 1 gravados na memória chamada “bit” -formato simples: -formato duplo: S Expoente Mantissa 1823 S Expoente Mantissa s- 0 para positivos e 1 para negativos t real- (t - 127) formato simples mantissa- p=24, normalizada-----> primeiro algarismo sempre 1 exemplo: … > expoente: ( ) 2 = >t= =3 fracção:(1.1010…0) 2 =1.625 x=-1.625*2 3 =-1.625*8=-13 8

Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração Bibliografia: Pina, H "Métodos Numéricos". Capítulo , 1.5. Gomes, J.A.N.F "Métodos Numéricos"