REVISÃO– CONJUNTOS E FUNÇÕES Fabrício Dias fabriciounipe@ig.com.br UNIPÊ – Centro Universitário de João Pessoa Curso de Ciências da Computação Teoria da Computação REVISÃO– CONJUNTOS E FUNÇÕES Fabrício Dias fabriciounipe@ig.com.br

Agenda Teoria dos conjuntos Funções Definições Operações Ralações Produto cartesiano Relações binárias, n-árias, unárias Funções Propriedades das funções Função sobrejetiva, função injetiva, bijetora Composição de funções (função composta) Função inversa

Teoria dos conjuntos Notação: V = {a, e, i, o ,u} Definição Um conjunto é uma coleção de objetos. a  V b  V Subconjunto () Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se cada elemento de A também é um elemento de B. A  B (Conjunto A é subconjunto de B) Exemplo: A = {1,2,3,4,5} e B = {1,2,3,4,5,6,7,a, b,c}, logo A  B Subconjunto próprio () Se A é um subconjunto de B, mas A é diferente de B, dizemos que A é um subconjunto próprio de B A  B O conjunto vazio, denotado por , é subconjunto de todos os conjuntos. V = {a, e, i, o ,u} Notação:

Teoria dos conjuntos Operações União Intersecção Diferença A  B = {x: x  A ou x  B} Intersecção A  B = {x: x  A e x  B} Diferença A - B = {x: x  A ou x  B} Dois conjuntos são disjuntos, se eles não tiverem nenhum elemento em comum, isto é, se sua intersecção é vazia.

Relações – Definições do português Michaelis: 1. Conexão entre dois objetos, fenômenos ou quantidades, tal que a modificação de um deles importa na modificação do outro. 2. Ligação íntima de coisas ou pessoas. 3. Analogia, certo grau de semelhança; ligação, dependência, nexo.

Relação – Definição matemática Em matemática, um relação é uma correspondência dada em forma de pares ordenados, entre dois conjuntos não vazios A e B Onde o primeiro elemento do par ordenado procede do conjunto de partida e o segundo elemento procede do conjunto de chegada Distinguimos determinados pares de objetos dos demais porque seus elementos satisfazem alguma relação que os elementos dos demais pares, não satisfazem.

Relação - Exemplo 10 20 30 40 50 A B

Seqüência - Definição Uma seqüência de objetos é uma lista destes em uma certa ordem. Normalmente designamos uma escrevendo a lista entre parênteses. Por exemplo, a seqüência 7, 21, 57 poderia ser escrita (7, 21, 57) Em um conjunto, a ordem não importa, mas numa seqüência sim. Assim, (7, 21, 57) não é a mesma seqüência que (57, 7, 21).

Sequências Assim como os conjuntos, as seqüências podem ser finitas ou infinitas Seqüências finitas são comumente chamadas de uplas. Uma seqüência com n elementos é uma n-upla. Então, (7, 21, 57) é uma 3-upla. Uma 2-tupla é também chamada de par ordenado.

Produto Cartesiano Se A e B são dois conjuntos, o Produto Cartesiano de A e B, representado por A x B, é o conjunto de todos os pares onde o primeiro elemento pertence à A e o segundo a B. Exemplo: Sejam A= {1,2} e B = {x, y, z} Então A x B = {(1,x), (1,y), (1, z), (2,x), (2,y), (2,z)}

Relações binárias Dados os conjuntos S e T, uma relação binária r em S x T é um subconjunto de S x T É uma relação cujo domínio é um conjunto de pares Exemplo: Sejam S = {a, b / a é ímpar e b é par} e T = {1, 2, 3} e seja r a relação descrita por xry  x + y é ímpar. Então: r (S X T) = {(a, 2), (b,1), (b,3) }

Relações n-árias Dados os conjuntos S1, S2, ..., Sn, uma relação n-ária em S1xS2x ...xSn é um subconjunto de S1xS2x ...xSn Exemplo: A= {1,2}, B = {2}, C = {2,3} AxBxC = {(1,2,2), (1,2,3), (2,2,2), (2,2,3)}

Exemplo de relações Jogo pedra-papel-tesoura Pelos relacionamentos podemos concluir que: Tesoura bate papel = VERDADE Papel bate tesoura = FALSO Pedra bate tesoura = VERDADE Bate Tesoura Papel Pedra FALSO VERDADE

Relações - exercício Para cada uma das seguintes relações binárias r em NxN, determine quais dos pares ordenados apresentados pertencem à r. x  y  x = y+1 (2,2), (2,3), (3,3), (3,2) x  y  x divide y (2,4), (2,5), (2,6) x  y  x é ímpar (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) x  y  x > y2 (1,2), (2,1), (5,2), (5,4), (4,3)

Relações - exercício Para cada uma das seguintes relações binárias r em NxN, determine quais dos pares ordenados apresentados pertencem à r. x  y  x = y+1 (2,2), (2,3), (3,3), (3,2) x  y  x divide y (2,4), (2,5), (2,6) x  y  x é ímpar (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) x  y  x > y2 (1,2), (2,1), (5,2), (5,4), (4,3)

Propriedades das relações Seja r uma relação binária em S: r é reflexiva se, e somente se, xrx para todo x  S r é simétrica se, e somente se, xry implica yrx para todo x e y  S r é transitiva se, e somente se, se xry e yrz implica xrz para todo x, y e z  S r é anti-simétrica se, e somente se, xry e yrx implica x = y para todo x e y  S